河南省南阳市桐柏县八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市桐柏县八年级上学期1月期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分）
1. 已知正方形的面积是，那么它的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正方形面积公式，算术平方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形面积公式得到正方形的边长为，即可得到答案．
【详解】解：正方形的面积是，
正方形的边长为，
故选：B．
2. 一名同学在调查50名同班同学的出生月份时记录的数据如下表：
则出生月份频数最多和最少的月份分别是（ ）
A. 1月，12月B. 12月，1月
C. 1月，8月D. 8月，1月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数据的统计，根据表格确定人数最多和最少对应的月份即可．
【详解】解：由表格可得，出生月份为8月的人数最多，出生月份为1月的人数最少，
故出生月份频数最多和最少的月份分别是8月，1月．
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、整式的乘法的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项符合题意；
C． 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D． ，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．
根据完全平方式的特点得到，即可得到答案．
【详解】解：整式为某完全平方式展开后的结果，
，
故选：D．
5. 已知，那么的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质得出，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分线的尺规作图和性质，得，根据，即可．
【详解】由题意得，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
7. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ）
A. 0B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0．
根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值．
【详解】
∵的展开式中不含项，
∴
∴．
故选：B．
8. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，
米，米，
米，
米，
，
，
故这根木头需要长度可能是米，
故选：C．
9. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键．先对因式分解，得出，再利用、、三个连续正整数中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，即可解决．
【详解】解：，
∵、、是三个连续正整数，
∴、、中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，
∴必是的倍数，
故选：A．
10. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）

A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形应用；
由勾股定理可判定①；由完全平方公式变形求得，由三角形面积即可判定②；由及，开方即可判定③；由代入中计算即可判定④．
【详解】解：由勾股定理得：，
另一方面，大正方形面积64，即，
∴，故①正确；
小正方形面积为16，即，展开得：，
∴，
∴，故②正确；
∵，且，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
故正确的有①②③；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. ____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的计算是解题的关键．
根据算术平方根的计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：2 ．
12. 如果等腰三角形的一个底角为，那么这个等腰三角形的顶角是_____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：根据题意得这个等腰三角形的顶角是，
故答案为：．
13. _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平分差公式的应用，熟练掌握平分差公式是解题的关键．
根据平分差公式计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得：图甲中阴影的面积为，
；
图乙中阴影的面积为，
，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
15. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查新运算定义下，同底数幂的乘法运算法则，牢记法则内容是解题的关键．根据新运算定义，将原式化为个的积乘以1010个的积，再代值进行计算即可．
详解】解：
=
=
=
=
=，
故答案为：．
三、解答题（8个题，共75分）
16. 按要求计算
（1）化简
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）；9
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的化简、求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据整式的除法法则计算即可；
（2）先根据整式的乘法法则计算，再合并同类项，把代入化简后的整式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
17. 把下列多项式分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用提取公因式法直接求解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果；
（4）用两次提取公因式法直接求解即可．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：．
【小问4详解】
解：．
18. 为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，今年月份，某学校开展数学学科月活动，共开展四个项目：．讲述数学故事；．制作数学手抄报；．制作数学模型；．挑战数学游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是________人，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中扇形的圆心角度数为________；
（3）若该校共有学生人，试估计参与制作数学手抄报的学生大约有多少人？
【答案】（1）人，见解析；
（2）；
（3）估计参与制作数学手抄报的学生大约有人．
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计整体，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）用类别人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出类别的人数，进而补全统计图即可；
（）用度乘以类别的人数占比即可得到答案；
（）用乘以样本中类别的人数百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：（人）．
∴参与此次抽样调查的学生人数是人，
∴类别的人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
∴扇形统计图中扇形的圆心角度为，
【小问3详解】
解：（人），
答：估计参与制作数学手抄报的学生大约有人．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
20. 如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查三线合一和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后利用角平分线的性质得到结论即可．
【详解】证明：连接，
∵，
⸫，
∵M为的中点，
⸫平分，
∵，，
⸫．
21 若，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，多项式乘以多项式：
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则得到，再代入进行求解即可；
（2）根据（1）所求结合进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
．
22. 如图，，，，，，
（1）设，求；（用表示）
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，
（1）由，，，根据勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，利用，即可得到的度数；
（2）由（1）中可知，都为直角三角形，四边形的面积等于，面积的和，利用三角形面积公式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，满足勾股定理，
∴是直角三角形，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由图可得：四边形的面积，
由（1）可知，，都为直角三角形，
∴四边形的面积．
23. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____（填“>”，“