湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期拔尖创新班第一次联考数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期拔尖创新班第一次联考数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下：
游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜；
游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜.
(1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率；
(2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大?
(3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？
2. 如图，已知在四面体中，，.
(1)求证：直线在平面上的射影平分；
(2)记直线与平面所成的角为，求证：；
(3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围.
3. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，.
(1)求的面积的最大值；
(2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值.
4. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，.
(1)求；
(2)若，
（i）求；
（ii）求的取值范围.
5. 为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题.
(1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数；
(2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差.
附：方差计算公式：.
二、填空题
6. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______．
7. 已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为________.
8. 已知，记，，则正整数的值为________．
三、多选题
9. 下列命题为真命题的有（ ）
10. 在棱长为2的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
11. 已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（ ）
四、单选题
12. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ）
13. 已知函数，若对任意实数，以，，的数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围是（ ）
14. 已知函数，在上单调，，则（ ）
15. 已知定义在上的函数，满足，，则（ ）
16. 已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（ ）
17. “”是“”的（ ）
18. 已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
19. 已知复数满足，则（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．若，则
B．已知函数在上单调递增，若满足，则
C．若，，则
D．若，则，其中为虚数单位
A．正方体被平面所截的截面为正六边形
B．正方体被平面所截的截面的面积为
C．正方体任意两个顶点的连线所成的直线中与平面平行的直线共有6条
D．正方体任意两个顶点的连线所成的直线中与平面垂直的直线有且仅有1条
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．3
C．4
D．5
A．
B．
C．
D．
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
A．1
B．
C．2
D．