2026年安徽省巢湖市部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析）

这是一份2026年安徽省巢湖市部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析），共10页。
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 如果收入20元记作元，那么支出10元记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】已知收入记为正，可得支出记为负，据此即可得到答案.
【详解】解：∵收入20元记作元，收入与支出是相反意义的量，正负数可以表示相反意义的量，
∴支出10元记作元.
2. 2025年我国原油产量达到吨，创历史新高.其中数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数的表示形式为，其中，为原数的位数减一．
【详解】解：．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A.主视图是上面三角形，下面半圆，左视图是上面三角形，下面半圆，俯视图是中间有圆心的圆，故符合题意；
B.主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；
C.主视图是上面等腰三角形，下面等腰梯形，故不符合题意；
D.主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故不符合题意.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并．错误，不符合题意；
选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，错误，不符合题意；
选项C：单项式相乘，系数、同底数幂分别相乘．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．正确，符合题意；
选项D：负数的奇次幂，仍是负数．，错误，不符合题意．
5. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门（如图①），图②是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形边长都是1，点O是圆心，若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明为等边三角形，得出，进而求出，然后根据弧长公式求解即可.
【详解】解：由题图可得，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴优弧的长为.
6. 一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先利用函数图象与轴的交点可知当时，，再对关于x的不等式进行整理，利用整体思想即可求出不等式的解集．
【详解】解：由图象可得，当时，，
∴关于x的不等式的解集是，
∵可化为，
∴，
∴关于x的不等式的解集为．
7. 如图，在中，平分交于点D，交于点E ．若，，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】证明，求出，根据平行线的性质和等边对等角得出，根据等角对等边得出，结合求出，即可求解.
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
8. 在学校组织的乒乓球比赛中甲、乙两名选手进入最终决赛，决赛采用“五局三胜制”，即只要某一方累计胜场达到3局，比赛立即终止．在第三局结束时，甲与乙的比分为，已知每局比赛中甲、乙获胜的概率相等，则甲夺冠的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】解：画树状图如解图，其中甲在第四局结束夺冠的概率是，在第五局夺冠的概率是，
∴P（甲夺冠）．
9. 已知二次函数的图象上有点，，且满足，，则点，在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A. 在x轴正半轴上，在第四象限B. 在x轴正半轴上，在第一象限
C. 在x轴负半轴上，在第二象限D. 在x轴负半轴上，在第三象限
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得且，则有抛物线与x轴有两个交点，且，故，然后可分在x轴负半轴上和在x轴正半轴上，进而分类进行求解即可．
【详解】解：∵且，
∴抛物线与x轴有两个交点，且，故，排除A，D选项；若在x轴负半轴上，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴，
∵，
∴，在对称轴右侧，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴不符合题意，
若在x轴正半轴上，
∵，，
∴当时，，此时在第一象限，
∴B选项正确，C选项错误．
10. 如图，点是边长为的正方形对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，连接，取中点为，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 当取最小值时，D. 面积的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质，四边形内角和即可得出，根据等面积法即可求得；当时，HM取最小值，即可得出，过点G作交HF的延长线于点P，设，的面积为，进而列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
如解图①，过点C作于点Q，
∵，
即，且，
∴，故B选项正确，不符合题意；
由题意可知，，
当时，取最小值，此时，故C选项正确，不符合题意；
如解图②，过点G作交HF的延长线于点P，
由B选项可知，
∴，
∴，
设，的面积为，则，，
∵，
，
∴S的最大值为，故D选项错误，符合题意．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______．
【答案】如果，那么
【解析】
【详解】解：原命题的条件是，结论是，
将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”．
12. 因式分解：=___．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底.
【详解】解：原式.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点，，可得，可得，根据题意可得，可得，代入的面积，即可得的长．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵点，点在反比例函数的图象上，的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点向下平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴．
14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接，．
（1）_____（用含的式子表示）；
（2）当时，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质知，即点E为的中点，再由折叠的性质及垂直平分线的性质得出，利用各角之间的关系即可求解；
（2）连接，由（1）得为的垂直平分线，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，然后代入求解即可
【详解】解：（1）由折叠的性质知，即点E为的中点，
∵，
∴Q为的中点，
又∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴；
（2）如解图，连接，
由（1）得为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，即，
∴，
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A，B，C的坐标分别为和．
（1）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的；
（2）在所给的网格图中找一点P，使得点P到A，B，C三点距离相等，并写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据旋转作图即可；
（2）根据y轴是的垂直平分线，得到点P到点A，B的距离相等，推导出点E为的中点，且，得到是的垂直平分线，即可得到点P到A，B，C三点距离相等，则点P即为所求．
【小问1详解】
解：如解图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如解图所示，点P即为所求，点P的坐标为．
理由如下：
∵A，B的坐标分别为，
∴y轴是的垂直平分线，
∴点P到点A，B的距离相等，
由图可知，点E为的中点，，
即，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是的垂直平分线，
∴点P到点C，B的距离相等，
∴点P到A，B，C三点距离相等，此时点P与原点重合，即点P的坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯．
（1）填表：
（2）如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？
【答案】（1），
（2）B饮料原价是12元/杯
【解析】
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据题意列出一起买的支付金额，再列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得
第一次实际支付金额为元，
第二次实际支付金额为元；
【小问2详解】
解：如果一起买，两次共购买了4杯A饮料，5杯B饮料，
∴实际支付金额为，
∴，
解得．
答：B饮料原价是12元/杯．
18. 为了营造“书香校园”的良好氛围，某中学开展了“一周阅读”打卡活动．为了解活动效果，校学生会随机抽查了八年级（1）班和（2）班各10名同学，统计了他们一周（7天）的自主阅读总时长（单位：小时），并进行整理，绘制了如下所示统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：统计表中的_________，________；
（2）若该校八年级共有600名学生参加了本次活动，估计其中有多少名学生一周阅读时长达到或超过平均数；
（3）根据以上数据，你认为该校八年级（1）班和（2）班中哪个班级学生阅读时长整体较好?请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】（1）8；8 （2）该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人
（3）八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义进行计算即可；
（2）根据样本中达到或超过平均数的人数计算出占比，再乘以全校八年级学生数即可；
（3）从平均数、中位数和方差的角度评价两个班级的数据即可．
【小问1详解】
解：由统计图可知，八（1）班的平均数为，
∴，
将八（2）班抽取的10名同学一周阅读时长从小到大排列为：
4，6，6，7，8，8，9，9，10，13，
其中第5个数和第6个数都是8，
∴八（2）班的中位数为，即；
【小问2详解】
解：由题意可知，抽取的20名学生中，一周阅读时长大于或等于8小时的有12人，
（人）．
答：该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人；
【小问3详解】
解：八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由如下：
八年级（1）班和（2）班参加“一周阅读”打卡的10名学生的平均时长相等，中位数也相等，但八年级（1）班学生的时长的方差较小，因此八年级（1）班学生的时长更加稳定，整体较好．（答案不唯一，合理即可）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究
【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示：
①
②
通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大．
【模型构建】
（1）如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）；
结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）；
【拓展应用】
（2）现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____．
【答案】（1）20；；增大而减小
（2）9
【解析】
【分析】（1）设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解，同理可得其他问题答案；
（2）设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得：分割后的蛋糕块数为，然后根据题中所给结论进行求解即可．
【小问1详解】
解：设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为，
∴该矩形的面积为，
由题意可知取整数，
∴当或5时，面积有最大值，最大值为，
示意图如下：
若绳子长为，其中n为奇数，同理可得：该矩形的面积为，
∵n为奇数，
∴当或时，面积有最大值，最大值为；
由题意及以上过程可知：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大，也就意味着的值越大，矩形的面积也就越小，
∴当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d增大而减小；
【小问2详解】
解：设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得：
分割后的蛋糕块数为，
要使m最大，需使a、b尽可能接近，
∴当时，即，则有；
当时，即，则有；
∴n的最小值为9．
20. 如图，在中，以为直径的交于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）设，则，由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【小问1详解】
证明：如解图，连接，
∵与相切于点D，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如解图，设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得，
化简得，
∴，
解得（负值已舍去），
∴的半径为5．
六、（本题满分12分）
21. 振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，享有“万里长江第一塔”的美誉．某校“数学与文化”研学小组前往安庆，准备制作该塔的3D打印模型，需要测量并计算塔的高度，为制作3D打印模型提供数据．
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该小组完成任务二和任务三．
（1）任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算振风塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，）
（2）任务三换算模型高度：将的高度按1：5000等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm．（结果精确到0.1cm）
【答案】（1）72.7m
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：如图，延长交于点H．
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴．
∴振风塔的高度约为．
【小问2详解】
解： ，按等比例缩小后为．
七、（本题满分12分）
22. 如图①，在菱形中，，点为边上一动点，交于点为线段上一动点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）连接，当点是中点时．
（i）如图②，若，，求的长；
（ii）如图③，当点与点重合时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由，可推导出，再证即可证明．
（2）（i）根据条件首先可推导出 ，再根据 ， 可推导出 ，然后过点作 ；用勾股定理求出即可求出．（ii）首先根据 可证明，，，四点共圆，进一步推导出，然后取中点N ，连接 构造 ，可得 ，再根据的三边比值，可得，的比值，从而求出和的比，即可求出 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，且，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（i）∵，为中点，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图①，过点作，交的延长线于点，
∵，
则，，，
∴，
∴；
（ii）如图②，连接，
∵为中点，
∴，
由题意可知，，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
取中点，连接，
由（1）知，；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
∴．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，本题的关键是根据角度的关系构造相似三角形和全等三角形．
八、（本题满分14分）
23. 若抛物线与一条直线有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是抛物线的顶点，我们称这条抛物线为该直线的顶点伴生抛物线．已知抛物线C：（m，n为常数）经过点．
（1）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线．
（i）求抛物线C的解析式；
（ii）点在抛物线C上，若当时，总有抛物线对应的函数值，求的取值范围；
（2）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，点在抛物线C上，点在直线上（M，N均不与抛物线顶点重合）．设，若d是一个与无关的定值，求m的值．
【答案】（1）（i）；（ii）t的取值范围为或
（2）m的值为1
【解析】
【小问1详解】
解：（i）∵抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，
∴抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），
∴抛物线C的解析式为；
（ii）由（i）得抛物线对称轴为直线，
∴点Q关于对称轴对称的点为，
∵抛物线开口向上，
∴当或时，，
若当时，总有抛物线对应的函数值，
需满足：完全在内，
∴，
解得，
或完全在内，
∴，
解得，
综上所述，t的取值范围为或；
【小问2详解】
解：∵抛物线C经过点，
∴，∴，
∴，
∵抛物线是直线：的顶点伴生抛物线，且点N在直线：上，
∴，
∴，
∴，
∵d是一个与无关的定值，
∴，
由第二个方程得，
此时为定值，符合题意．
∴m的值为1．A饮料
B饮料
实际支付金额（元）
第一次
1
1
______
第二次
3
4
______
平均数
中位数
方差
八（1）班
8
3
八（2）班
8
项目分析
活动目标
测量振风塔的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具
皮尺，测角仪
项目实施
任务一
测量数据
以下是测得的相关数据，并画出了测量草图．
1．测角仪高；
2．站在C处，从点E测塔顶A的仰角；
3．向振风塔方向前进15米到达D处，即；
4．站在D处，从点F测塔顶A的仰角
任务二
计算实际高度
根据上述测得的数据，计算振风塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，）
任务三
换算模型高度
将的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm．
（结果精确到0.1cm）
项目结果
为研学小组制作振风塔3D打印模型提供数据