河南省实验中学八年级上学期期中数学试题（解析版）(1)

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（时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在，，0，，，中，无理数的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义．根据无理数的三种形式：①无限不循环的小数；②含的代数式；③开方开不尽的数；判断即可得到答案．
【详解】解：，，
无理数有：，，
∴无理数共2个，
故选：C．
2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故选项符合题意；
B、不是一次函数，故选项不符合题意；
C、是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；
D、不是一次函数，故选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知a，b，c是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理进行排除选项．
【详解】解：A、由可设，则，所以，即，故不是直角三角形；
B、由及，所以，即，故不是直角三角形；
C、由可设，则，故不是直角三角形；
D、由，，可得，故是直角三角形；
故选D．
5. 在平面直角坐标系中，点和点关于x轴对称，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据两个点关于x轴对称的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】∵点和点关于x轴对称，
∴．
故选：B．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 平方等于它本身的数一定是1B. 立方根等于它本身的数一定是1
C. 算术平方根等于它本身的数一定是1D. 平方根等于它本身的数一定是0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查立方根及算术平方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根、平方根及算术平方根可进行求解．
【详解】解：A、平方等于它本身的数是1和0，故原说法错误；
B、立方根等于它本身的数是1、0和，故原说法错误；
C、算术平方根等于它本身的数是1和0，故原说法错误；
D、平方根等于它本身的数一定是0，故原说法正确；
故选D．
7. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据正比例函数得图象经过第二，四象限，可得，求出k的取值范围，再结合关系式得出答案即可．
【详解】∵正比例函数得图象经过第二，四象限，
∴，
解得，
∴一次函数经过一，二，四象限．
故选：C．
8. 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．设这根芦苇的长度为x尺，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用；由芦苇长为尺，可得水深为尺，再利用两条直角边的平方和等于斜边建立方程即可解答．
【详解】解：如图，
设芦苇长为尺，则水深为尺，
由题意得，，
故选：C．
9. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由折叠可知：，
令时，则，解得：，令时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点，则有，
中，由勾股定理可得，
解得：；
故选B．
10. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个过点且y随x增大而减小的一次函数解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
由y随着x的增大而减小可得出，取，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出，此题得解．
【详解】解：设该一次函数的解析式为，
∵y随着x的增大而减小，
∴，
取，
则，
∵点在一次函数图象上，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数与数轴及无理数的估算，熟练掌握实数与数轴及无理数的估算是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由可知：
，
∴被墨迹覆盖的数是；
故答案为．
13. 如果与互为相反数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，进而求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为．
14. 如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．把立体图形展开成平面图形，依题意，从到缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
无弹性的丝带从至，绕了1.5圈，
展开后，，
由勾股定理得：
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解．
【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，
，
，，，
，
，
，
，
，
当点落在上时，此时最长，如图3，则，
作于点，于点，则，，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算及零次幂、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算及零次幂、乘法公式是解题的关键；
（1）根据零次幂及二次根式的运算可进行求解；
（2）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的运算可进行求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
（1）求a，x，y的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：依题意，得，
解得，
∴，，
∴．
负数的立方根与它本身相同，
；
【小问2详解】
解：当时，，
∴的算术平方根为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）求的面积；
（3）若x轴上存在一点P，使得周长最短，周长最小值为__________，此时点P的坐标为__________．
【答案】（1）图见解析，
（2）35 （3），
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
（1）根据轴对称性质即可画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据两点之间线段最短即可在x轴上找出一点P，使得的值最小即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；，
；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求．
作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
故的周长最小，最小值为．．
故答案为：，．
19. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．
（1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
【小问1详解】
解：连接，

∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积的面积的面积
．
20. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】（1）y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙=
（2）（600，510）
（3）当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【小问1详解】
由题意可得，y甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
【小问2详解】
由，解得，
点A的坐标为（600，510）；
【小问3详解】
由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：
（海伦公式），其中．
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：
（1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________；
（2）如图，在中，已知，，．
①的面积为____________________；
②作于点D，求CD的长．
【答案】（1）
（2）①84；②9
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义的理解，勾股定理，
（1）根据秦九韶公式代入计算即可；
（2）①根据海伦公式计算即可；
②根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出答案即可．
【小问1详解】
解：由秦九韶公式，得；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①根据海伦公式，得，
∴；
故答案为：84．
②根据题意，得，
即，
解得．
在中，根据勾股定理，得．
22. 小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．
深入探究】
（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________；
【得到性质】
（2）函数（其中k、m、n为常数，且）图象一定会经过的点的坐标是__________；
【实践运用】
（3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为5，求k的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
（1）观察图象即可得到结论；
（2）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标；
（3）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是；
故答案为：；
（2）函数（其中为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是；
故答案为：；
（3）∵一次函数（为常数，且）的图象一定过点，
∴，
∵与y轴相交于点A，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴或．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）①N的坐标为或；②，或，．
【解析】
【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）①根据题意设点M、N的坐标，根据列方程求解即可；
②分、二种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把代入，得：，
把代入，得：，
与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为，，
直线与交于点C，
联立得方程组：，解得：，
故点；
【小问2详解】
解：①设点M、N坐标分别为、，
根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为或；
②y轴上存在点Q，使为等腰直角三角形，理由如下:
设M、N、Q的坐标分别为、、，使是以为直角边的等腰直角三角形，
如图，当时，
则，即：，
解得：，
，，
点坐标为，
如图，当时，
则，即：，
解得：，
，，
点坐标为，
综上所述，，或，．