高中数学高考考点14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）

这是一份高中数学高考考点14 等差数列与等比数列（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版），共25页。试卷主要包含了等差数列的概念，等差数列的性质，等比数列的常用性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式等内容，欢迎下载使用。
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2).
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
二、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq \r(xy).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
等差数列及其前n项和
一、解答题
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列前项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，
（2）由（1）可得，则，从而，然后利用放缩法可证得结论
(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，
整理得，．
所以数列为以2为首项公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
2．（2022·山西·二模（理））已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
【分析】（1）根据可得，相减可得，再得到，再次相减即可证明结论；
（2）若选①，则讨论n的取值范围，分段求得结果；
若选②，将化为，利用（1）的结果，结合等差数列的前n项和公式求得答案．
(1)证明：因为，所以，
则，
两式相减得，
所以，
以上两式相减得，
所以数列是等差数列．
(2)中令 得，又，
所以等差数列的公差，
所以，，
若选①：
若，，则
；
若，
，
所以；
若选②：
．
3．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
【答案】(1)，，
(2)若选①，；若选②，.
【分析】（1）根据递推关系可求得，可猜想得到；利用数学归纳法可证得；
（2）若选条件①，由可整理得到，由此可得；
若选条件②，由可整理得到，由此可得.
(1)由得：；；
猜想可得：；
当时，满足；
假设当时，成立，
则当时，成立，
综上所述：当时，.
(2)
若选条件①，，
若为等差数列，则，
即，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列；
若选条件②，，，
若为等差数列，则，
，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列.
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式直接构造方程组求得，由此可得；
（2）利用等差数列求和公式可求得，利用的二次函数性可求得最大值.
(1)设等差数列的公差为，
则，解得：，.
(2)由（1）得：，
则当时，.
等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2021·安徽池州·一模（理））已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出数列的通项公式，利用满足在时的表达式可求得实数的值.
【详解】当时，；
当时，.
因为数列为等比数列，则，解得.
故选：C.
二、多选题
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，3，则是等比数列D．若，，则
【答案】BC
【分析】A选项由递推关系计算可判断；B选项，递推关系变形为，构造一个等比数列，可求出通项公式，从而判断；C选项由递推关系变形出，从而得到判断；D选项，递推关系变形得出是等比数列，从而求得通项公式进行判断．
【详解】A选项：若，则，即.
又，则，，故A错误.
B选项：若，则，即，
即，则.又，则，
所以是首项为1，公比为的等比数列，则，
即，即，故B正确.
C选项：若，则，即，
则，
所以是公比为的等比数列，故C正确.
D选项：若，则，则，
则，
即.又，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，
即，即，故D错误，
故选：BC.
三、解答题
3．（2022·江西·二模（文））已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令，可知，结合，可求得，，再令，可得，即可求解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求解即可.
(1)由题，令，得，又，
解得或（舍去），，
令，得，所以，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.
(2)由（1）可得，，
所以，
所以，
两式相减得，
即，
所以，
所以.
4．（2022·河南·二模（理））已知数列的前项和为 ，，，，且满足：，其中且.
(1)求.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设，由得，又，再按照等比数列通项公式求解即可；
（2）设，由，通过累加法求得，再通过分组求和及等比数列的求和公式求即可.
(1)记，当时，由得，，即.
又因为，，，所以，，即.
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即数列是等比数列.
则.
(2)由（1）知.
记，故，
当时，
即.
而也满足，故对，均有.
从而.
5．（2022·重庆·二模）设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据求解的通项，根据，可得为等比数列，求解计算即可；（2）根据通项采用分组求和即可.
(1)由，①，得：
当时，,解得或（负值舍去），
当时，②，
得：，
所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以.
因为数列满足，，.
所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.
所以.
(2)因为，所以，
所以
.
1. （2020年新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2. （2019年新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
3. （2021年全国高考甲卷） 已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
【分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前项和公式证明结论即可．
【详解】解：选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列的公差为，则：
，
数列 为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：，，
则数列 的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
一、单选题
1.（2022·北京·模拟预测）已知公差不为零的等差数列，首项，若，，成等比数列，记（，），则数列（ ）
A. 有最小项，无最大项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，无最小项D. 有最大项，有最小项
【答案】D
【分析】根据等差数列、等比中项可求出公差，得出通项公式，由的项的特点求解即可.
【详解】设的公差为，
则，
解得，
，
当时，有最小值，当时有最大值.
故选：D
2.（2022·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（ ）
A. 171B. 278C. 351D. 395
【答案】C
【分析】通过得出数列隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.
【详解】由，，
是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列，
是首项为3，公差为2的等差数列，
.
故选：C.
3.（2022·福建龙岩·一模）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 2022D. 4044
【答案】A
【分析】先判断函数是奇函数，再求出，再利用等差数列的前项和公式得解.
【详解】解：因为是奇函数，
因为，，所以，
所以，所以，
所以.
故选：A
二、多选题
4.（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即时，，解得，
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C：六级地震即时，，解得，
所以，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
5.（2022·海南·模拟预测） “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则从开始出现数字
B. 若，则的最后一个数字均为
C. 不可能为等差数列或等比数列
D. 若，则均不包含数字
【答案】BD
【分析】求出，可判断A选项；分、两种情况讨论，逐项递推可判断B选项；取可判断C选项；利用假设法可判断D选项.
【详解】对于A，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，A错；
对于B，若，即“个”，，即“个，个”，
，即“个，个”，，，
以此类推可知，的最后一个数字均为，
若，则，，，，以此类推可知，的最后一个数字均为.
综上所述，若，则的最后一个数字均为，B对；
对于C，取，则，此时数列既是等差数列，又是等比数列，C错；
对于D，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，D对.
故选：BD.
6.（2022·福建龙岩·一模）已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列的奇数项构成的数列是等差数列B. 数列的偶数项构成的数列是等比数列
C. D.
【答案】BC
【分析】根据，，进行递推得到数列的规律逐项判断.
【详解】因为，，
所以,，
，,
，,
，，
，，
，，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
，
，
，
，
，
故选：BC.
7.（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A. B. 当时，最小
C. 当时，最小D. 存在，使得
【答案】AC
【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，∵，，∴，又，，
∴，
故A正确.
对B，C，由等比数列的性质，，
故，，∵，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC
8.（2022·湖北·一模）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）.若SA=，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为，点P到AB，AC，BC的距离分别为，那么（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 若成等差数列，则为定值D. 若成等比数列，则为定值
【答案】BCD
【分析】由等面积法计算判断选项AB，由等体积法计算，并结合等差中项与等比中项的性质，判断选项CD.
【详解】如图，作，由题意，根据等面积法可得，即，得，所以为定值，B正确；因为SA平面ABC，所以，又因为，，所以平面，平面，设点到平面的距离为，由等体积法可知，，
即，得，
因为，若成等差数列，
即，所以为定值，C正确；若成等比数列，即，
所以为定值，D正确；
故选：BCD
【点睛】一般关于三棱锥体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入棱锥的体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高或者分为多个小三棱锥的和计算；
三、填空题
9.（2022·河北唐山·一模）
记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
【答案】##
【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，.
故答案为：.
四、解答题
10.（2021辽宁省盘锦市高级中学高三上学期9月月考）. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为.
（1）若成等差数列，求的值；
（2）若的前项和为，求的最值.
【答案】（1）；（2）最小值为，无最大值.
【分析】（1）由等比数列通项和求和公式可求得；由等差数列定义可构造方程求得；
（2）由（1）可得，采用分组求和可求得；根据可确定的单调性，由此可得最值.
【详解】（1）是首项为，公比为的等比数列，，；
成等差数列，即，，
解得：；
（2）由（1）知：，
，
，
当时，；当时，；当时，；
当或时，取得最小值，即；
当时，，则无最大值.
11.（2022江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）设公比的等比数列满足：，且是与的等差中项.
（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）、利用等差中项的相关性质构建等式，结合题目已知条件即可求出，再利用构造关于的等式求出，最后写出数列通项公式；
（2）、由（1）可求出数列的通项公式，求出前项和.
【详解】解：（1）∵，∴，∵是与的等差中项，∴即.
∴即或，
∵，∴，∴，即，；
（2）由（1）可知，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴.
12（2021广东省深圳市横岗高级中学高三第一次月考）
已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据与的关系式得到，然后证明即可；
（2）根据（1）求出数列的通项公式，然后根据数列与的通项公式得到新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，从而根据等差数列的前项和公式求的前项和．
【详解】（1）证明：由，得，
将上述两式相减，得，即．
，
则，
数列是常数列；
（2）由（1）可知，当时，，
，检验当时，也适用，
，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
的前项和为．