第19章 四边形（单元复习课件）数学新教材沪科版八年级下册

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单元复习课件 第19章 四边形 沪科版（新教材）·八年级下册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.掌握基础：熟练掌握多边形内角和 / 外角和公式，平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能准确进行边、角、对角线的计算与证明。3.提升能力：提升几何直观、逻辑推理与综合应用能力，能整合三角形中位线、勾股定理等知识解决四边形综合题、动点问题。2.理解关联：理解平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的从属关系与本质区别，明晰 “一般到特殊” 的几何研究逻辑。 a._________________；b.________________ ；c._________________；d.________________ ；e._________________.两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角四边形及特殊四边形的关系 1.多边形内角和公式 多边形的外角和恒等于360°2.多边形外角和公式3.多边形对角线条数 易错易混 对边平行对边相等对角相等对角线互相平分1.平行四边形的性质（1）平行四边形的一组对边平行且相等两条平行线之间的距离处处相等（2）平行四边形邻角互补在求角的度数时，不仅考虑对角相等，还结合平行线的同旁内角互补推导。（3） 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形 两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形 常见应用：利用对角线互相平分，求线段的长度（4）平行四边形的对称性： 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点2.平行四边形边的性质常用结论3.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形①两组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；已知线段平行关系，直接判定。已知线段的平行关系和长度关系，优先选用第二种方法，更简洁。两组对角分别相等的四边形是平行四边形已知角的关系，无法直接得到边的平行或相等关系时使用。对角线互相平分的四边形是平行四边形已知对角线的交点及线段平分关系，可直接判定为平行四边形。易错提醒② “一组对边相等，一组对角相等”也不是平行四边形的判定方法，可构造反例：作一个等腰三角形，以等腰三角形的一条腰为公共边，作另一个与它全等的三角形，拼接后可得到一个四边形，满足一组对边相等、一组对角相等，但不是平行四边形； ③ 判定时忽略“四边形”前提：例如，仅说“两组对边分别平行”，没有说明是“四边形”，不能判定为平行四边形（三角形没有对边平行）； 矩形的对边平行且相等四个角都是直角矩形的互相平分且相等③ 矩形的对角线将矩形分成四个全等的等腰三角形矩形的对角相等且均为直角即：对角线的交点将两条对角线分成四条相等的线段1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形， 经常会用到等腰三角形的性质解决问题.3）利用矩形的性质可以推出： 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 4)矩形是中心对称图形（对称中心是对角线交点），也是轴对称图形，有两条对称轴（过对边中点的直线）；1.矩形的性质易错提醒  2.矩形的判定平行四边形+对角线相等平行四边形+一个直角四边形+三个直角1 . 判定矩形的核心是“先判定为平行四边形，再添加特殊条件（一个直角或对角线相等）”，或“直接利用四边形的特殊条件（三个直角）”；2. 选择判定方法时，优先结合已知条件，（ 1）已知平行四边形，优先用方法一或方法二；（2）已知四边形的角的关系，优先用方法三；（3）已知对角线关系，优先用补充判定方法。判定思路总结1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 菱形的性质：1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；2）菱形是中心对称图形（对称中心是对角线交点），也是轴对称图形，有两条对称轴（两条对角线所在的直线）；2）菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；3）菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；补充性质  易错提醒4. 菱形的判定平行四边形+一组邻边相等四边形+四条边相等平行四边形+对角线互相垂直1.与矩形判定思路类似，核心是“先判定为平行四边形，再添加特殊条件（一组邻边相等或对角线垂直）”，或“直接利用四边形的特殊条件（四条边相等）”；2.选择判定方法时，结合已知条件，（1）已知平行四边形，优先用方法一或方法二；（2）已知四边形的边的长度关系，优先用方法三； (3)已知对角线关系，优先用补充判定方法。判定思路总结正方形性质（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形兼具矩形、菱形所有性质）1.边的性质：兼具矩形和菱形所有的边的性质 ——四边相等，对边平行推论：正方形的邻边相等且垂直2.角的性质：兼具矩形和菱形所有的角的性质 ——四个角都是直角；推论：正方形的任意两个内角互补，对角相等且均为直角，邻角相等且互补3.对角线的性质：兼具矩形和菱形所有的对角线性质 ——对角线相等、垂直、平分，且每条对角线平分一组对角 平行且四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 性质总结判定方法总结两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等两条对角线互相平分1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表示：∵ DE 是△ABC 的中位线， ①三角形有___条中位线.②三角形的三条中位线把原三角形分成全等的 4 个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的____.每个小三角形的面积为原三角形面积的____.3   八 （2）（2023·重庆·模拟预测）过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的内角和等于 ． 540°    6或7解：∵（n-2）×180°=720° ∴n=6，∴新的多边形为6边形， A  C ∟F∵AE⊥BC的垂线交BC于点E，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF(AAS )∴AE=DF,BE=CF=x，由勾股定理可得，      ②③          D解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC AD∥ BC，∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，A、∵O为矩形ABCD两条对角线的交点，∴OB=OD，∴△BOF≌△DOE(AAS )，故此选项不符合题意；  ∴△BOF≌△DOE(AAS )，故此选项不符合题意；C、∵AE=CF，∴BC-CF=AD-AE，即BF=DE，∴△BOF≌△DOE(ASA )，故此选项不符合题意；D、∵EF⊥BD，∴∠BOF=∠DOE=90°，两三角形中缺少对应边相等所以不能判定△BOF≌△DOE，故此选项符合题意；     （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AB=DC∴∠AEM=∠CFM∵BE=DF ∴AB+BE=CD+DF 即AE=CF  ∴△AEM≌△CFM(AAS )     B                        192   （1）证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB=∠BAF， ∵AB∥ DF，∴∠EFD=∠BAF， ∴∠CAB=∠EFD， 在△ACB和△FED中， ∴△ACB≌△FED(ASA)，∴AB=FD， 由∵AB∥ DF，∴四边形ABDF是平行四边形．  （2）四边形BGED是正方形．过点B作BG⊥AE于点G，∴∠BGE=∠DEG=90°，∵四边形ABDF是平行四边形．∴BD∥AE，BD=AF，∴∠GBD+∠BGE=180°∠DEG+∠EDB=180°，∴∠GBD=90°，∠EDB=90°，∟G由（1）△ACB≌△FED，∴CB=ED，∵CB=AF，∴ED=AF，∴BD=ED，∴四边形BGED是正方形．     2  2   ∟     A．1B．2C．3D．4C解：如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OE=OF∵点E、F时BD上的点，∴只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；  P10例19.（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　） C    【教材P111页】 9490°复习题A组2.四边形的内角可能都是锐角吗?可能都是直角吗?可能都是钝角吗? 解：四边形的内角不可能都是锐角，可能都是直角，不可能都是钝角。 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°.假设四边形的内角都是锐角，因为锐角是小于90°的角，那么四个锐角的和一定小于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是锐角。 若四边形的内角都是直角，直角等于90°，四个直角的和为90°×4 =360°，这与四边形内角和定理相符，所以四边形的内角可能都是直角，比如长方形和正方形。 假设四边形的内角都是钝角，由于钝角是大于90°的角，那么四个钝角的和一定大于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是钝角。3.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去∠BCD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 470°.求∠BGD的度数.解：六边形ABCDEF的内角和: (6－2) × 180° =720° 又∵∠1＋∠2+∠3+∠4+∠5=470°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720° － 470°=250°.∵四边形BCDG的内角和为360°，∴∠BGD=360° －(∠GBC+∠C+∠CDG)=360°－250°=110°.4.已知: 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AE = CF，点 M，N 是 ED，BF 的中点.求证: 四边形 MFNE 是平行四边形.证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC，∠A=∠C.∴ △ADE≌△CBF，∴ ∠AED=∠CFB，DE=BF.∵ 四边形是平行四边形，∴ AB∥ DC，∴ ∠CFB=∠ABF，∴ ∠AED=∠ABF，即ME∥ FN.又∵ M、N分别是ED、BF的中点，且DE=BF，∴ ME=FN，∴ 四边形MFNE是平行四边形.5.将一张相邻两边长为 40 cm 和 20 cm 的矩形纸片剪成相邻两边长为 18 cm 和 12 cm 的矩形纸片，最多能剪几个 ? 并画出示意图.解：∵40÷12=3（个）……4cm 20÷18=1（个）……2cm ∴3×1=3（个）6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 D 是AC的中点，连接BD. AE，BE交于点E，且AE∥ BD，BE//AD，试猜想四边形AEBD的形状.并说明理由. 解：四边形AEBD是菱形.理由如下：7.如图，将两个全等的等腰三角形纸片拼成一个平行四边形，能拼出几种不同的平行四边形?画出示意图.这些平行四边形中有菱形吗?如果有，请说明理由.解：能拼出2种不同的平行四边形；这些平行四边形中有菱形，理由是:以等腰三角形的腰为公共边拼接时，得到的平行四边形的四条边都等于等腰三角形的腰长，符合菱形的定义。    9.某地有四个村庄A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点. 现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 BE = CF. AE，BF 交于点G. 求∠AGF 的度数.解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB =BC，∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF.∴∠BAE=∠FBC.∵ ∠FBC+∠ABG=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°.在△ABG中，∠AGB=180°- (∠BAE+∠ABG)=180°-90°= 90°.又∵∠AGF与∠AGB互补，∴∠AGF =90°.解：∵DE∥ AB，DF∥ AC，∴四边形AFDE是平行四边形.∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD.又∵DE∥ AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE∴四边形AFDE是菱形. ∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形.  1.一个多边形的内角中，最多有几个锐角?为什么?解：最多有3个锐角.理由是多边形外角和为360°，外角中最多3个钝角，而内角与相邻外角互为邻补角，外角为钝角时内角为锐角，所以内角中最多有3个锐角.【教材P113页】复习题B组2.已知:如图，□ABCD的顶点 D 在□AEFG的边FG上，□AEFG 的顶点 E 在□ABCD的边 BC 上.求证: □ABCD 和□AEFG 的面积相等. ∟∟3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .(1)求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. (2)如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗?解:(1)当点 O 在矩形ABCD内部时:过点 O 作 EF⊥BC ，垂足为 E，交 AD 于点F.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥ BC，则四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形.∴ AF = BE，FD = CE.∵ OA2 = AF2+OF2，OC2 = CE2+OE2.∴OA2+OC2= AF2+OF2+CE2+OE2.又∵OB2=BE2+OE2，OD2=FD2+OF2∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2 .∴OA2+OC2=OB2+OD2。解:(2)当点O在矩形ABCD外部时:过点O作OE⊥BC，垂足为E，交AD的延长线于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥ BC，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∴四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形.∴AF=BE，FD=CE.在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2.在Rt△OEC中，OC2=CE2+OE2.3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .(1)求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. (2)如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗?∴OA2+OC2=AF2+OF2+CE2+OE2.在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2.在Rt△DOF中，OD2=FD2+OF2∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2.∴OA2＋OC2=OB2+OD2.综上，当点O是矩形ABCD内任一点时，OA2＋OC2=OB2＋OD2成立；当点O在矩形ABCD的外部时，结论也成立.4.如图，在□ABCD中，点 O 是 AD 的中点，连接BO并延长，交 CD 的延长线于点E，连接BD，AE.(1)求证: 四边形 ABDE 是平行四边形；(2)若BD=CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD，∴∠ABO=∠DEO.又∵点O是AD的中点，∴AO=DO.又∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEO.∴OB=OE.即AD 与 BE 互相平分，∴四边形 ABDE 是平行四边形.（2）四边形ABDE是菱形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.又∵BD=CD，∴AB=BD.又∵在(1)已证四边形ABDE是平行四边形，∴四边形ABDE是菱形.5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.  6.实践操作:第一步: 如图(1)，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平.第二步:如图(2)，将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平.问题解决:(1)如图(1)，四边形AEA'D的形状是________；(2)如图(2)，线段MC'与ME是否相等?若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.正方形(2)MC'=ME.证明如下:连接C'E.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠EAC'=∠B=90°.由折叠知，B'C'=BC，∠B'=∠B， ∴ AE=B'C'，∠EAC' = ∠B∴ Rt△EC'A≌Rt△C'EB'. ∴ ∠C'EA=∠EC'B'，∴ MC'=ME.7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由(3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值.解：(1)在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，∴BC=AD=16，AB=CD=8.由题意可知，BQ=DP=t，∴AP=CQ=16-t.在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥ BC.当 BQ = AP 时，四边形ABQP为矩形，即 t = 16-t，∴ t = 8.∴当t=8时，四边形ABQP是矩形.7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由(3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值. 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts.(3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值.  8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH.(1)求证:AK=AH；(2)求证:四边形AKFH是正方形；(3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADH=90°.又∵DH=BK，∴△ADH≌△ABK.∴AK=AH.8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH.(1)求证:AK=AH；(2)求证:四边形AKFH是正方形；(3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长.(2)∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD=∠BAK. ∵∠BAD=90°，∴∠BAK+∠DAK=90°，∴∠HAD+∠DAK=90°，即∠HAK =90°. ∵DH=CE=BK，且HG=DH＋DG，EK=EC+CK，又DG=CK，∴HG=EK，∵ AD=AB=BC=CD，EF=CE=CG=GF.∴△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH.∴AH=AK =HF=FK.∴四边形AKFH是正方形.8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH.(1)求证:AK=AH；(2)求证:四边形AKFH是正方形；(3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长.  1.设四边形ABCD的每一个顶点到其他三个顶点的距离之和都相等.这个四边形是什么四边形?请说明理由.解：这个四边形是矩形，理由如下：由题意得:AB+AC+AD=BA+BD+BC=CA+CD+CB=DA+DB+DC.由AB+AC+AD=BA+BD+BC可得:AC+AD=BD+BC①；由AB+AC+AD=CA+CD+CB可得:AB+AD=CD+CB②；由AB+AC+AD=DA+DB+DC可得:AB+AC=DB+DC③.由①-②可得: AC-AB=BD-CD④；③+④可得: 2AC=2BD，即AC=BD.将AC = BD代入①可得: AD = BC；将AC = BD代入③可得: AB = CD.∴ 四边形ABCD是平行四边形.又 ∵ 平行四边形ABCD中AC=BD(对角线相等)，∴ 这个四边形是矩形.【教材P115页】复习题C组2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)；证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ DC，AB = DC，AD = BC.∵AB ∥ DC，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE=CF (平行线间的距离相等）.在Rt△ADE和Rt△BCF中，∠AED = ∠BFC = 90°，AD = BC，DE=CF， ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF，∴ AE=BF.2. (2)已知△ABC的三边长分别为BC=a，AB=c，AC=b、求BC边上的中线长(用a，b，c的代数式表示).ABCacbDE 3.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(-1，0)，(2，5)，(3，0). 若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标.  4.如图，安全村有一口四边形的池塘，在它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备扩建池塘，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，但不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想?若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由.解:连接四边形ABCD的两条对角线AC与BD.过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线；过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线.上述四条平行线两两相交，分别得到交点E(A点平行线与B点平行线的交点)、F(B点平行线与C点平行线的交点)、G(C点平行线与D点平行线的交点)、H (D点平行线与A点平行线的交点)，则四边形EFGH为平行四边形. ∵EF∥ AC∥ GH，EH∥ BD∥ FG，∴四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO均为平行四边形. S□AEBO=2S△AOB同理S□BFCO=2S△BOC.S□CGDO=2S△COD. S□DHAO=2S△DOA.∴ S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA.S□EFGH=S□AEBO+S□BFCO+S□CGDO+ S□DHAO=2(S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA)=2S四边形ABCD即面积为原池塘的2倍.5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM.(1)求证: 四边形CDMN为菱形；(2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积；(3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC，AD=BC.又∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD= AD，NC= BC，则MD = NC且MD∥ NC，∴四边形CDMN是平行四边形.∵∠AND=90°，M是AD中点，在Rt△AND中，MN为斜边AD的中线， ∴MN=MD= AD.∴四边形CDMN为菱形.5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM.(1)求证: 四边形CDMN为菱形；(2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积；(3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. o5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM.(1)求证: 四边形CDMN为菱形；(2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积；(3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. 知识脉络核心关系从多边形到平行四边形，再到矩形、菱形、正方形，遵循 “一般→特殊” 逻辑，特殊图形继承一般图形性质，新增专属性质。 感谢聆听!