精品解析：重庆市璧山中学校2025-2026学年下学期七年级期中考试（数学）试题（含答案解析）

这是一份精品解析：重庆市璧山中学校2025-2026学年下学期七年级期中考试（数学）试题（含答案解析）试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在这四个数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③④B. ①③C. ①③④D. ①④
3. 已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点一定不在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑥有（ ）
A. 36B. 50C. 72D. 98
9. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ）
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值；
④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出．
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
10. 已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上．
11. 由，得到用y表示x的式子为______．
12. 设、为实数，且，则的立方根是______．
13. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______．
14. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________．
16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______．
三、解答题（本大题共9小题，其中17、18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点，在同一直线上，且．求证：．
证明：如图，延长交于点，
（已知），
（ ），
（已知），
（ ），
（ ），
（ ），
（已知），
（ ），
（ ）．
19. 解下列方程组：
（1）
（2）
20. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
21. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄．
根据以上信息，解答问题：
（1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？
（2）该物流公司的租车方案有哪几种？
22. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的；
（2）写出点，，的坐标：________，________，________；
（3）设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标．
23. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题：
（1）的“湘一区间”是 ；的“湘一区间”是 ；
（2）若无理数（a为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求的“湘一区间”．
24. 综合与探究
【课本再现】
七年级下册教材页中我们曾探究过“以方程的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：，是方程的解，对应点、．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点、……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）已知、、，则点______（填“或或”）在方程的图象上．
（2）已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，且这个定点在方程的图象上，求的值．
【拓展延伸】
（3）已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值．
25. 2025年春晚重庆分会场赛力斯超级工厂舞台，由780辆“重庆造”新能源汽车表演的灯光秀震惊全场．如图1，假设江两岸是平行的，即，在江两岸安置了两座可旋转探照灯A和B，灯A在灯B东北方向，灯A射出的光线从射线开始以每秒1度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度回转，灯B射出的光线从射线开始以每秒2度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度的0.5倍回转．
（1）如图1，若灯A和灯B同时射出光线，当灯光转动时间为80秒时，记两光线相交于点C．则________；
（2）如图2，点D，E在南线上，点F，G在直线上，H是线段上一点，S是射线上一点，，，和的角平分线相交于点I，和的角平分线相交于点J，与相交于点R，与相交于点，是内部一条射线且，与的角平分线相交于点L，探究与的数量关系并说明理由；
（3）若灯B比灯A提前30秒射出光线，当灯A射出的光线到达时，两灯同时停止照射，直接写出灯A和灯B射出的光线相交且垂直时，灯A射出的光线转动时间t的值．
答案解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在这四个数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③④B. ①③C. ①③④D. ①④
【答案】C
3. 已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 在平面直角坐标系中，点一定不在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
5. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
8. 在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑥有（ ）
A. 36B. 50C. 72D. 98
【答案】C
9. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ）
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值；
④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出．
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
【答案】B
10. 已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先解出、关于的表达式，再逐一判断每个结论的正误即可．
【详解】解：解方程组
∵（1）（2）3得 ，解得 ，
把代入（2）得 ，解得 ，
逐一验证结论：
① 当时，，，则 ，满足，故①正确；
② 当时，，整理得 ，解得，故②正确；
③ ，结果含，的值随变化，故③错误；
④ ， ，故不存在使得，故④正确．
综上，正确的结论共3个．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上．
11. 由，得到用y表示x的式子为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程．通过移项即可得出．
【详解】解：由得，
故答案为：．
12. 设、为实数，且，则的立方根是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
解得，
∴，
∴，
∴的立方根是．
13. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标是，与轴平行，得出点的纵坐标是，又因为，在第一象限，得出点的坐标，即可作答．
【详解】解：∵点的坐标是，与轴平行，
∴点的纵坐标是
∵，
∴或，
∵在第一象限，
∴点的坐标为．
14. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解.
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为，
∴的解为，
∴一元一次方程的解为．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为_________；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，再由在y轴上的点横坐标为0，得到，据此可求出点B的坐标；分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，则，由由垂线段最短可知，据此可得答案．
【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，
∴点B的坐标为，即，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为；
如图所示，分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，
∴
，
由垂线段最短可知，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；．
16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“拉布布数”中各数位上的数的关系得出最大的“拉布布数”；根据能被整除，得出所有符合条件的“拉布布数”，把最大值与最小值相加即可．
【详解】解：最大的“拉布布数”的千位数是，则个位数是，
最大的“拉布布数”的百位数是，
百位数字与十位数字之和为的倍数，其中，
十位数字是，
最大的“拉布布数”是；
是一个“拉布布数”，
则有，是的倍数，
，
，
，
，
设，，
则有，
能被整除，
或，
当时，，
，
则有，，
当时，，，
“拉布布数”千位数最大，故不符合题意；
当时，，，，
“拉布布数”千位数最大，故不符合题意；
当时，，，，
“拉布布数”为；
当时，，，，
“拉布布数”为；
当时，，，，
“拉布布数”为；
当时，，，，
“拉布布数”为；
当，时，
则有，
，
是百位上数字，是十位上的数字，
，，
，
不符合题意；
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为．
三、解答题（本大题共9小题，其中17、18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案；
（2）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解；
；
【小问2详解】
解：
．
18. 阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点，在同一直线上，且．求证：．
证明：如图，延长交于点，
（已知），
（ ），
（已知），
（ ），
（ ），
（ ），
（已知），
（ ），
（ ）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】先结合平行线的性质得，再进行角的等量代换得，证明，又因为，故，即可得出．
【详解】解：证明：如图，延长交于点，
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等量代换）．
19. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键：
（1）利用加减消元法解方程即可；
（2）利用加减消元法解方程即可．
【小问1详解】
解：①＋②，得，．
①－②，得，；
所以这个方程组的解是
【小问2详解】
整理，得
③－④，得．
把代入③，．
所以这个方程组的解是
20. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵扶手与底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
21. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄．
根据以上信息，解答问题：
（1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？
（2）该物流公司的租车方案有哪几种？
【答案】（1）1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨；
（2）该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车．
【解析】
【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案．
【小问1详解】
解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
又∵m、n均为正整数，
∴或，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车．
22. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中画出向右平移3个单位，再向下平移4个单位的；
（2）写出点，，的坐标：________，________，________；
（3）设点在轴上，且的面积等于面积的两倍，求出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）；；
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标．
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可；
（3）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到，，，
∴，，．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴轴，
∴，
∵的面积等于面积的两倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或．
23. 若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题：
（1）的“湘一区间”是 ；的“湘一区间”是 ；
（2）若无理数（a为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求的“湘一区间”．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“湘一区间”的定义．
（1）仿照题干中的方法，根据“湘一区间”的定义求解；
（2）先根据无理数和的“湘一区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，代入即可求解；
（3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“湘一区间”的定义即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，，
∴，
的“湘一区间”是；的“湘一区间”是；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：（a为正整数）的“湘一区间”为，
，
，即，
的“湘一区间”为，
，
，即，
，
，
为正整数，
或，
当时，，
当时，，
的值为或3；
【小问3详解】
解：，
∴，，
，
∴，
，
，
的算术平方根为，
，
，
的算术平方根的“湘一区间”是．
24. 综合与探究
【课本再现】
七年级下册教材页中我们曾探究过“以方程的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：，是方程的解，对应点、．如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点、……将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）已知、、，则点______（填“或或”）在方程的图象上．
（2）已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，且这个定点在方程的图象上，求的值．
【拓展延伸】
（3）已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）的值为或
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系，二元一次方程（组），解题的关键是掌握相关知识．
（1）将、、分别代入中即可求解；
（2）将方程整理得：，根据题意可得，求出，，最后代入中，即可求解；
（3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解．
【详解】解：（1）当时，，
解得：，
不在方程的图象上，
当时，，
解得：，
不在方程的图象上，
当时，，
解得：，
在方程的图象上，
故答案为：；
（2）将方程整理得：，
无论为何值，方程的图象都经过某一定点，
，
，，
将，代入得：
，
解得：；
（3）将方程组化简得：，
得：，
由得：，
将代入得：，
整理得：，
方程组有解，
，即，
，
、、均为正整数，
可取，，，，即可取，，，，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，将代入①得；
当时，，，将代入①得：；
综上所述，的值为或．
25. 2025年春晚重庆分会场赛力斯超级工厂舞台，由780辆“重庆造”新能源汽车表演的灯光秀震惊全场．如图1，假设江两岸是平行的，即，在江两岸安置了两座可旋转探照灯A和B，灯A在灯B东北方向，灯A射出的光线从射线开始以每秒1度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度回转，灯B射出的光线从射线开始以每秒2度的速度顺时针旋转至射线便立即以原速度的0.5倍回转．
（1）如图1，若灯A和灯B同时射出光线，当灯光转动时间为80秒时，记两光线相交于点C．则________；
（2）如图2，点D，E在南线上，点F，G在直线上，H是线段上一点，S是射线上一点，，，和的角平分线相交于点I，和的角平分线相交于点J，与相交于点R，与相交于点，是内部一条射线且，与的角平分线相交于点L，探究与的数量关系并说明理由；
（3）若灯B比灯A提前30秒射出光线，当灯A射出的光线到达时，两灯同时停止照射，直接写出灯A和灯B射出的光线相交且垂直时，灯A射出的光线转动时间t的值．
【答案】（1）
（2），详见解析
（3），75，165
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和与外角，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中抽象出简单图形，是解题的关键：
（1）根据旋转，求出，，过点作，得到，推出即可；
（2）由（1）可得：，设，根据角平分线平分角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，推出，进而得到，即可；
（3）分，和，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：，，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，，，
由（1）可得：，
设，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，，
∵为的外角，
∴，
∵平分，
∵，
∵是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵为的外角，，
∴，
∴，
∴，
连接并延长，则：，
即：，
∴，
∴；
【小问3详解】
旋转到与重合时，所用时间为：；
点旋转到与重合时，所需时间为：，
∵灯B比灯A提前30秒射出光线，
∴①当时，由题意，，，
∴，
∵灯A和灯B射出的光线相交且垂直，
∴，
∴；
②当时，则：，
∴，
∴；
③当时，则：，，
∴，
∴；
综上：或或．