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重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六､七章（不含二项分布和正态分布）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 300的不同正因数的个数为（ ）
A. 16B. 20C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】将300分解质因数，求出300的正因数表示式，再利用分步计数乘法原理计算即得.
【详解】显然，则300正因数为，其中，
所以300的不同正因数有个.
故选：C
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再代入原函数进而求出.
【详解】因为，，所以，
所以，即，所以.
故选：A.
3. 的展开式中，系数最大的项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由展开式的通项可知项的系数即为二项式系数，由组合数性质知识解出即可.
【详解】因为展开式的通项为：，
项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，
所以展开式中系数最大的项的系数为.
故选：C.
4. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数求导，代入即得切线的斜率.
【详解】由题意得，
则所求切线的斜率为.
故选：A.
5. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，然后求导，根据函数的单调性求最值即可.
【详解】设利润为，则.
因为，所以当时，，当时，.
故利润最大时的.
故选：C.
6. 河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（ ）
A 18种B. 16种C. 14种D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】种植方案分两类，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再分别计算出种植方案种数.
【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
故不同的种植方案共有种.
故选：C.
7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干忧，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.某次信号传递中，在接收的信号为00的条件下，则传递过程中没有出错的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】设表示“接收的信号为00”，表示“传递过程中没有出错”，
，
，
所以.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将展开式两边求导，再赋值和，利用两方程左右分别相加即得.
【详解】对两边求导，
可得.
令，得，①
令，得，②
由①+②，得，
所以.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当（且）时，
D. 当时，Y的均值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于选项A：当时，，，
则，故A错误；
对于选项B，当时，由，，可得，或，，
所以，故B正确；
对于选项C，当（且）时，，，则，故选项C正确；
对于选项D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，
所以Y的均值为，故D正确．
故选：BCD
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 是的一个极大值
B. 是的极大值点
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数的图象位置判断原函数的单调性，以及导数的几何意义即可判断.
【详解】由题意可知，当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以是的极大值点，3是的极小值点，故B错误，A，C正确；
因为，所以曲线在处切线的斜率小于零，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ）
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条
C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
【答案】ACD
【解析】
【分析】ABC利用组合来计算即可；D选项，先从四个象限中选三个象限，然后分别从三个象限中选一个点即可.
【详解】以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.
轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.
以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.
先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 随机变量的分布列为
则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据分布列中概率和为1列方程，解方程即可.
【详解】由题可得，解得.
故答案为：.
13. 某图书角有7本数学方面的古代经典数学专著图书，分别为《议古根源》《数书九章》《测圆海镜》《详解九章算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》《周髀算经》.若甲､乙两名同学各自从这7本书中随机选取2本，则他们每人恰好都取到1本书名中含有“算”字的图书的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每人恰好取得1本书名中含有“算”字情况和两人随机取2本的情况，然后利用古典概型求概率的公式计算即可.
【详解】由题意可知，他们每人刚好取到1本书名中含有“算”字的书的概率为.
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有两个不同的根，则的取值范围是__________.若在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，进而解出的取值范围；构造函数，求出最小值，由在上恒成立解出即可.
【详解】函数的定义域为
方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，
即直线与函数的图象有两个交点.因为，
当；当
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，当时，，
所以，故的取值范围是；
若在上单调递增，
则在上恒成立，
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，；当时，
此时存在使得在上单调递减，在上单调递增，
不满足题意；
当时，在上单调递增；符合题意
当时，令，令
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若有三个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，求在上的最大值.
【答案】（1）；
（2）27.
【解析】
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，得到函数的极值，然后利用数形结合的思想，由极大值大于0，极小值小于0，可求实数的取值范围.
（2）明确的解析式，求导，分析函数的单调性，利用函数在给定区间上的最小值确定参数的值，再求函数在给定区间上的最大值.
【小问1详解】
因为，
由或.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值点是：；极小值点是：.
因为函数有三个零点，所以.
故实数取值范围是.
【小问2详解】
因为，
所以.
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以，
所以，所以，
故在上的最大值为.
16. 已知在二项式的展开式中，第项为常数项.
（1）求；
（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
（3）在的展开式中，求含的项.
【答案】（1）；
（2）32； （3）.
【解析】
【分析】（1）写出展开式的第项，再令的指数为，即可求出；
（2）根据二项式系数的性质计算可得；
（3）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【小问1详解】
由题意得第项为，
则，解得.
【小问2详解】
所有奇数项的二项式系数之和为.
【小问3详解】
由（1）知，
其中展开式的通项为（且），
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为.
17. 某学院为了统计学院往届毕业生的薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷以统计其薪资情况，共有1000名毕业生填写了问卷.毕业生年薪（单位：万元）以分组的频率分布直方图如图所示，已知年薪在内的毕业生人数成等差数列.
（1）求这1000名毕业生年薪的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若采用分层抽样的方式从年薪作内的毕业生中抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取3人作为优秀毕业生代表，抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的条件下，求抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的概率；
（3）记（2）中抽取的3人中年薪在内的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）43； （2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）先求出的值，再根据公式求平均值即可；
（2）算出各区间抽取人数，设出事件求出条件概率即可；
（3）写出的可能取值，分别求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
因为年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
且年薪在内的毕业生人数成等差数列，
所以，解得，
所以年薪在内的人数为150.
因为，
所以，所以毕业生年薪的平均数为：
.
【小问2详解】
易知采用分层抽样抽取的6人中，
年薪在内的分别有3，2，1人，
记事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
则，
所以
【小问3详解】
随机变量可以取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
18. 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】（1）需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个
（2）0.028 （3）甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元
【解析】
【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进而求出数量；
（2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可；
（3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用.
【小问1详解】
设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
【小问2详解】
由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028．
【小问3详解】
设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2），求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式得到直线方程即可；
（2）给定区间内函数不等式恒成立求参问题，构造函数，求导分与零的关系讨论单调性，其中当时结合零点存在定理分析，最终求出符合条件的的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
则.
故的图象在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
等价于.
令，则.
若，则在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
若，令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，则，
当，即时，在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
当，即时，，
则，，所以当时，，即，
故在上单调递增；当时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于能理解题意得到问题等价于对于恒成立，再构造函数，求导分析单调性得到结果即可.
1
2
3
0
1
2
3
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六､七章（不含二项分布和正态分布）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 300的不同正因数的个数为（ ）
A. 16B. 20C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】将300分解质因数，求出300的正因数表示式，再利用分步计数乘法原理计算即得.
【详解】显然，则300正因数为，其中，
所以300的不同正因数有个.
故选：C
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再代入原函数进而求出.
【详解】因为，，所以，
所以，即，所以.
故选：A.
3. 的展开式中，系数最大的项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由展开式的通项可知项的系数即为二项式系数，由组合数性质知识解出即可.
【详解】因为展开式的通项为：，
项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，
所以展开式中系数最大的项的系数为.
故选：C.
4. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数求导，代入即得切线的斜率.
【详解】由题意得，
则所求切线的斜率为.
故选：A.
5. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，然后求导，根据函数的单调性求最值即可.
【详解】设利润为，则.
因为，所以当时，，当时，.
故利润最大时的.
故选：C.
6. 河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（ ）
A 18种B. 16种C. 14种D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】种植方案分两类，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再分别计算出种植方案种数.
【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
故不同的种植方案共有种.
故选：C.
7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干忧，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.某次信号传递中，在接收的信号为00的条件下，则传递过程中没有出错的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】设表示“接收的信号为00”，表示“传递过程中没有出错”，
，
，
所以.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将展开式两边求导，再赋值和，利用两方程左右分别相加即得.
【详解】对两边求导，
可得.
令，得，①
令，得，②
由①+②，得，
所以.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当（且）时，
D. 当时，Y的均值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于选项A：当时，，，
则，故A错误；
对于选项B，当时，由，，可得，或，，
所以，故B正确；
对于选项C，当（且）时，，，则，故选项C正确；
对于选项D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，
所以Y的均值为，故D正确．
故选：BCD
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 是的一个极大值
B. 是的极大值点
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数的图象位置判断原函数的单调性，以及导数的几何意义即可判断.
【详解】由题意可知，当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以是的极大值点，3是的极小值点，故B错误，A，C正确；
因为，所以曲线在处切线的斜率小于零，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ）
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条
C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
【答案】ACD
【解析】
【分析】ABC利用组合来计算即可；D选项，先从四个象限中选三个象限，然后分别从三个象限中选一个点即可.
【详解】以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确.
轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.
以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.
先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 随机变量的分布列为
则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据分布列中概率和为1列方程，解方程即可.
【详解】由题可得，解得.
故答案为：.
13. 某图书角有7本数学方面的古代经典数学专著图书，分别为《议古根源》《数书九章》《测圆海镜》《详解九章算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》《周髀算经》.若甲､乙两名同学各自从这7本书中随机选取2本，则他们每人恰好都取到1本书名中含有“算”字的图书的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每人恰好取得1本书名中含有“算”字情况和两人随机取2本的情况，然后利用古典概型求概率的公式计算即可.
【详解】由题意可知，他们每人刚好取到1本书名中含有“算”字的书的概率为.
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有两个不同的根，则的取值范围是__________.若在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，进而解出的取值范围；构造函数，求出最小值，由在上恒成立解出即可.
【详解】函数的定义域为
方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，
即直线与函数的图象有两个交点.因为，
当；当
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，当时，，
所以，故的取值范围是；
若在上单调递增，
则在上恒成立，
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，；当时，
此时存在使得在上单调递减，在上单调递增，
不满足题意；
当时，在上单调递增；符合题意
当时，令，令
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若有三个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，求在上的最大值.
【答案】（1）；
（2）27.
【解析】
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，得到函数的极值，然后利用数形结合的思想，由极大值大于0，极小值小于0，可求实数的取值范围.
（2）明确的解析式，求导，分析函数的单调性，利用函数在给定区间上的最小值确定参数的值，再求函数在给定区间上的最大值.
【小问1详解】
因为，
由或.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值点是：；极小值点是：.
因为函数有三个零点，所以.
故实数取值范围是.
【小问2详解】
因为，
所以.
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以，
所以，所以，
故在上的最大值为.
16. 已知在二项式的展开式中，第项为常数项.
（1）求；
（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
（3）在的展开式中，求含的项.
【答案】（1）；
（2）32； （3）.
【解析】
【分析】（1）写出展开式的第项，再令的指数为，即可求出；
（2）根据二项式系数的性质计算可得；
（3）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【小问1详解】
由题意得第项为，
则，解得.
【小问2详解】
所有奇数项的二项式系数之和为.
【小问3详解】
由（1）知，
其中展开式的通项为（且），
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为.
17. 某学院为了统计学院往届毕业生的薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷以统计其薪资情况，共有1000名毕业生填写了问卷.毕业生年薪（单位：万元）以分组的频率分布直方图如图所示，已知年薪在内的毕业生人数成等差数列.
（1）求这1000名毕业生年薪的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若采用分层抽样的方式从年薪作内的毕业生中抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取3人作为优秀毕业生代表，抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的条件下，求抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的概率；
（3）记（2）中抽取的3人中年薪在内的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）43； （2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）先求出的值，再根据公式求平均值即可；
（2）算出各区间抽取人数，设出事件求出条件概率即可；
（3）写出的可能取值，分别求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
因为年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
且年薪在内的毕业生人数成等差数列，
所以，解得，
所以年薪在内的人数为150.
因为，
所以，所以毕业生年薪的平均数为：
.
【小问2详解】
易知采用分层抽样抽取的6人中，
年薪在内的分别有3，2，1人，
记事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
则，
所以
【小问3详解】
随机变量可以取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
18. 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】（1）需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个
（2）0.028 （3）甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元
【解析】
【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进而求出数量；
（2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可；
（3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用.
【小问1详解】
设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
【小问2详解】
由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028．
【小问3详解】
设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2），求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式得到直线方程即可；
（2）给定区间内函数不等式恒成立求参问题，构造函数，求导分与零的关系讨论单调性，其中当时结合零点存在定理分析，最终求出符合条件的的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
则.
故的图象在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
等价于.
令，则.
若，则在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
若，令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，则，
当，即时，在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
当，即时，，
则，，所以当时，，即，
故在上单调递增；当时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于能理解题意得到问题等价于对于恒成立，再构造函数，求导分析单调性得到结果即可.
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