专题07二次函数的应用（知识清单）（2大考点+8大题型+1大易错+4大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（2个核心考点）
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"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点02利用二次函数解决实际问题的常见类型
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（8大重难题型）
题型01二次函数的应用：图形问题
题型02二次函数的应用：销售问题
题型03二次函数的应用：拱桥问题
题型04二次函数的应用：投球问题
题型05二次函数的应用：喷水问题
题型06二次函数的应用：几何运动问题
题型07二次函数的应用：刹车问题
题型08二次函数的应用：其他问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（1个易混易错点）
易错点01利用二次函数求最大利润问题
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧）
技巧01：利用二次函数解决最大利润问题
技巧02：利用二次函数解决抛物形实际问题
技巧03：利用二次函数解决几何面积的最值问题
技巧04：二次函数的几何动点问题
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.理解“问题情境—建立模型一求解验证”的过程，感受函数模型思想和数学的应用价值
2.能分析和表示不同实际背景下变量之间的二次函数关系，并解决与二次函数有关的问题
3.会分析实际问题中包含的数量关系，体会其中的变化规律，从中抽象出二次函数模型，利用二次函数图象和性质解决问题
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阅读并理解题意，分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系
（2）设适当的未知数，用含未知数的代数式表示出变量之间的关系
（3）建立二次函数模型，结合已知条件，找到点的坐标，求出二次函数的解析式
（4）根据题目中的要求，借助二次函数求解
（5）检验结果的合理性，必要时进行合理取舍，确定答案
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利用二次函数模型解决实际问题的常见类型
(1)求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最优方案、最小周长等)：
(2)抛（投）物体、拱桥、隧道、投球、喷水等抛物线形问题
题型01二次函数的应用：图形问题
【典例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏．
(1)当n＝4时，菜园面积的最大值为______．
(2)求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）．
(3)在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______．
【答案】(1)80
(2)
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值．
（2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值．
（3）根据（2）中最大值可列方程，求出，然后根据a、b都是正整数且求解即可．
【详解】（1）解：设菜园的垂直于墙的边为，当时，菜园的平行于墙的边为，菜园面积为，则有：
，
∵，
∴有最大值，最大值为80，
即菜园面积的最大值为，
故答案为：80．
（2）解：设菜园的垂直于墙的边为，则平行于墙的边为，菜园面积为，则有：
．
∵，
∴，
∴
∴当时，有最大值，最大值为，
即菜园面积的最大值为．
（3）解∶当时， 菜园面积的最大值为，
当时， 菜园面积的最大值为，
∵菜园面积的最大值之和为
∴，
整理得，
∴，
∵a、b都是正整数，
∴是16是因数，
∴，，，，，
∴或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去），
又，
∴或或，
故答案为：或或．
【变式练习】
1．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确D．两人均错误
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，
∴，
根据题意，得不等式组，
解得：，
当时，，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
故小明错误，小亮说法正确．
故选：B．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ．
【答案】
【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．
【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为．
设该饲养室的宽为，则长为，
该饲养室的面积．
由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为．
故答案为：．
3．（2024·山东潍坊·二模）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是 ．
【答案】方案3
【分析】本题主要考查同周长的几何图形的面积问题，解题的关键是分别求出三个方案中面积的最大值．分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米；
方案2，作交于点D，

则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积平方米；
方案3，半圆的半径，
此时菜园面积平方米平方米，
故答案为：方案3．
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m．
(1)求与的函数关系式．
(2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由；
(3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？
【答案】(1)
(2)生物乐园面积的面积能不能达到，见解析
(3)当时，生物乐园的面积最大．
【分析】本题考查求函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）由题意可得：的长为，过作于，证明四边形是矩形，得到．证明，得到，根据梯形的面积公式即可列出函数解析式；
（2）令，根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（3）根据二次函数的图象及性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：的长为，过作于．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
（2）解：，
整理得：．
，所以方程没有实数解．
即生物乐园面积的面积能不能达到；
（3）解：由（1）可知：．
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
当时，生物乐园的面积最大，最大值为．
题型02二次函数的应用：销售问题
【典例2】（2025·辽宁抚顺·三模）某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设y与x的关系式为，再运用待定系数法求出，即可作答．
（2）先整理得，，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设y与x的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
∵求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得：，
∵每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，，
答：该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元．
【变式练习】
5．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论：
①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是；
②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元；
③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用．
①根据题意列出函数关系式即可；
②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可；
③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论．
【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是，
故①正确，符合题意；
②设利润为W元，
，
由题意可得：，
∴，
∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大，
∴时，W 最大为8840元，
故②不正确，不符合题意；
③令，
解得，，
∵，
∴，
即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元，
故③不正确，不符合题意；
综上所述，正解的有①，一共1个．
故选：B．
6．（2025·贵州遵义·模拟预测）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进，两种不同类型的护眼灯，若购进5台型和4台型护眼灯需要270元；购进3台型和2台型护眼灯需要148元．
(1)求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价；
(2)该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台，每涨价1元，则每天少售出2台，求每台型护眼灯涨价多少元时，销售利润最大?
【答案】(1)型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元
(2)每台型护眼灯涨价20元时，销售利润最大
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设型护眼灯每台的成本价是元，型护眼灯每台的成本价是元，列出方程组，进行解方程，即可作答．
（2）先设每台型护眼灯涨价元，获得利润为元，再整理得，运用二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，型护眼灯每台的成本价是元，
由题意得，
解得，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯涨价元，获得利润为元，
根据题意得，
依题意，得
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯涨价20元时，销售利润最大．
7．（2025·辽宁丹东·一模）某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数关系式；
(2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当每千克售价80元时，销售利润最大，销售利润最大为4800元
【分析】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设，把，分别代入中得
解得，
所以．
（2）解：设这批水果的利润为w元．
由题意得：
开口向下，
有最大值
，，
当时，（元）
答：当每千克售价80元时，销售利润最大为4800元．
8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
题型03二次函数的应用：拱桥问题
【典例3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答．
（2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
故设该抛物线的函数表达式为，
∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，
即，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵该抛物线的函数表达式为，
∴设，
则，
∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，
∴，
∴灯带总长度，
∵，
∴当时，灯带总长度有最大值，
即，
故的长为．
【变式练习】
9．（2025·广西来宾·三模）如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．
根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可．
【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系，
根据题意得，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵当水面增加时，
∴水面宽度为，
∴，
∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为，
∴当时，．
∴当水面增加时，水面下降了．
故选：B．
10．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过．
【答案】(1)
(2)不超过
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点的坐标为，且过点，故设抛物线的解析式为．然后运用待定系数法进行求解，即可作答．
（2）理解题意，则把代入，得出，再求出，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为．
将代入解析式，得．
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：该瓜农站直行走的横向距离不超过，理由如下：
令，
即，
解得，
瓜农站直行走的横向距离是．
，
瓜农站直行走的横向距离不超过．
11．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．
(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；
(2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）读懂题意，把代入，得，
解得，所以，即可作答．
【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，
∴
设中间大孔抛物线的函数表达式为，
把分别代入，
得，
解得，
∴中间大孔抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，
∴把代入，
得，
解得，
∴．
即此时大孔的水面宽度的值为．
12．（2025·陕西榆林·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】(1)
(2)4条
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
题型04二次函数的应用：投球问题
【典例4】（2025·陕西西安·模拟预测）某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）．
(1)求与的函数解析式．
(2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为，可设抛物线的解析式为：， 将点代入，即可求解；
（2）令抛物线解析式的，即可求出原先羽毛球的落地点到发球机点的水平距离，根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为，
可设抛物线的解析式为：，
将点代入，
得：，
解得：，
关于的函数表解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：，（舍去），
抛物线的形状和对称轴位置都不变，
可设抛物线的解析式为：，
要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，
当时，，
，
解得：，
，
当时，，
发球机的弹射口高度应调整为米．
【变式练习】
13．（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．8B．9C．10D．3
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值．
【详解】解：令，则，
解得或（舍），
∴小强本次投掷实心球的成绩为，
故选：A．
14．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m．
【答案】0.3
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可．
【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为．
设y与x之间的函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为，
当时，，
即的长为，
故答案为：0.3．
15．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键．
（1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为；
（2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙．
【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
16．（2025·陕西宝鸡·一模）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．
（1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可；
（2）设垫高后的抛物线解析式为，分别把和把代入式子，进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵米，
把点代入可得，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：设垫高后的抛物线为，
∵在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱，
∴把代入，可得
解得，
把代入，可得，
解得，
∴，
题型05二次函数的应用：喷水问题
【典例】（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解；
（2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，，
将，分别代入，
得，
解得，
该二次函数的表达式为；
（2）解：由题意，将代入，
得，
解得（舍去），
，
洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为．
【变式练习】
17．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
【详解】解：，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)不能，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可；
（2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
由题可知，其图象顶点坐标为，
抛物线解析式为．
又抛物线过点，
．
．
抛物线解析式为．
（2）解：不能，理由如下：
如图，过点作于，
由题意得点的横坐标为5，即，斜坡的坡比为，
，
，
，
，
当时，，
，
处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由．
【答案】(1)（或）
(2)水柱不会打湿护栏花墙，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解；
（2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为．
设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，），
将代入，得，
解得，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）．
（2）解：水柱不会打湿护栏花墙．．
理由：∵m，m，
∴m，
则点的坐标为．
当时，．
∵，
∴水柱不会打湿护栏花墙．
20．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数
(1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c；
(2)若着火点A高出地面．
①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；
②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______．
【答案】(1)点B的坐标为，
(2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②，
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果；
（2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可；
②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，
点B的坐标为，
抛物线L的解析式为经过点，
，
整理得：；
（2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为，
，
，
由（1）得，
抛物线的解析式为：，
水流恰好经过着火点A，
代入得：，
解得：，
，
抛物线的解析式为：，
对称轴为直线，
②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，，
当抛物线经过点时，
，
解得：；
当抛物线经过点时，
，
解得：，
综上可得：，
，，
随b的增大而增大，
当时，c取得最小值为，
的最小值为
故答案为：，
题型06二次函数的应用：几何运动问题
【典例】（2025·江苏扬州·一模）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
(1)经过几秒，的面积等于？
(2)五边形的面积最小值是多少？
【答案】(1)经过4秒或2秒，的面积等于
(2)五边形的面积最小，最小值为
【分析】本题考查的是二次函数的最值问题及一元二次方程的应用；
（1）设经过秒，的面积等于，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，根据题意得出五边形的面积表达式，求出其最小值即可．
【详解】（1）
设经过秒，的面积等于，
，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动，
，，
的面积，
解得或2，
经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）
设经过秒，五边形的面积最小，
由（1）知，的面积，
五边形的面积
，
当时，五边形的面积最小，最小值为．
【变式练习】
21．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查二次函数的应用，先利用勾股定理计算出，再求出运动时间t的取值范围，最后用关于t的二次函数关系式表示出面积，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
，
点P运动到点C所用时间为：，
点Q运动到点B所用时间为：，
点Q 运动到点B停止，
设运动时间为，则，，
，
当时，取最大值9，
故答案为：9．
22．（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故答案为∶5．
23．（2025·吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．

(1)当点Q与点D重合时，x＝______．
(2)和之间的距离为______．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)（）；（）；（）
【分析】此题考查了动点问题，求函数解析式，菱形的性质等知识．
（1）根据菱形的性质和含角的直角三角形性质进行解答即可；
（2）根据（1）中的求解过程进行解答即可；
（3）按照x的范围分三种情况分别进行解答．
【详解】（1）解：当点Q与点D重合时，
如图，
∵在菱形中，，．
∴．
∵过点P作，
∴，
∴，
∴,
∴
故答案为：
（2）由（1）得到，，
∵在菱形中，
∴，
∵，
即和之间的距离为；
故答案为：
（3）当时，如图，
∵，
∴，
如图，当时，
∴；
如图，当时，设交的延长线于点，
∵，，
∴
题型07二次函数的应用：刹车问题
【典例7】（2025·湖北武汉·模拟预测）小球以一定速度从发射口出发后沿直线轨道向前滑行．小球从发射口A出发后的滑行速度m（米/秒）与滑行时间x（秒）满足：．测得滑行距离y（米）与滑行时间x（秒）的部分对应数据如下表所示：
(1)①由表格中的数据可以推测出y是x的______函数（填“一次”，“反比例”或“二次”）；
②求y与x的函数关系式；
(2)求小球滑行停止时，所滑行的距离和滑行的时间；
(3)若在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为．小球腾空飞行高度h（米）与腾空飞行时间t（秒）的关系为：．请直接写出：当e满足什么条件时，小球腾空的最大高度不低于1.25米．
【答案】(1)①二次函数；②
(2)小球滑行停止时，所滑行的距离为米，滑行的时间为秒
(3)
【分析】（1）①由表格中的数据判断即可；
②利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先得到当时，，代入得到，得到，然后表示出，代入得到，然后根据题意得到，，进而求解即可．
【详解】（1）①由表格中的数据可以推测出y是x的二次函数；
②设行距离y（米）与滑行时间x（秒）的表达式为
根据题意得，
解得
∴；
（2）当小球滑行的距离y最大时，小球滑行停止
∵
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，y有最大值
∴小球滑行停止时，所滑行的距离为米，滑行的时间为秒；
（3）由（2）得，当小球滑行的距离y最大时，小球滑行停止，此时速度
∴当时，
∴
∴
∴
∵在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为
∴
∴
∵，小球腾空的最大高度不低于1.25米
∴
∴
∴或
∴解得或
∵
∴
∴应舍去，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式练习】
24．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】(1)
(2)72m
(3)不会，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题．
【详解】（1）设，将，，代入，
得，解得，
关于t的函数解析式为：；
（2）当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）不会．理由如下：
，
当时，汽车停下，行驶了，
，
该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．已知汽车A刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足．当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为．
(1)求关于的函数解析式；
(2)行驶中的汽车A突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，此时汽车A的速度为，通过计算判断汽车A是否会撞上运输车；
(3)若汽车B刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足，当时，在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，直接写出c的取值范围．
【答案】(1)
(2)不会撞上运输车
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）求出当时，的值，再与进行大小比较，由此即可得；
（3）先将问题转化为，令，则问题转化为当时，始终成立，再求出时，或，然后分两种情况：①当时，②当时，结合函数图象求解即可得．
【详解】（1）解：∵当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为，
∴，
解得，
∴关于的函数解析式为．
（2）解：当时，，
因为，
所以汽车不会撞上运输车．
（3）解：由题意得：，
整理得：，
令，
∵当时，在相同的车速下汽车的“刹车距离”始终比汽车的“刹车距离”大，
∴当时，始终成立，
当时，，解得或，
①如图，当，即时，
则在内，始终成立；
②如图，当时，
要使在内，始终成立，则，
解得；
综上，的取值范围是．
题型08二次函数的应用：其他问题
【典例8】（2025·贵州贵阳·模拟预测）纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米．

(1)求这条抛物线的表达式；
(2)小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围；
(3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）．
【答案】(1)
(2)
(3)当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意得抛物线经过且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）将代入解析式求出x的值即可得到答案；
（3）设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过，且顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：将代入解析式得：，
解得：或，
∴；
（3）解：设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，
当时，解得或
∴飞行的距离为米，
∴，
∴，
解得：（或不是方程的根，且不合题意舍去），
∴当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米．
【变式练习】
26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
(2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
【答案】(1)
(2)3把
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．
（1）先求出顶点M的坐标，设出顶点式，利用待定系数法求解；
（2）先求出函数值为时对应的x的值，再结合椅子宽度即可求解．
【详解】（1）解：，，
结合所建直角坐标系，可得，，
顶点M的坐标为，
设抛物线函数关系式为：，
将代入解析式，得：，
解得，
抛物线函数关系式为；
（2）解：，，
令，
解得，，
，，
∵椅子数量为正整数，
∴最多可摆放的椅子数量为3把．
27．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）利用抛物线顶点设解析式，再将代入求出，得到抛物线解析式；把代入解析式求点纵坐标，确定坐标．
（2）先由、坐标用待定系数法求直线解析式；设横坐标为，根据在抛物线、在直线上，分别表示出、纵坐标，作差得表达式；同理，由、水平距离为3，设横坐标为，求出表达式；根据列方程求解，代入表达式得长度．
（3）用两点间距离公式求长度；由（2）得关于E横坐标的二次函数表达式，根据二次函数性质（开口向下，顶点处取最大值）求出最大值；支架长度为，相加得最大长度．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
∴抛物线的解析式为；
当时，，
；
（2）已知，设直线的解析式为，
解得
∴直线的解析式为；
（3）设点的横坐标为，
∵在抛物线上，在直线上，
∴点纵坐标为，点纵坐标为．
∴，
∵间的水平距离为3米，且在左侧，
∴点的横坐标为，
同理，点纵坐标为
点纵坐标为，
∴，
∴，
∴
∴
∴
（4）已知，，
设点的横坐标为，
由（3）得．
在中，，
∴函数图象开口向下，存在最大值，
其对称轴为，
∴，
∵支架长度为，
∴支架所需铝合金材料的最大长度为：．
28．（2025·湖北·模拟预测）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？
(3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)人
(3)分钟
【分析】（）利用顶点式假设出二次函数的解析式，再利用待定系数法解答即可；
（）设第分钟时的排队等待人数为人，求出与之间的二次函数解析式，再利用二次函数的性质解答即可；
（）设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于的方程，解方程即可求解；
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为，
∴可设，
将代入，得，
解得，
∴；
（2）解：设第分钟时的排队等待人数为人，
由题意可得，
，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴排队等待人数最多时是人；
（3）解：设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况，
由题意得，，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
答：自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况．
29．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
【答案】(1)
(2)①②当时，才能抵挡这次攻击
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反，
∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：；
故答案为：；
②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为，
假设无人机从左往右飞，
∵无人机飞行高度为，
则，当过点时，，
∴，
∴当时，才能抵挡这次攻击．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01利用二次函数求最大利润问题
【错因】忽视实际问题中自变量的取值范围而致错
【避错关键】求商品利润最大的问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围.有时根据顶点坐标求出的最大值并不一定是函数在实际问题中的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得，
【典例】
1．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream f Winter，Lve amng Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个．
(1)写出y与x之间的函数关系式：
(2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解；
（2）根据总利润单件利润销售数量即可得解；
（3）根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：；
（2）解：由题意可得：；
（3）解：，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，
∵为整数，
∴当时，最大，为元，此时定价为（元），
∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
3．（24-25九年级下·陕西西安·月考）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
(2)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
【答案】(1)当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元
(2)至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出W关于x的二次函数关系式是解题的关键．
（1）设每天的生产总成本为W元，根据成本生产数量每件的生产成本列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（2）设对外招工a人，列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出W的最小值，再根据每天的生产总成本不高于350元列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设每天的生产总成本为W元，
由题意得

，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，当时，W随x增大而减小，
∵甲产品每天至少生产20件，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，W最小，最小为400，
∴，
∴当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元；
（2）解：设对外招工a人，
由题意得，
，
∵，
∵甲产品每天至少生产20件，
∴，
∴，
同理可得当时，W最小，
，
∵每天的生产总成本不高于350元，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：利用二次函数解决最大利润问题
【典例】
1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
2．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)5
(3)售价为元时，每天最大利润为3310元
【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可；
（2）设应降y元，依素材2可列方程求解；
（3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用．
【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，
依素材1，可得：，
解得，（不合题意，舍去）．
答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为．
（2）解：设应降y元，依素材2，可列方程，
解得．
答：应降5元．
（3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得：
，
当时，W取得最大值为3310．
答：售价为元时，每天最大利润为3310元．
3．（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？
【答案】(1)
(2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元
【分析】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用；
（1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可；
（2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可．
【详解】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克，
所以函数关系式为：，
当甲种水果质量千克时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
将，和，分别代入函数关系式得：
，
解得：，
，
当时，与的函数关系式应为：
．
（2）解：设甲种水果的质量为千克，则乙种水果的质量为千克，
乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍，
，
解得：，
的范围为：，
当时，，
此时当最小时，最小，
即当时，有最小值元，
当时，，
此时当时，离对称轴最远，最小，
即当时，有最小值元，
，
当时总费用最少，为元，此时千克
故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元．
4．（2025·云南·模拟预测）随着母亲节的临近，鲜切花市场迎来又一高峰，在被誉为“亚洲花都”的云南斗南花卉市场，鲜切花供货量维持高位运转并逐步上涨，母亲节的拉动效应在康乃馨这一品类上体现得尤为突出．某花店销售商在昆明国际花卉拍卖交易中心10天全部售完，根据记录的数据发现，该康乃馨每天的销售量y(单位：把)与销售时间x(单位：天)(x为整数)之间的关系式为，销售价p(单位：元/把)与销售时间x(单位：天)之间的关系如图所示．
(1)求p与x之间的函数关系式；
(2)求日销售额的最大值．
【答案】(1)；
(2)日销售额的最大值为5880元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用：
（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式；
（2）依据题意，分当时和当时两种情形利用二次函数的性质进行计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，；
当时，设函数解析式为，
又图象过，，
∴．
∴．
∴此时函数解析式为．
综上，；
（2）解：由题意，结合（1）当时，单价为，
此时销量，
∴日销售额为，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大值为；
当时，销量，单价为，
∴日销售额为
，
又，
∴当时，随x的增大而减少，
∴当时，又x为整数，当时，取最大值，最大值为5880．
．
综上，当时，当时，日销售额的最大值为5880元．
5．（2025·贵州·一模）某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)第25天；2450元
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同取值范围确定函数关系式，再结合函数性质（二次函数的顶点、单调性，一次函数的单调性）求解最值和参数范围．
（1）根据“日销售利润（售价－进价）日销售量”，分和两种情况，分别推导与的函数关系式；
（2）分别分析两种函数关系式的最值：二次函数用顶点式求最大值，一次函数）根据增减性求最大值，再比较得出最终最大利润及对应天数；
（3）先列出扣除捐赠后的利润函数，再根据二次函数的单调性（对称轴与取值范围的关系），确定的取值范围．
【详解】（1）解：当时，
当时，
；
（2）解：当时，
，
当时，，
当时，
∴随的增大而减小，
当时，，
∴在第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元；
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元，
∴对称轴为直线，
∵随的增大而增大，为整数，
解得，
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：利用二次函数解决抛物形实际问题
【典例】
1．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为．
(1)求的值；
(2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值；
(3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）先根据求出时间值，然后把代入，再由计算即可；
（2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用配方求最值即可；
（3）由题可知当时，设函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题．
【详解】（1）解：对于，当时，
∴，
∴当时，，
，
解得：；
（2）解：，
，

，
∵，且
∴当时，最大，最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）解：当最小时，由题意知，，
当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令，即，
解得，
，
∴的最小值为．
2．（2025·陕西咸阳·三模）果树拉枝的作用是通过调整枝条生长方向和树形结构，实现营养与生殖生长的平衡，从而提升产量和果实品质．如图1，果树右侧的枝条经过拉枝后近似呈抛物线型．将图1经过拉枝的枝条．抽象成如图2所示的抛物线，为果树主干，为拉枝的绳子，与均与地面垂直，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，点到轴的水平距离为，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是枝条的末端，点到的水平距离为，求点到水平地面（轴）的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意设抛物线的函数表达式为，再把分别代入进行计算，即可作答．
（2）因为点到轴的水平距离为，点到的水平距离为，得点到轴的水平距离为，再把代入二次函数的解析式进行求解，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
由题可得点A、B的坐标分别为，
把、代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点到轴的水平距离为，点到的水平距离为，
∴，
点到轴的水平距离为，
当时，．
点到水平地面（轴）的距离为．
3（2025·河南周口·二模）大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点．
(1)解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式；
(2)已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险．
【答案】(1)意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米；
(2)试驾者有安全风险，计算说明见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，
（1）根据题意得到点P的意义，然后设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）首先将代入求出，然后代入求解比较即可．
【详解】（1）解：意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米；
∵点是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为．
将原点坐标代入可得，
∴；
（2）解：当时，，
解得：，
把代入得：，
∵，
答：试驾者有安全风险．
4（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角．
(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；
(2)求平屋面的长；（结果精确到）
(3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到）
（参考数值：，，，）
【答案】(1)
(2)
(3)设计符合要求
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）令，得，解得，．即可求出答案；
（3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，．
设抛物线的表达式为，
将，代入，得：
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵平屋面离底面的距离为，
∴令，得，
解得，．
∴．
∴平屋面的长为．
（3）如图，过点作于点．
在中，，，
，
．
在中，，，
．
∴．
如图，过点作，交延长线于点，交轴于点．
易得四边形为矩形，
在中，，
，
∴，
∵，
∴．
∴设计符合要求．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：利用二次函数解决几何面积的最值问题
【典例】
1（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．
(1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？
(2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？
【答案】(1)裁掉的正方形的边长为；
(2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元．
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键．
（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
【详解】（1）解：如图所示：
设裁掉的正方形的边长为，由题意可得：
，
解得：或（舍去）．
答：裁掉的正方形的边长为；
（2）解：设总费用为y元，
则
．
又∵，
∴．
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，最小值为．
答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元．
2．（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)162
(3)当时，取得最大值，最大值为180
【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论；
（2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值；
（3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．
【详解】（1）解：∵的长为米，
∴米，
∴（平方米），
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
解得，
（平方米），
的值为162平方米；
（3）解：．
墙长为18米，正前方有两个1米宽的门，
.
，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为．
3.（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：，
由题意得到
解得，
∴
（3）解：不能，理由如下：
由（1）可得：
，
即
整理得到，
∴
即或
解得，
当时，
∴机动车停车位向外移动1m；
答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取）
(1)试用含x的代数式表示y；
(2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？
【答案】(1)
(2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
（1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可；
（2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由题意得，
；
②∵矩形的边的长不超过长的，
∴，
解得，
当时，则，
解得（舍去），
∴．
∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：二次函数的几何动点问题
【典例】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为．
(1)求的长度；
(2)当时，求t的值；
(3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，证明四边形为平行四边形，得到，设，在中，根据勾股定理进行求解即可；
（2）勾股定理求出的长，根据题意，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可；
（3）作于点，于点，易得四边形为矩形，根据三角函数求出的长，根据，列出函数关系式即可．
【详解】（1）解：过点作，则：，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）作于点，于点，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由（2）可知：，，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形，二次函数与图形动点问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键．
2．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，D是边中点，延长至点E，使，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以的速度沿向终点D运动，点Q以的速度沿运动，以为边向上方作等边三角形．设与重叠部分的面积为，点P运动的时间为．
(1)________；
(2)当点A落在边上时，求t的值；
(3)当与重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，解决问题的关键是分类讨论．
（1）结合直角三角形的相关性质进行列式，再把数值代入，可得出，即可作答．
（2）解直角三角形得出，结合D是的中点，得，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当时，设与交于点W，作于V，则，进而得出，可求得，进而得出结果；同样求得当时的结果..
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴ ，
即，
∴
故答案为：；
（2）解：∵以为边向上方作等边三角形．
即是等边三角形，
∴，
由（1）得
∵，
∴
∵D是的中点，
∴
∴，
∴动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以1的速度沿向终点D运动，点Q以1的速度沿运动，
∴；
（3）解：如图1，
当时，设与交于点W，作于V，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴
则
∴
如图2，
当时，
设与交于T，交于W，
∴
∴
则
∵，
∴，
∴
∴
则
综上所述： ．
3．（2025·吉林·模拟预测）如图，在直角三角形中，，，．动点P从点A出发，沿线段向终点B以的速度运动，同时动点Q从点C出发沿线段以的速度向终点A运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，以、为邻边作．设与直角三角形重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为．
(1)直接写出_____；
(2)当点E落在线段上时，求t的值；
(3)求与之间的函数关系式．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）直接利用勾股定理求解即可得；
（2）先画出图形，根据平行四边形的性质可得，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得；
（3）先求出，再分两种情况：①，过点作于点，利用相似三角形的判定与性质求出的长，再利用平行四边形的面积公式求解即可得；②，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先利用相似三角形的判定与性质求出的长，从而可得的长，然后根据求解即可得．
【详解】（1）解：∵在直角三角形中，，，，
∴，
故答案为：10．
（2）解：如图，当点落在线段上时，
由题意得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
（3）解：由题意得：，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
∵当点其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，
∴，
结合（2）的结论，分以下两种情况：
①当时，则，
如图，过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
②当时，
如图，设交于点，则，
过点作于点，过点作，交延长线于点，
同理可得：，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴
；
综上，与之间的函数关系式为．
4．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，平分，过点作，垂足为，点从点出发，以的速度沿边运动，同时点从点出发，沿运动，点在段以每秒的速度运动，在段以每秒的速度运动，当点与点重合时，两点同时停止运动．设点的运动时间为与重叠部分图形的面积为．
(1)请直接写出的长；
(2)求点到达点时，点和点的距离；
(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，．
【分析】（1）利用直角三角形的正弦定理、勾股定理即可求出和的长度；
（2）利用可得，再证是等腰直角三角形，即可求出，在 中即可求得；
（3）第一种情况：时，此时Q点在线段上上，先证，，则，第二种情况：时，此时Q点在线段上，过Q作于M点，根据，得到，即可表示出，，问题得解．
【详解】（1），，，
在中，，
，
即的长分别为；
（2），
，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴由得：，
解得：，
，，，
在中，，
即B点距离Q点的距离为；
（3）由（2）可知：，，
点Q在段以每秒的速度运动，
∴Q点由C至D所需时间为：，
∵P点的速度为1，
∴P点到达B点所需时间为，
分类讨论：
第一种情况：时，此时Q点在线段上上，
∴，，
，
，
，
，
，即，
与重叠部分就是，
，
第二种情况：时，此时Q点在线段上，
过Q作于M点，如图，
，，
，
，，
，
，即
与重叠部分就是，
，
综上所述，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了二次函数在几何问题中的应用、相似三角形的判定与性质、平行的判定与性质、直角三角形的正弦定理、勾股定理等知识，明确Q点在上时，不垂直与是解答本题的关键．
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系．
A．①B．②C．③D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义．
①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
③，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
2．（2025·广东深圳·二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间．
【详解】解：∵，，
∴当秒时，水火箭达到最高点．
故选：B．
3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式．
【详解】解：设y与x之间的函数解析式为，
，
得，
即y与x之间的函数表达式是；
由题意可得，，
即W与x之间的函数表达式是．
故选：B．
4．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为；
②飞机着陆后滑行才能停下来；
③飞机着陆后滑行才能停下来．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案．
【详解】解：当时，，故①正确；
，
当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确；
综上，三个全部正确；
故选：D．
5．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用．利用待定系数法求得抛物线解析式为，再由P点横坐标为3求出P的纵坐标，再加即可求解．
【详解】解：∵拋物线的顶点，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
则将代入，可得，
∴P到地面的高度为，
故选：D．
6．（2025·江西·模拟预测）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ）
A．旋转木马转一圈需要
B．当时，小明与入口的距离为
C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答．
【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意；
B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意；
C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意；
D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：C
7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数D．二次函数，一次函数
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，由题意得，，
作于点，
∵，
∴，
∴，是二次函数；
当点P在上运动时，由题意得，
∴，是一次函数；
故选：D．
8．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
二、填空题
9．（2025·甘肃酒泉·一模）用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据长方形面积公式列出函数解析式，将其配方成顶点式是解题的关键．
根据题意表示出矩形的另一边长，再根据长方形面积公式列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出其最值情况．
【详解】解：根据题意，矩形的一边长为米，则另一边长为米，
，
即当时，，
故答案为：．
10．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）．
【答案】不会
【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴此时刹车不会有危险；
故答案为：不会．
11．（2020·辽宁沈阳·二模）某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ．
【答案】14万元
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，根据题意列出二次函数，求出二次函数的最大值即可．
【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，
则
；
∴当时，能获得的最大利润；
故最大利润为14万元．
故答案为：14万元．
12．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米．
【答案】8
【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为，
由题意可得，
代入函数关系式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
由题意可设，代入抛物线的解析式，得：，
∴，
∴，
∴（米），
∴最低水位与最高水位之间的距离为8米．
故答案为：8．
13．（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式
【答案】
【分析】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解；
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
延长交轴于点，
∴由图可得，点的横坐标，，
∴，点，
即
∴，
∴，
故答案为：
14．（2025·甘肃·模拟预测）一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ．
【答案】
【分析】先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可．
【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴，，，，
设轮廓线、所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入抛物线解析式，得：
，
解得：，
∴轮廓线、所在抛物线的解析式为：，
∵，
，
，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入直线的解析式，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组得：，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
15．（2025·甘肃定西·三模）某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是 m．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是用待定系数法求出函数关系式．
由题意得，右侧抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入，求出a值，即可得到抛物线解析式，然后把人攻求出x，即可得到点E坐标，又由点C、E关于对称，求得点C坐标，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，右侧抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入，得
，
解得：，
∴该抛物线解析式为，
当时，则，
解得：，，
∴，
∵点C、E关于对称，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当时，如图，作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得，不合题意，舍去；
综上，；
故答案为：，．
三、解答题
17．（2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．

【答案】此时水面的宽度为
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意可知，点 在此抛物线上，
则 ，
解得，
，
当水面上升时，，则：，
解得，
此时水面的宽度为．
答：此时水面的宽度为．
18．（2023·北京·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求运动员落水点与点C的距离．
【答案】(1)
(2)运动员落水点与点的距离为5米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点坐标为代入得：，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴令得：，
解得：，
∵起跳点A坐标为，
，不符合题意，
，
∴运动员落水点与点的距离为5米．
19．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
(1)求喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？
【答案】(1)
(2)不会
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．
（1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可；
（2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断．
【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
∴，
令，易得，
令，得，
可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为直线，
把代入，得
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
（2）解：依题意，函数，
令，得，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
20．（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表：
(1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分．
【答案】(1)；
(2)米；
(3)小宇此次掷球不能得满分．
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计算是关键．
（1）根据表格得到顶点为，设函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）令，根据函数解析式求函数值即可；
（3）令，求自变量的取值即可．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线，
∴顶点为，
∴设函数表达式为，
又∵抛物线过，
∴．
∴，
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
（2）解：由题意，结合（1），令，
∴，
∴实心球出手时的坐标为，
∴出手时的高度为米．
（3）解：由题意，令，
∴或（不合题意，舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为，
∴小宇此次掷球不能得满分．
21．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8
(2)的面积最大，且为
(3)不存在，理由见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答．
（2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答．
（3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
依题意，当时，则，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
依题意， ，
∴，
∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
∴，
即，
∴；
∵，
∴函数的开口向下，在时，有最大值，
即把代入，得，
∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是；
（3）解：不存在，理由如下：
在矩形中，，．
∴，矩形的面积，
∵的面积等于矩形面积的，
∴，
由（）得，
∴，
则，
∴，
此时无法找到一个t使得成立，
即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的．
22．（2025·湖北十堰·模拟预测）小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下：
➢甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的．
➢乙洗手液每瓶的利润保持不变．
➢当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元．
➢甲洗手液的日均销售量y瓶与每瓶售价x元的关系如表：
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式．
(2)求乙洗手液每瓶的利润为多少元？
(3)据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？
【答案】(1)
(2)乙洗手液每瓶的利润为3元
(3)114瓶
【分析】（1）设，把时，；时，分别代入解析式，得，解答即可；
（2）设甲的售价为x元，根据题意，得，解方程即可；
（3）设销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和为w元，销售乙种洗手液t瓶，甲洗手液的售价为x元，根据题意，得，结合题意解答即可；
本题考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
把时，；时，分别代入解析式，
得，解得，
故，且甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的，
即（元）．
故．
（2）解：设甲的售价为x元，根据题意，得，
解得或（舍去），
利润为（元），
故乙洗手液每瓶的利润为3元．
（3）解：设销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和为w元，销售乙种洗手液t瓶，甲洗手液的售价为x元，根据题意，得，
故，
∵，且，
∴时，w取得最大值，且最大值为，此时，
∵该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，
∴，
解得，
∵t是正整数，
∴t最小值为74，
∴该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共（瓶），
答：该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共瓶．
23．（2025·湖北·模拟预测）某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图①所示，成本与销售月份x之间的关系如图②所示（图①的图象是线段，图②的图象是抛物线），已知6月份这种蔬菜的成本最低．
(1)直接写出与x以及与x之间的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（收益=售价一成本）
(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克．
【答案】(1)与x的函数解析式为，与x之间的函数解析式为
(2)5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大
(3)4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克
【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数表达式；
（2）根据（1）中求出的、关于的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出当时，的值，设4月份的销售量为万千克，则5月份的销售量为万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设与x的函数表达式为，
∵当时，；当时，，
∴，解得：，
∴与x的函数表达式为，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴设与x之间的函数解析式为，
又当时，，
∴，解得：，
∴与x之间的函数解析式为；
（2）∵；
．
∴
，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大；
（3）当时，，
设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为万千克，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式．
24．（2024·全国·模拟预测）综合与实践
在学习了二次函数之后，数学兴趣小组对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”有了新的认识．于是对一个静止的小球从斜坡上滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．
【实验过程】如图1是一个含有两个斜坡的轨道的截面，该图形是一个轴对称图形，两个斜坡材质等都完全一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、运动距离（单位：）的数据．
【收集数据】记录的数据如下表：
【建立模型】
（1）观察表格发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”），函数表达式为__________．
（2）请在图2的平面直角坐标系中画出关于的函数图象，观察发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）．请求出关于的函数表达式．
【拓展应用】
（3）①求黑球在水平木板上运动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
【答案】（1）一次函数，；（2）二次函数，（3）①黑球在水平木板上运动的最大距离为；②能相遇，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；
（2）①由，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；
②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离．
【详解】解：（1）观察表格数据可得是的一次函数，
设，表中取点，代入得：
解得：，
即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立，
与的函数表达式为；
故答案为：一次函数 ； ；
（2）如答图所示即为所求．
观察发现是的二次函数
设．
二次函数经过点，
解得
（3）①，抛物线的对称轴为直线
当时，，
的最大值为
答：黑球在水平木板上运动的最大距离为．
②能相遇，理由如下：
整理得．
解得（不合题意，舍去）．
当时，．
答：两球会在水平木板的某个位置相遇，相遇点到点的距离为．
x
0
1
y
0
6
9
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
《方法技巧》
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
时间x（天）
售价（元）
60
日销售量
《方法技巧》
利用二次函数解决拱桥、隧道、拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
《方法技巧》
几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法：
几何图形中的最值问题，一般是利用二次函数的最值求解，根据几何图形建立二次函数关系是解题的
关键.一般在几何图形中建立函数关系有如下方法：
(1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系：
(2)勾股法：利用勾股定理建立函数关系
(3)和差法：利用所给图形面积的和或差表示所求图形的面积，从而建立函数关系
《方法技巧》
利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
1
2
4
6
7
…
2.25
3
2.25
…
x（元）
…
13
14
…
y（瓶）
…
70
65
60
45
…
运动时间
运动速度
运动距离