新高考数学解答题核心考点预测 第4讲 等差数列与等比数列的综合练习（含解析）

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1．已知数列和满足，，对都有，成立．
（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；
（Ⅱ）求和的通项公式；
（3），，求证：．
2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
3．已知数列的前项和，其中．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求．
4．已知等比数列的公比．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明，对任意，，，成等差数列．
高考预测二：等差等比的交汇问题
5．在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．
6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．
（1）若，是否存在、，有？说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；
（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．
7．已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
8．设数列的前项和为，，．
（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
第4讲 等差数列与等比数列的综合解析
高考预测一：等差等比的证明
1．已知数列和满足，，对都有，成立．
（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；
（Ⅱ）求和的通项公式；
（3），，求证：．
【解析】证明：对都有，成立．
，．
．．
数列是等比数列，公比为；是等差数列，公差为2．
解：由可得：．
．
．
．
解：．
，
，
．
2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：，，即，
数列是首项为，公比为3的等比数列，
，即，
（2）由（1）知，，
又数列是首项为1的等差数列，的公差为1，
，，
，
，
，
，
．
3．已知数列的前项和，其中．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求．
【解析】解：（1）根据题意，若，，．
当时，，
两式相减，得，即，
，．．即，即，，
是等比数列，公比，
当时，，即，
；
（2）若，则，即，
则，得．
4．已知等比数列的公比．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明，对任意，，，成等差数列．
【解析】（1）解：由，以及可得．
数列的前项和．
（2）证明：对任意， ．
把代入可得，
故，
故，，成等差数列．
高考预测二：等差等比的交汇问题
5．在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设等差数列的公差为，
，．
，解得，
．
（2）由，得，
数列中落入区间，内的项的个数，
．
6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．
（1）若，是否存在、，有？说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；
（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．
【解析】解：（1）由，得，
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立．
（2）设，若，对都成立，
且为等比数列，则，对都成立，
即，，
对都成立，
若，则，，．
若，则，（常数），即，则，矛盾．
综上所述，有，，使对一切，．
（3），，，
设，、，．
，
，
、，，
取，，由
二项展开式可得整数、，
使得，
，
存在整数满足要求．
故当且仅当，，命题成立．
7．已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
【解析】解：（1）因为且,
所以,
则
,
上式对也成立，
故；
（2）等价为,
数列的前项和为,
令,
其前项和为,
则有,,,
故,,,
当时，,
则有,
综上可得,不等式成立的或2．
8．设数列的前项和为，，．
（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：由，
得．
当时，，
即，
故数列是以1为首项，以4为公差的等差数列．
于是，，
；
（2）解：由，得，
又．
令，得，即存在满足条件的自然数；
（3）解：，
．
要使总成立，需成立，即且，故适合条件的的最大值为7．