2025-2026学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若角α是第二象限的角，则（ ）
A. sinα＞0B. csα＞0C. tanα＞0D. ctα＞0
2.已知tanα=-，sinα＜0，则csα=（ ）
A. B. -C. D. -
3.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则cs（π+α）=（ ）
A. B. C. D.
4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. y=sin2xB. y=csxC. y=2|sinx|D. y=|csx|
5.若，且α∈（-π，0），则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.若非零向量满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
7.设a=sin46°，b=cs46°，c=tan44°，则（ ）
A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. a＜c＜b
8.已知α，β∈R，则“α=β+kπ，k∈Z”是“sin2α=sin2β”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数f（x）=sin2x+acsx+a,当时有最大值为2，则实数a的值为（ ）
A. -3B. 0C. 1D.
10.已知函数若直线y=a与函数f（x）恰有2个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A. {1}B. {1}∪（-1，0）C. {1}∪（-1，0]D. {1}∪[-1，0]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知sinx+csx=，则sin2x=______．
12.已知tanx＞1（0＜x＜π），则x的取值范围是 .
13.把函数f（x）=cs2x的图象上所有点向左平移个单位，就得到函数g（x）的图象，则此时g（x）= ；把函数g（x）的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到函数h（x）的图象.则此时h（x）= .
14.化简的结果是 .
15.设sinα+2sinβ=1，且M=2sinα+cs2β，给出下列四个结论：
①对于任意实数β，实数α的取值范围为R；
②对于任意实数α，实数β的取值范围为R；
③对于任意实数α，M的最大值为5；
④对于任意实数α，M的最小值为-3.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
设向量，，.
（Ⅰ）若与平行，求k的值；
（Ⅱ）若与垂直，求m的值；
（Ⅲ）求的余弦值；
（Ⅳ）求在上的投影的数量.
17.(本小题13分)
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示.
（Ⅰ）试确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅳ）求函数f（x）的对称中心.
18.(本小题15分)
已知函数，.
（Ⅰ）写出决定f（x）在[0，2π]上形状的关键的五个点，完成下表；
（Ⅱ）若，且α是函数f（x）的一个零点，直线x=β是函数f（x）的一条对称轴，求α+β的值；
（Ⅲ）当时，求直线y=t与y=f（x）的交点个数.
19.(本小题15分)
已知，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tanβ的值；
（Ⅲ）求α-β的值.
20.(本小题15分)
已知，，函数.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值，以及使f（x）取得这些值时x的值；
（Ⅲ）将f（x）图象上的所有点向左平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点对称，求当m取最小值时，不等式g（x）＞0的解集.
21.(本小题15分)
已知函数f（x）的定义域为D，若存在实数a,使得对于任意x1∈D都存在x2∈D满足，则称函数f（x）为“自均值函数”，其中a称为f（x）的“自均值数”．
（1）判断函数f（x）=2x是否为“自均值函数”，并说明理由；
（2）若函数，x∈[0，1]为“自均值函数”，求ω的取值范围；
（3）若函数h（x）=tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，求实数t的值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】-
12.【答案】{x|}．
13.【答案】cs（2x+）
cs（4x+）．

14.【答案】1．
15.【答案】①④．
16.【答案】-3 2 -
17.【答案】（I） ，（k∈Z）
18.【答案】（Ⅰ）五点为（0，3），（，0），（π，-3），（，0），（2π.3），
（Ⅱ）；
（Ⅲ）当t＜-3或t＞3时，有0个交点，
当t=3或t=-3时，有1个交点，
当时，有1个交点，
当-3＜t＜0或时，有2个交点．
19.【答案】
20.【答案】π 当时，f（x）min=0；当时，f（x）max=3
21.【答案】解：（1）假定函数f（x）=2x是“自均值函数”，显然f（x）=2x定义域为R，
则存在a∈R，对于∀x1∈R，存在x2∈R，有=a,
即=2a-x1，依题意，函数f（x2）=在R上的值域应包含函数y=2a-x1在R上的值域，
而当x2∈R时，f（x2）值域是（0，+∞），
当x1∈R时，y=2a-x1的值域是R，显然（0，+∞）不包含R，
所以函数f（x）=2x不是“自均值函数”；
（2）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，1]，存在x2∈[0，1]，
有=a,即sin（ωx2+）=2a-x1，
当x1∈[0，1]时，y=2a-x1的值域是[2a-1，2a]，
因此g（x2）=sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的值域包含[2a-1，2a]，
当x2∈[0，1]时，而ω＞0，则≤ωx2+≤ω+，
若ω+≤，则g（x2）min=，g（x2）≤1，
此时g（x2）值域的区间长度不超过，而区间[2a-1，2a]长度为1，不符合题意；
于是得ω+＞，g（x2）max=1，要使g（x2）=sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的值域包含[2a-1，2a]，
则g（x2）=sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的最小值小于等于0，
又ωx2+∈[，]时，g（x2）递减，且当ωx2+时，，
从而有ω+≥π，解得，
此时，取a=，y=2a-x1的值域是[0，1]包含于g（x2）在x2∈[0，1]的值域，
所以ω的取值范围是[，+∞）；
（3）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，有=a,即tx22+2x2+3=2a-x1，
当x1∈[0，2]时，y=2a-x1的值域是[2a-2，2a]，
因此h（x2）=tx22+2x2+3在x1∈[0，2]的值域包含[2a-2，2a]，并且有唯一的a值，
当t≥0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是[3，4t+7]，
由[2a-2，2a]⊆[3，4t+7]得，解得≤a≤2t+，此时a的值不唯一，不符合要求，
当t＜0时，函数h（x2）=tx22+2x2+3的对称轴为x2=-，
当-≥2，即-t＜0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是[3，4t+7]，
由[2a-2，2a]⊆[3，4t+7]得，解得≤a≤2t+，
要a的值唯一，当且仅当=2t+，
即t=-，a=，则t=-，
当0＜-＜2，即t＜-时，
​​​​​​​h（x2）max=h（-）=3-，h（x2）min=min{h（0），h（2）},
又因为h（0）=3，h（2）=4t+7，
由[2a-2，2a]⊆[3，3-]且-1≤t＜-，
得：≤a≤-，此时a的值不唯一，不符合要求，
由[2a-2，2a]⊆[4t+7，3-]且t＜-1，
得：2t+≤a，此时a的值不唯一，不符合要求，
综上得：t=-，
所以函数h（x）=tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，实数t的值是-． x
f（x）
0
3
0
-3
0
x
2π
3π
f（x）
0
3
0
-3
0