2026年中考数学二轮复习专题04 全等三角形的基本六大模型（题型专练）（全国通用）（含解析）

这是一份2026年中考数学二轮复习专题04 全等三角形的基本六大模型（题型专练）（全国通用）（含解析），共6页。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一线三等角模型
题型02 手拉手模型-旋转型全等
题型03 倍长中线模型
题型04 截长补短模型
题型05 十字架模型
题型06 半角模型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一线三等角模型
典例引领
【典例01】（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在△ABC中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
【典例02】（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求△BDF的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东云浮·一模）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：△AOB是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．

题型02 手拉手模型-旋转型全等
典例引领
【典例01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，．
(1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；
(2)如图，如果，，，连接，，求△BEG的面积．
【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？
尝试应用：如图（），△ABC与△ADE为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明．
拓展延伸：如图（），等腰直角△ADE绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．

方法透视
变式演练
【变式01】（2024·湖南娄底·模拟预测）图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ．
(2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论．
(3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论．
题型03 倍长中线模型
典例引领
【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在△ABC中，是△ABC的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【典例02】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在△ABC中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在△ABC中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在△ABC的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在△ABC中，∠B=90°，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
题型04 截长补短模型
典例引领
【典例01】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
【数学理解】
（2）如图2，在△ABC中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【典例02】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是△ABC的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
题型05 十字架模型
典例引领
【典例01】（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【典例02】（2024·安徽阜阳·一模）【模型建立】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·广东深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．

题型06 半角模型
典例引领
【典例01】（2024·湖北·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________；
【探究猜想】
（2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明；
【探究应用】
（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由．
【典例02】（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ；
（2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边△ABC中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰△ABC中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
题●型●训●练
1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在△ABC中，是边上的中线，若，，，判断△ABC的形状；
(3)【探究提升】如图3，在△ABC中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
2．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的．
【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为．
【类比引申】
（1）如图2，△ABC中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程）
【联想拓展】
（2）如图3，在△ABC中，，点均在边上，且，若，求的长．
3．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】
（1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，在△ABC中，是上一点，，求点到的距离；
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积；
4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现：
如图
(1)如图1，在△ABC中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．
5．（2025·甘肃平凉·二模）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
6．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，△ABC和△ADE中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在△ABC中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，△ABC中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
7．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在△ABC中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断△ABC和△ADE的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在△ABC中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
8．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在△ABC中，点为上一点，，四边形的周长为，△ABC的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在△ABC中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
10．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在△ABC中，是边上的中线，，求的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在△ABC中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围．
11．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景：
（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：
（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由；
探究延伸：
（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：
（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离．考向解读
1. 模型识别与分类：主要考查在一条直线上出现三个相等角的情形，包括直角、锐角、钝角三类，要求学生能快速识别模型。
2. 相似与全等应用：常考利用“一线三等角”证明两三角形相似；若模型中出现一组对应边相等，则可证三角形全等。
3. 综合压轴题：多与坐标系、函数、特殊三角形（等腰直角、等边）结合，求点坐标或线段长度。
4. 图形变换背景：常与翻折、旋转等变换结合，需要学生从复杂图形中抽离出基本模型。
方法技能
1. 找线寻角定模型：在图形中找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。
2. 无边证相似：若只有角相等条件，直接得到三角形相似，利用对应边成比例列方程求解。
3. 有边证全等：若模型中有一组对应边相等（常为等腰三角形边），则证三角形全等，实现边的转移。
4. 辅助线构造：当模型隐含时，主动过顶点作垂线构造“一线三直角”，尤其在坐标系中常用。
考向解读
1. 模型特征：两个共顶点的等腰三角形（或等边、正方形），顶角相等，绕公共顶点旋转构成全等三角形。
2. 全等证明：常考利用“边角边”证明拉手线构成的三角形全等，进而得到对应边相等、对应角相等。
3. 结论应用：常考查拉手线的数量关系（相等）与位置关系（夹角等于顶角或互补）。
4. 综合压轴：多与几何变换、最值问题结合，考查学生从复杂图形中抽离基本模型的能力。
方法技能
1. 识别公共顶点：找到两个等腰三角形的公共顶点，确认顶角相等是模型成立的前提。
2. 找准拉手线：两个三角形非公共顶点间的连线即为拉手线，常证这对三角形全等。
3. 全等得结论：由三角形全等推出拉手线相等，再导角证明拉手线夹角与顶角的关系。
4. 动态中抓不变：图形旋转时，全等关系保持不变，对应边相等、对应角相等始终成立。
考向解读
1. 模型定义：将三角形中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移和角的等量代换。
2. 全等证明：常考利用“边角边”证明倍长后构成的三角形与原三角形全等，得到对应边相等。
3. 应用方向：常用于证明线段不等关系（三角形三边关系）、求线段取值范围、证明线段倍分关系。
4. 综合压轴：多与等腰三角形、直角三角形结合，考查学生构造辅助线解决问题的能力。
方法技能
1. 中线倍长法：见到中线（或中点），将中线延长一倍，连接端点构造全等三角形。
2. 全等得等量：倍长后证三角形全等，得到对应边相等，实现分散线段的集中转移。
3. 构造中位线：倍长中线后常出现中位线，结合中位线性质进一步推导线段关系。
4. 求取值范围：利用三角形三边关系，通过倍长构造将所求线段放入三角形中求解。
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线．
易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
考向解读
1. 模型定义：主要解决证明线段和差关系（如 \(a=b+c\)）的问题，通过截长或补短构造全等或等腰三角形。
2. 截长法：在最长线段上截取一段等于某条短线段，证明剩余部分与另一短线段相等。
3. 补短法：将一条短线段延长，使延长部分等于另一短线段，证明新线段与最长线段相等。
4. 应用场景：常与角平分线、垂直、等腰三角形结合，考查学生构造辅助线证明线段关系的能力。
方法技能
1. 观察定法：根据图形特点选择截长或补短，通常两种方法均可，选择证明更简洁的一种。
2. 构造全等：截长或补短后，常结合已知条件（如角平分线）证明三角形全等，实现边的等量代换。
3. 等腰配合：当出现角平分线+平行线或垂直时，常可构造等腰三角形简化证明。
4. 双法检验：用一种方法证完后，可用另一种方法验证，确保线段和差关系成立。
证明过程缺失
考向解读
1. 正方形中的全等：在正方形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段相等。常考通过证明三角形全等得到结论。
2. 矩形中的相似：在矩形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段的比等于矩形的邻边之比，常考利用三角形相似求解。
3. 三角形中的拓展：在等边三角形或直角三角形中，也有类似的“十字”结构，常涉及全等与相似的综合应用。
4. 折叠问题结合：常与图形的翻折变换结合，需要从折叠图形中抽离出十字架模型解决问题。
方法技能
1. 识别垂直特征：见到四边形内部两条线段垂直，立即联想十字架模型，考虑证明全等或相似。
2. 平移构造：当线段端点不在顶点上时，通过平移将线段端点移到顶点处，构造标准十字架结构。
3. 比例关系应用：矩形中记住结论“垂直两线段之比等于矩形邻边之比”，直接建立方程求解。
4. 多解验证：正方形中“垂直→相等”成立，但“相等→垂直”不一定成立，需结合图形具体分析。
考向解读
1. 模型特征：在一个大角（常见90°或120°）内部包含其一半的小角（45°或60°），且小角顶点与大角顶点重合。
2. 旋转构造：常考通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中解决问题。
3. 线段关系：主要结论为半角两边与正方形（或等边三角形）边构成的线段和差关系（如 EF=BE+DF）。
4. 综合应用：常与勾股定理、最值问题结合，考查学生构造旋转辅助线的能力。
方法技能
1. 旋转定方向：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使旋转边与大角另一边重合，构造全等。
2. 证全等得等量：旋转后证明两个三角形全等，得到对应边相等，实现线段转移。
3. 勾股求值：将转移后的线段集中到直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。
4. 结论巧记：熟记正方形中45°半角模型结论EF=BE+DF，可快速解决填空选择题。
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：．
证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
……