辽宁省朝阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省朝阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，下列转化结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：人教B必修第一册，必修第二册，必修第三册第七章7.1-7.2.3．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，且，则实数（ ）
A．1或4B．1或C．或1D．或1
4．已知，q：正整数a能被4整除，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．
8．函数若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．有向线段就是向量B．所有单位向量的模都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫作共线向量
10．下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
11．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．在R上单调递增
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数（且）恒过定点__________．
14．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为，半径为，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为（结果保留）__________m．
15．已知事件A，B相互独立，且，，则__________．
16．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，（，），则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知函数是幂函数，且．
（1）求实数m的值；
（2）若，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）
21．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式．
22．（本小题满分12分）
设，已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求k的取值范围．
2024学年度朝阳市高一年级3月份考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为，，所以，故选B．
2．D 因为与角终边相同的角是，，所以与角终边相同的角是．故选D．
3．B 由，有，解得或．
4．B 由题知p命题表示正整数a能被2整除，
而能被4整除的正整数一定能被2整除，故q能够推出p，
而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故p无法推出q，
故p是q的必要不充分条件．故选B．
5．A 角与均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，．
6．D 从5个球中取出两个的取法共有10种，而一白一黑包含其中的4种，所以一白一黑的概率为．
7．C 因为函数是定义在R上的奇函数，所以．故选C．
8．A 因为对任意，，都有成立，所以是减函数，
则解得．故选A．
9．BD 根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答，由有向线段、向量的定义知，A不正确；
单位向量是长度为1的向量，B正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，D正确．
10．AD 因为，所以选项A正确；
因为，所以选项B不正确；
因为，所以选项C不正确；
因为，所以选项D正确，故选AD．
11．ABC 幂函数是偶函数，且在上单调递减，故A正确；
是偶函数，在上单调递减，故B正确；
是偶函数，且函数在上单调递减，函数在定义域上为增函数，
所以在上单调递减，故C正确；
是奇函数，故D错误．故选ABC．
12．BD ，故A错误；
当时，，所以，故B正确；
因为时，，又，，
所以C错误；
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，．故D正确．故选BD．
13． 令可得，则，因此，函数的图象恒过定点．
14． 圆心角为，即，所以扇形的弧长为，周长．
15． 因为，所以，
同理可得，又因为事件A，B相互独立，所以．
16．2 如图所示延长AD，BF交于点P，，，E为CD中点，
，，P，B，F三点共线，，．
17．解：（1）；
（2）．
18．解：（1），，，
，
当且仅当，时，等号成立，则当，时，的最小值为；
（2），，，
当且仅当即时，等号成立，则当时，y的最大值为．
19．解：（1）因为是幂函数，所以，解得或．
当时，，所以，，所以，不符合题意；
当时，，所以，，所以，符合题意．综上，；
（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，
所以，即，解得，即实数a的取值范围是．
20．解：（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以，
所以，解得，所以，；
（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是．
因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足，
解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，
由，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3．
21．解：（1）因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，即，解得或；
（2）因为函数是上的减函数，所以即
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为．
22．解：（1）由函数为奇函数，有，有，
有，有，
有，得．
①当时，，定义域为，，符合题意；
②当时，，定义域为R，，符合题意．
由上知或1；
（2）当时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增．
设R上任意两个实数，，且．
，
而，，，
，即得证，则在R上单调递增；
（3）由知，由知，所以，
由（2）知在R上单调递增，结合题意有
得即m，n是的两个不同实根，
令，则在上有两个不同实根，
有可得，
故实数k的取值范围为．分组
频数
频率
10
0.20
24
n
m
p
2
0.04
合计
M
1