2025--2026学年辽宁省抚顺市七校协作体高二下册期中联考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省抚顺市七校协作体高二下册期中联考数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 10
2. 下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（ ）
A. 3.9B. C. 4.2D.
4. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（ ）
A. 6或7B. 7C. 8D. 7或8
6. 随机变量的分布列如下表，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
7. 如图，将正整数1，2，3，…排成三角数阵，则第10行从左到右第1个数字是（ ）
A. 42B. 46C. 56D. 58
8. 若实数a，b，c，d满足a−b2+c−ed2=0 ，则a−c2+b−d2≥m 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. −∞,12B. −∞,22C. −∞,2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 在上的平均变化率为2
B.
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 直线可能是曲线的一条切线
10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ）
A. B.
C. D. 与相互独立
11. 已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. 为等差数列B.
C. D. 实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂生产一批零件，其长度（单位：mm）近似服从正态分布，现随机抽检该批次零件共20000个，则这批零件中长度超过208mm的个数约为________.
（附：若随机变量，则，，）
13. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则f3+f′3= ______.
14. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表：
（1）估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少；
（2）能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？
附：．
16. 在数列中，，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和．
17. 已知是函数的导函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围．
18. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品．
（1）求第一次抽到的是A商品的概率；
（2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望；
（3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率．
19. 若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列.
（1）已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，.
（i）求，；
（ii）求的前n项和.
（2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 10
答案：B
解析：
解答过程：由题意知，，a2a1=10 ，所以.
由，得，两个式子相除得，
所以数列是以2为周期的周期数列，所以a102=a2=2 ．
2. 下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用初等函数求导公式与复合函数求导公式逐项分析即可.
解答过程：选项A，，故A错误；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
3. 根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（ ）
A. 3.9B. C. 4.2D.
答案：B
解析：
思路：根据题意，由线性回归方程过样本中心点，代入计算，即可得到结果.
解答过程：由已知，得，y=15×9+12+17+21+26=17 ．
又回归直线经过点，所以，解得．
4. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设等比数列的公比为，则．
由，得a1⋅12+a1⋅123= 1，解得．
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（ ）
A. 6或7B. 7C. 8D. 7或8
答案：B
解析：
思路：利用等差数列通项公式的性质及符号法求解即可.
解答过程：由题可知．因为，所以，
所以当取最大值时．
6. 随机变量的分布列如下表，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
解析：
思路：利用离散型随机变量分布列性质，离散型随机变量的期望和方差公式以及离散型随机变量方差的性质分析求解即可.
解答过程：由题可知，解得，
则Eξ=−1×14+0×12+1×14=0 ，
则Dξ=(−1−0)2×14+(0−0)2×12+(1−0)2×14=12，
所以D2ξ−1=4Dξ=2 ．
7. 如图，将正整数1，2，3，…排成三角数阵，则第10行从左到右第1个数字是（ ）
A. 42B. 46C. 56D. 58
答案：B
解析：
思路：根据题意可知，再累加即可求解．
解答过程：设第行从左到右第1个数字为，
由题意知，
累加得，即，所以．
故第10行从左到右第1个数字是46．
8. 若实数a，b，c，d满足，则恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：可转化为求动点与动点c,lnc之间距离的最小值，结合与的图象，即可利用切线以及点到直线距离可得答案．
解答过程：因为，所以，，则d=lnc ，
.
设，Bc,lnc，设，
则的几何意义是直线上的点与曲线上的点Bc,lnc的距离，
将直线平移到与曲线相切时，切点到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时点到直线的距离为1−02=22，
故，所以T2min=12，故．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 在上的平均变化率为2
B.
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 直线可能是曲线的一条切线
答案：AB
解析：
解答过程：对于A，在上的平均变化率为f2−f02−0=4−02=2 ，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，，所以曲线在点处的切线方程为y+1=1×x−1，即，故C错误；
对于D，f′x=3x2−2≥−2 恒成立，因为直线的斜率为，所以直线不可能是曲线的一条切线，故D错误．
10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ）
A. B.
C. D. 与相互独立
答案：BC
解析：
思路：利用古典概率公式、条件概率公式及概率的基本性质求解判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D.
解答过程：对于A，，A错误；
对于B，，，则，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，则与不相互独立，D错误.
11. 已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. 为等差数列B.
C. D. 实数的取值范围为
答案：ACD
解析：
思路：利用作差法可得即可判断A；利用等差数列前项和公式可得即可判断B，利用裂项相消法求和即可判断C；分为奇数和为偶数求出的取值范围，进而可判断D．
解答过程：当时，，解得，
当时，则，
所以，故，
因为，满足，
所以的通项公式为，为等差数列，A正确；
，，B错误；
因为，
所以1a1a2+1a2a3+⋅⋅⋅+1a10a11=12×1−13+13−15+⋅⋅⋅+119−121=12×2021=1021，C正确；
由不等式，可得，
当为奇数时，，化简可得，所以，
当为偶数时，，化简可得，所以，
所以实数的取值范围为，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂生产一批零件，其长度（单位：mm）近似服从正态分布，现随机抽检该批次零件共20000个，则这批零件中长度超过208mm的个数约为________.
（附：若随机变量，则，，）
答案：455
解析：
解答过程：由题意知，μ=200,σ=4 .
这批零件中长度超过208mm的概率为P(X>μ+2σ)≈12×1−0.9545=0.02275 ，
所以这批零件中长度超过208mm的个数约为．
13. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则f3+f′3= ______.
答案：
解析：
思路：借助导数的几何意义计算即可得.
解答过程：由图可知点处的切线斜率为，即，
则切线方程为，所以，
故.
14. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________.
答案：
解析：
思路：因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案.
解答过程：因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数.
第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），P1=C62(14)2C40(14)0(12)4=15256，
第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），P2=C63(14)3C31(14)1(12)2=15256，
第三种情况，点水平移动6次（即向右移动4次，向左移动2次），P3=C64(14)4C22(14)2(12)0=154096，
则所求的概率．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表：
（1）估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少；
（2）能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？
附：．
答案：（1）该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为．
（2）有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关．
解析：
思路：（1）根据列联表，计算该校男生和女生喜欢科普类书籍的比例，依频率估计概率即可；
（2）根据独立性检验思想，先计算出，再根据的概率判断、分析即可.
（1）该校男生喜欢科普类书籍的概率为，
该校女生喜欢科普类书籍的概率为．
（2）将列联表补充完整，得
零假设：学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别无关
，
所以根据小概率值判断，不成立，即有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关．
16. 在数列中，，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和．
答案：（1）证明见解析，
（2）解析：
（1）已知，，.
对递推式变形： 即（常数）.
当时，.
因此数列是以为首项，为公比的等比数列.
由等比数列通项公式得： .
整理得的通项公式.
（2）由，前项和.
等比数列求和.
常数项求和.
因此.
17. 已知是函数的导函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先对已知函数式令，推出简化原式，再对求导，代入利用解出，进而求出的解析式.
（2）先求出函数导数，设出切点写出切线方程，把定点(t，0)代入切线方程整理出关于切点横坐标的表达式，转变成一元二次不等式问题得到实数的取值范围.
（1）已知，令，得.
即，解得.
因此.
对求导.
令，结合，得，即，解得.
代入得的解析式.
（2）由（1）得，.
设切点为m,2−mem，切线斜率为，切线方程.
因为切线过点，代入得.
约去并整理得一元二次方程.
曲线存在这样的切线等价于关于的一元二次方程有实数解.
故判别式，化简得。
解不等式得或，所以实数的取值范围是.
18. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品．
（1）求第一次抽到的是A商品的概率；
（2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望；
（3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率．
答案：（1）
（2）分布列见解析，
（3）．
解析：
思路：（1）根据全概率公式求解即可；
（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布，再根据离散型随机变量的期望公式，求得期望；
（3）分别求出和则，再根据条件概率公式求得在第二次抽到的是B商品的情况下，第一次抽到的是A商品的概率．
（1）设“第次抽到的是A商品”，“第次抽到的是B商品”，“选取到第个超市”，．
由题意得第一次抽到的是A商品的概率．
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为
所以．
（3）从甲超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为；
从乙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为；
从丙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为.
所以.
，
则，
所以在第二次抽到的是商品的情况下，第一次抽到的是商品的概率为．
19. 若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列.
（1）已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，.
（i）求，；
（ii）求的前n项和.
（2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明.
答案：（1）（i）；（ii）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项；
（ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可.
（2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式.
（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得，
则，，.
（ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项.
奇数项和，
偶数项和，
所以，则.
当n为奇数时，.
综上，.
（2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以.
因为，，
所以，，
，，
当时，.
设（），则，则单调递增，
则，则，
所以的前（）项中不大于的项数为，则，
则.
设，
则，
则
，
所以，
所以.
因为，所以.
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