辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含解析），共49页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知函数，则， 下列各式计算不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各角中，与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得α=−2300∘+360∘kk∈Z，求出合适的的值，即可得答案.
【详解】设与的终边相同，
则α=−2300∘+360∘kk∈Z，
当时，.
2. 某扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】由扇形圆心角，半径，得该扇形的面积为12αr2=12×3×22=6 .
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.
4. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得.
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由投影向量公式求解即可.
【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量是：
.
6. 古希腊数学家在研究正五角星时，发现其内部包含顶角为的等腰三角形，这类三角形的底边长与腰长之比为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得，然后利用半角公式求得.
【详解】顶角为的等腰三角形，底角为，
由题意可得，
则cs36∘=cs72∘+12=5−14+12=3+58=6+2516=5+14.
7. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是，最小值是0B. 的最小正周期是，最小值是1
C. 的最小正周期是，最小值是0D. 的最小正周期是，最小值是1
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得fx2=sinx+csx2=sin2x+cs2x+2|sinx⋅csx|=1+|sin2x| ,
所以f(x)=1+sin2x，则的最小正周期，且.
8. 如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（ ）
A. 20B. 24C. 26D. 28
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及性质列式求解.
【详解】由，得，
而E在边AC上，且，所以
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用和差角的三角函数公式、辅助角公式、二倍角公式逐项求解判断.
【详解】对于A，sin22∘cs38∘+cs22∘sin218∘=sin22∘cs38∘−cs22∘sin38∘=sin22∘−38∘≠32，A错误；
对于B，cs15∘−sin15∘=2cs15∘+45∘=22，B错误；
对于C，sin15∘cs75∘=sin215∘=1−cs30∘2=2−34，C正确；
对于D，由tan20∘+25∘=tan20∘+tan25∘1−tan20∘tan25∘=1 ，得tan20∘+tan25∘=1−tan20∘tan25∘，
因此1+tan20∘1+tan25∘=1+tan20∘+tan25∘+tan20∘tan25∘=2 ，D错误.
10. 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意可得PM⋅PN=PO+OM⋅PO+ON= PO+OM⋅PO−OM= =9−OM2.
因为正方形的边长为2，所以，所以1≤OM2≤2 ，则7≤PM⋅PN≤8 .
11. 已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 15
【答案】AD
【解析】
【详解】fx=4sinωxcsωxcsπ3−sinωxsinπ3=2sinωxcsωx−23sin2ωx
=sin2ωx+3cs2ωx−3=2sin2ωx+π3−3，令2sin2ωx+π3−3=0 ，
得2ωx+π3=2kπ+π3或2ωx+π3=2kπ+2π3k∈Z,
即x=kπω或x=kπω+π6ωk∈Z，
所以相邻的零点间距为π6ω或，结合已知条件解得或.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以a⋅a+kb=a2+ka⋅b=40+10k=0 ，解得.
13. 某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒．
【答案】40
【解析】
【详解】设两点间的距离为厘米，∠AOB=2θ(0≤θ≤π) ，
则2θ=2πt60=πt30，所以θ=πt60．
因为sinθ=d2OA=d12，所以d=12sinθ=12sinπt60．
由，得12sinπt60>6 ，解得，
则两点间的距离大于6厘米的时长是秒．
14. 已知，，则________.
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得−4sinγ=2sinα+3sinβ,−4csγ=2csα+3csβ,所以16sin2γ=4sin2α+12sinαsinβ+9sin2β,16cs2γ=4cs2α+12csαcsβ+9cs2β,
所以16=4+12csα−β+9 ，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量垂直关系求得，再由模长公式即可求解；
（2）由平行关系求得，再由夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，
则，故．
【小问2详解】
因为，所以2×2−−x=0 ，
解得，则，
所以csa,b=a⋅bab=2−2×45×25=−35，
即与夹角的余弦值为．
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）7 （2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
tanα=tanα+β−β=tanα+β−tanβ1+tanα+βtanβ=2−−131+2×−13=7 .
【小问2详解】
sinα+3π−csπ−α2sinα+3π2+sin−π−α=−sinα+csα−2csα+sinα=−tanα+1−2+tanα=−7+1−2+7=−65.
【小问3详解】
.
17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示.
.
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集；
（3）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）或.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可；
（2）依题意可得，结合余弦函数的性质计算可得；
（3）利用余弦函数在给定区间上的单调性求解即可.
【小问1详解】
由图可知该函数的最小正周期.
因，则.
的图象经过点且在该点附近单调递减，
则由，可得，即.
因为，所以.
因为的图象经过点，所以，解得.
故.
【小问2详解】
由，得，所以，
则或，
解得或，
即方程的解集为或.
【小问3详解】
因为，所以.
则当，即时，取得最小值，且最小值为；
当，即时，取得最大值，且最大值为.
故在上的值域为.
18. 如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点．
（1）用表示AE，AO．
（2）求．
（3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），
（2）AE⋅AO=3
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算进行表示；
（2）由（1）及向量的数量积的运算律和定义求解；
（3）在圆O上任取点P ，得，BP2=4+2BO⋅OP，CP2=4+2CO⋅OP，DP2=4+2DO⋅OP，再由AO+CO=0，BO+DO=0得到为定值.
【小问1详解】
．
．
【小问2详解】
=12|AB|2+34×0+14|AD|2=12×4+14×4=3 ．
【小问3详解】
如图，在圆O上任取点P，连接AP，BP，CP，DP，OP，BO，CO，DO，
易得|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=|OP|=|AC|2=2．
因为，所以AP2=AO2+2AO⋅OP+OP2=4+2AO⋅OP．
同理可得BP2=4+2BO⋅OP，CP2=4+2CO⋅OP，DP2=4+2DO⋅OP．
因为AO+CO=0，BO+DO=0，
所以.
19. 已知函数，.
（1）当时，求的最大值，并求取得最大值时的取值集合；
（2）求在上的值域；
（3）若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）3，xx=kπ+π4,k∈Z
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的性质可求；
（2）先分离常数，再利用指数函数的性质求出值域；
（3）设，将问题转化为在上恒成立，通过二次函数的性质研究其最小值即可.
【小问1详解】
当时，，则的最大值为，
此时，解得.
故的最大值为3，且取得最大值时的取值集合为xx=kπ+π4,k∈Z
【小问2详解】
由题意可得gx=4×3x−43x+1=4−83x+1，
因为在上单调递增，所以在上单调递增.
因为，，所以在上的值域为.
【小问3详解】
对任意的，总存在，使得成立，
所以，
设，则，
设ht=t2−at+1−2≤t≤2.
当，即时，易证在上单调递增，
则h(t)min=h(−2)=2a+3 ，即，得−522