辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了 若，，则， 函数的单调递减区间是， 若，且，则， 已知向量，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，，则，
可得，
所以.
2. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可．
【详解】，
令，则．
所以函数的单调递减区间是.
3. 已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由与的夹角为列出方程求解即可．
【详解】设，
因为与的夹角为，
所以，
两边同时平方得，，
整理得，或，
因为，所以，
所以，则．
4. 的内角所对的边分别为，若，则为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由正弦定理可得，，即，
因为，所以，
故.
5. 已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设与轴的正半轴夹角为，可得与轴的正半轴夹角为，由可求得的坐标．
【详解】解：如图：设与轴的正半轴夹角为，
由题可得，
则，
，
则，
，
所以的坐标为．
6. 若，且，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为，所以，又，
所以，，
所以，
又因为，所以，又，
所以，则，
所以
．
7. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（ ）
A. 的最大值为3
B. 为周期函数，且最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知，由正弦型函数的值域判断A；根据周期函数的定义及诱导公式判断B；由函数对称轴的定义判断C；由函数图像对称中心的定义判断D．
【详解】因为函数，定义域为，
，故A错误；
，
，
对于B，由知B错误，
对于C，由知C错误，
对于D，因为，所以的图像关于点对称，故D正确．
8. 直角中，斜边为所在平面内一点，（其中），则下列说法错误的是（ ）
A. 点经过的外心
B. 点所在轨迹的长度为1
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】若为中点，根据已知有共线，即可判断A，B；设，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，由二次函数图像即可判断C；由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断D．
【详解】若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，故AB正确；
由上述推理知，在线段上，设，则，
因为为中点，所以，，
所以
，故C正确；
由，又斜边，则，则，故D错误．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，且，则（ ）
A. 与的夹角为
B. 在上的投影向量为
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平面向量夹角的余弦公式即可判断A；由投影向量的公式判断B；由平面向量运算的坐标公式判断C；由平面向量模长的坐标公式判断D．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，在上的投影向量为，故B正确；
对于C，，
又，所以，
将代入上式得，，
所以，则或，故C错误；
对于D，由C知，，故D正确．
10. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍
C. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度
D. 先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解．
【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到，
再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误；
对于B，先向左平移个单位长度，得到
，
再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确；
对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，
再向左平移个单位长度得到
，故C正确．
对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，
再向右平移个单位长度，得到，故D错误．
11. 已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 外接圆面积的最大值为
C.
D. 的最小值为64
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角形的内角和及题目所给公式计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、C；根据三角形三边的性质可判断选项D．
【详解】因为，
所以，
因为，所以，则，
所以，
即，
得，即，故A错误；
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以，则，
故的外接圆面积的最大值为，故B正确；
由，
因为，故C正确；
因为，所以，由上述结论可知，
所以，故D错误．
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，则中最大角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理结合已知得出，再由余弦定理即可求解．
【详解】由正弦定理得，，
设，
则，且最大，
所以的最大角为，．
13. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意由三角函数的周期性得出的长，并用的横坐标之差表示，再结合的中点函数值取最值即可求解．
【详解】由题意设，，
因为，所以，
所以，所以，
点和点的中点坐标为，
所以，
所以，即，
解得，所以，
所以，
所以
．
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据奇函数性质推导在全体实数域上的分段表达式，结合取值条件求出三个单位向量两两数量积的取值范围，通过建立平面直角坐标系简化向量运算，将目标式转化为三角函数求值域问题，最终得到取值范围.
【详解】∵ 是定义在上的奇函数，且时，,
∴ 当时，，则，且.
结合已知条件:
由，得.
由，得.
由，得.
∵ 是互相垂直的单位向量，建立平面直角坐标系，设，单位向量,
∴ ，，解得.
∵ ，,
∴ .
由辅助角公式得,
∵ ，∴ ,
∴ ，则,
∴ 原式的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知单位向量的夹角为，向量，向量
（1）若，求的值；
（2）若与夹角为钝角，求的范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）根据垂直向量的数量积为0求解即可；
（2）利用数量积为负求解，注意排除向量共线情况.
【小问1详解】
，
若，则，
即，解得．
【小问2详解】
由题意，，
又时，，，
且
16. 设的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解．
【小问1详解】
因为，且，
所以，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
所以．
【小问2详解】
因为角C的平分线交AB于点D，所以，
所以，所以，
由（1）可知，，结合余弦定理可得，
从而，
，则，
又，
解得．
17. 设的内角所对的边分别为，若．
（1）判断的形状；
（2）若，试求的最小值．
【答案】（1）直角三角形或等腰三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简即可；
（2）由正弦定理边化角得出，设，，构造函数，由换元法求解最小值．
【小问1详解】
因为，结合正弦定理可得，
因此，
因为
所以，
所以，从而，
所以或，
即或，
故为直角三角形或等腰三角形．
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
令，
由于，所以，
所以，
所以，
由对勾函数性质可知在上单调递减，
所以当时，．
18. 设，函数．
（1）求函数的解析式，并写出对称中心；
（2）将的图像向下平移个单位得到函数；
①函数在上恰好有三个对称中心，求的范围；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）， 对称中心为
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换即可化简，
（2）①由诱导公式及同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象列出不等式即可求解；②由题目转化为恒成立，再构造函数求解的最小值即可求解．
【小问1详解】
由题意
，
令，则，
所以对称中心为．
【小问2详解】
①，，
所以，
因为，所以，
因为在上恰好有三个对称中心，
所以，所以．
②对任意恒成立，
即，
令，则，
所以，设，
则，又，
所以为奇函数，且为周期函数等价于任意的，
若，则；若，则；
即，所以只要取内的最小值即可．
，令，
则，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，所以．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，已知．
（1）求角A；
（2）若点在上，为的费马点，当面积最大时，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律即可求解；
（2）根据平面向量线性运算，数量积的运算律及基本不等式得出，再根据等面积法得出，由平面向量数量积的运算即可求解；
（3）设，由费马点的性质及余弦定理得出，再由基本不等式求解即可．
【小问1详解】
根据题意，，
．
【小问2详解】
因为，可得，所以，
所以，
又，所以，
所以，当且仅当时，
．
由，三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部．
所以，
所以，
又因为
．
【小问3详解】
∵点为的费马点，，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
所以实数的最小值为．