湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新班第一次联考数学试题（解析版）

这是一份湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新班第一次联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
2. 某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】B
【解析】设应抽取的女生人数是，所以，计算得.
故选：B.
3. 数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（ ）
A. 67B. 42C. 62D. 78
【答案】D
【解析】这组数据共9个数，从小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98，
，所以第三四分位数是第7个数，即.
故选：D.
4. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，
向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
5. 已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
①当时，，满足，符合题意；
②当时，，即得，
此时，
由，则或，解得；
综上所述，所求即为.
故选：D.
6. 若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
又的最小值为16，
，
当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16．
所以，即．
若，显然的最小值为16．
故选：A．
7. 已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，设，
则，即，解得，
建立平面直角坐标系，如图所示．
设，，，
则，，，，，
因为，所以，
则，
所以的最大值为．
故选：C．
8. 已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨令，则由得：，
，
设，在上单调递减，
，又为奇函数，
，
，，
又，，即
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BC
【解析】若，，此时有可能在平面内，并不一定，所以A选项错误.
因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，
那么它也垂直于另一个平面，可得.
又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，B选项正确.
设，，在平面内作直线，因为，则.
在平面内作直线，因为，则.
那么，，，所以.
又，，所以，从而，C选项正确.
仅由，，，无法得出，与可能平行，
也可能相交，所以D选项错误.
故选：BC.
10. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ）
A. 事件A和事件B是对立事件B. 事件A和事件C是对立事件
C. D.
【答案】BC
【解析】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误．
事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确．
又因为，所以，C选项正确．
，D选项错误．
故选：BC．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线为函数的图象的一条对称轴
B. 函数在上单调递增
C. 函数在上单调递增
D. ，
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以
，故A对；
对于B，又易知在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B对；
对于C，易知，，不能满足，故C错；
对于D，易知，计算可得，，
结合B选项的单调性可得，使得，故D对．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为__________．
【答案】
【解析】因为数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为，
则数据，，…，的标准差为.
13. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】，设，，则的图象如图所示：
当时，显然不成立；
当时，有一个解，设为，由图可知，当时，显然无四个解，不成立．
当时，有三解，设为，由图可知．
无解，有三解，有一解，故满足题意．
当或时，显然不满足题意．
综上所得，实数的取值范围为：.
14. 已知正四面体的四个顶点在球的球面上，，Q为BC的中点，则过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围是__________．
【答案】
【解析】已知正方体的外接球与正四面体的外接球相同，且正方体体对角线的中点为球心.
设正四面体的棱长为.设外接球半径为，正四面体体积公式.
正四面体的外接球半径与棱长的关系为，已知.
那么，所以，代入可得.
根据圆的面积公式（对于球的截面圆，当截面过球心时，截面圆半径等于球的半径），所以最大截面为过球心的圆，其面积.
这是因为过球心的截面圆是球的大圆，此时圆的半径就是球的半径，所以面积最大.
因为为的中点，由正方体结构特征可得.
设截面圆半径为，球的半径为，球心到截面的距离为（这里，），
根据球的截面性质（在由球心、截面圆心和球面上一点构成的直角三角形中，球的半径为斜边，球心到截面的距离和截面圆半径为两直角边，满足勾股定理），
则.
再根据圆的面积公式，可得最小截面圆面积.
这是因为当与截面圆垂直时，球心到截面的距离达到最大，此时截面圆半径最小，所以截面圆面积最小.
由前面求出的最大截面圆面积和最小截面圆面积，
可知过点的平面截球所得截面圆的面积的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校高一（三）班数学研究小组随机抽取100名同学，获得了他们一周课外锻炼时长（单位：小时）的数据，并整理得到相应的频数分布表和频率分布直方图，如表（一），图（一）所示.
结合以上信息，回答下列问题：
（1）求a，b值；
（2）假设同一组中的每个数据可用该组对应区间的中点值代替，试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数；
（3）试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数．（保留三位有效数字）
解：（1）由表（一）可知：，解得；
位于区间的频数为，则频率为，所以.
（2）样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数为：
．
（3）设样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数为，
由表（一）可知，位于区间的频率为，位于区间的频率为，
所以中位数位于区间，
所以，．
因此，估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数为.
16. 已知函数，．
（1）若，求方程的解；
（2），不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），
设，，，
方程可化为：，解得：或，或.
（2）当时，，；
由（1）知：可化为，
当时，，在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，，解得：，
即实数的取值范围为.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
（3）若的外接圆的半径为，求的取值范围．
解：（1）因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
（2）由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
（3）由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为.
18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率；
（2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
解：（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，
设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，
由题意得，，，相互独立，且，，，．
记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥，
所以，当时，
.
因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为.
（2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”，
则，
，
则，解得，．
②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，
事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，
，，
19. 已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥外接球半径；
（3）求直线CF与平面所成角正弦值的取值范围．
解：（1），，是等边三角形．
又，，即，．
，，由勾股定理得，．
又BC，面，，面．
（2）过等边三角形的外心作直线面，
设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于．
设球的半径为R，，
则，，解得．
（3）由（1）得，面，，
而在中，，得，，
由题意，所以，
所以，
设到面的距离为，则，
，，得．
在中，由余弦定理，得．
设CF与平面所成角为，
则，
，，．