新高考数学解答题核心考点预测 第6讲 数列的综合练习（含解析）

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1．（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：．
2．若为正整数），
求证：不等式对一切正整数恒成立．
3．已知正项数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．
4．等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
5．已知曲线，，2，．从点向曲线引斜率为的切线，切点为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）证明：．
6．已知函数．
（Ⅰ）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
求证：．
7．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：，．
8．已知函数．
（1）求的极值；
（2）求证：且．
9．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求证：．
10．设数列的前项和为，已知，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．
11．已知二次函数的图象过点，且．
（1）求的解析式；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中的数列，求证：．
12．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
13．已知函数，（1），，令，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明．
14．已知函数，数列满足条件：，．试比较与1的大小，并说明理由．
15．设数列的前项和为，且，．
（1）求证：数列为等比数列，并求；
（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．
16．已知数列满足：且，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：．
17．设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立．数列
满足：．，．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求证：．
第6讲 数列的综合解析
高考预测一：数列不等式的证明
1．（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：．
【解析】解：（1）证明：，
，故不等式成立．
（2）证明：
，
即．
2．若为正整数），
求证：不等式对一切正整数恒成立．
【解析】证明：
即：
．
不等式对一切正整数恒成立．．
3．已知正项数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）解：当时，，即，，，
又，解得，
由，可得，
即，
，，
又，
是首项为1，公差为1的等差数列，
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，
当时，，
将上式对从1到求和，得，
注意到：，
将上式对从1到求和，
得，
所以．
经验证，当时，上式也成立．
4．等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
【解析】解：（1）由题意，，当时，，
且，所以时，是以为公比的等比数列，
又，，，即，解得，
的值；
（2）证明：当时，由（1）知，因此，
不等式为
①当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立
②假设时结论成立，即，
则当时，
要证当时结论成立，只需证成立，
只需证：成立，显然成立，
当时，成立，
综合①②可知不等式成立．
5．已知曲线，，2，．从点向曲线引斜率为的切线，切点为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）证明：．
【解析】解：（1）设直线，联立，
得，
则△，
（负值舍去），
可得，；
（2）证明：，
由，即为，
即有，
，
可得；
由，设，
，由，
可得，即，在，递增，
由，，
可得，
即有，即，
则．
6．已知函数．
（Ⅰ）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
求证：．
【解析】解：，，（2分）
由题意可得（1），即解得，（3分）
由知：（5分）
①当时，，在区间和上，；
在区间上，．（6分）
故的单调递减区间是和，单调递增区间是．（7分）
②当时，，在区间上；在区间上（8分）
故的单调递增区间是，单调递减区间是．（9分）
综上所述：
当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是（10分）
由及知：当时，，且
即当，，时，恒有成立
由知：
；得，
，
即（14分）
7．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：，．
【解析】解：（1）函数的定义域为，．
当时，，
在上是增函数；
当时，若时，有，
若，时，有，
则在上是增函数，在，上是减函数．
（2）由（1）知时，在上是增函数，
而（1），不成立，故，
又由（1）知的最大值为，要使恒成立，
则即可．，即，得．
（3）由（2）知，当时，
有在恒成立，
且在上是减函数，（1），
即在，上恒成立，
令，则，
即，从而，
则，
，．
8．已知函数．
（1）求的极值；
（2）求证：且．
【解析】解：（1）的定义域为，
，令，解得：，
当时，，在是增函数，
当时，，在，是减函数，
在处取得极大值，，无极小值．
（2）证明：由（1），
取，，当时取等号，
令，，故
故；；；
．
9．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求证：．
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，．（1分）
①当时，，在上单调递减；（2分）
②当时，由解得；由解得；（4分）
所以在上单调递增，在上单调递减．（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得当时，（1），
即当且仅当时等号成立．（6分）
所以，，（7分）
，（9分）
所以，
（11分）
即．（12分）
10．设数列的前项和为，已知，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．
【解析】（Ⅰ）解：，．
①
当时，②
由①②，得，
，
，
，
数列是以首项为，公差为1的等差数列．
，
．
当时，上式显然成立．
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
①当时，，原不等式成立．
②当时，原不等式亦成立．
③当时，，
，
当时，原不等式亦成立．
综上，对一切正整数，有．
11．已知二次函数的图象过点，且．
（1）求的解析式；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中的数列，求证：．
【解析】解：（1）由，解之得，
即；
（2），
，
，由累加得，
；
（3），当时，显然成立；
当时，．
12．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】解：（1）因为函数，，
所以，且（1）．
所以当时恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾；
当时令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），
若，则（a）（1），从而与矛盾；
所以；
（2）由（1）可知当时，即，
所以当且仅当时取等号，
所以，．
，
即；
因为为整数，且对于任意正整数，成立，
当时，，
所以的最小值为3．
13．已知函数，（1），，令，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明．
【解析】（1）解：函数，（1），，
，，
联立解得：．
．
令，，
，
两边取倒数可得：，
变形为：，，
数列是等比数列，首项为1，公比为．
，
．
（2）证明：
，
数列单调递增，，
，
．
14．已知函数，数列满足条件：，．试比较与1的大小，并说明理由．
【解析】解：，，
．
函数在区间，上单调递增，
于是由，得，
由此猜想：．
以下用数学归纳法证明这个猜想：
①当时，，结论成立；
②假设时结论成立，即，
则当时，
由在区间，上单调递增知，
，
即时，结论也成立．
由①、②知，对任意，都有．
即，，
．
15．设数列的前项和为，且，．
（1）求证：数列为等比数列，并求；
（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．
【解析】证明：（1），时，，相减可得，化为：，，
数列为等比数列，首项与公比都为．，化为：．
（2），．
数列的前项和为，
．
16．已知数列满足：且，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：．
【解析】解：（1）当时，，
当时，，
故；
当时，，
，
；
故；
（2）证明：当时，可验证，
，
故
，
故
．证毕
17．设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立．数列
满足：．，．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求证：．
【解析】（1）解：由于对任意都有成立，则
令，得，则；
（2）解：由于的解集为，可设，
由，可得，，则；
（3）证明：，
，
则，即有，
令，则，由于，
则有，，
即有，则，则，
则
由于，则上式，则原不等式成立．