2026年上海市青浦区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市青浦区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0B．C．D．
2．计算，下列结果中正确的是（ ）
A．2B．C．4D．
3．将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．直角坐标平面内，已知函数的图象经过点，如果，那么点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，，如果，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7． ．
8．分解因式： ．
9．单项式的次数是 ．
10．方程的解为 ．
11．上海青浦百联奥特莱斯是2025年国内首家且唯一一家年销售额突破60亿元大关的奥特莱斯，其销售额高达63亿元．其中63亿元用科学记数法表示为 元．
12．若一组数据中有个，个，个，则这组数据的平均数为 ．
13．在不透明的布袋里有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里摸出一个球再放回袋中，摇匀后再摸出一个球，摸到一红一白两球的概率为 ．
14．将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则 ．
15．如果过边形的一个顶点可作5条对角线，那么这个边形的内角和是 ．
16．某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调查，将学生按照每天课外阅读时长分为（约1小时），（约30分钟），（约10分钟），（几乎没有）四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为 人．
17．已知△中，，．将△沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果△△，那么折痕的长为 ．
18．定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）解不等式组．
21．（10分）如图，在△中，，，点在边上，，且．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
22．（10分）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同）
为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案，方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价：
接下来请你帮助老板解决以下问题：
（1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积；
（2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明对方案2“表面积最小”的评价是否准确？
23．（12分）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：点是边的中点．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．以点为顶点的二次函数的图象经过点．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，点、的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为．
（1）求点的坐标及二次函数的解析式；
（2）若点是新抛物线对称轴上一点，且以、、为顶点的三角形与△相似，且相似比不等于1，求点的坐标；
（3）点和，在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数的取值范围．
25．（14分）已知△中，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点．
（1）如图1，当点在线段上时，
①记圆交于点，求证：；
②设，用表示圆的半径；
（2）如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰△，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．0B．C．D．
【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
解：、0是有理数，故此选项不符合题意；
、是有理数，故此选项不符合题意；
、是无理数，故此选项符合题意；
、是有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．计算，下列结果中正确的是（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】根据分数指数幂的计算法则计算即可求解．
解：．
故选：．
3．将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先去分母，然后把方程化为一般式即可．
解：把方程两边乘以得，
方程化为一般式为．
故选：．
4．直角坐标平面内，已知函数的图象经过点，如果，那么点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据，从而可得反比例函数的图象在第二、四象限，再根据果即可得出答案．
解：，
这个反比例函数的图象在第二、四象限，
又函数的图象经过点，且，
，
点在第四象限，
故选：．
5．如图，，如果，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
解：，，
．
又，
．
故选：．
6．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点作于点，如图，先利用勾股定理计算出，利用直线与圆的位置关系，当时，与边相切，证明△△，利用相似比可求出此时，所以当与边有两个公共点时，同时当点在上时，与边有两个公共点，所以，然后综合两种情况可得线段的取值范围．
解：过点作于点，如图，
四边形为矩形，
，
在△中，，，
，
当时，与边相切，
，
△△，
，
即，
解得，
当与边有两个公共点时，
当点在上时，与边有两个公共点，则，
线段的取值范围为．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号的空格内直接填写答案】
7． ．
【分析】判断2和的大小，再去绝对值符号即可．
解：．
故答案为：．
8．分解因式： ．
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
解：．
故答案为：．
9．单项式的次数是 3 ．
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
解：单项式中字母的指数和，
此单项式的次数为3．
故答案为：3．
10．方程的解为 ．
【分析】将原方程两边同时平方得，解得的值后并检验即可．
解：已知方程，
则，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
11．上海青浦百联奥特莱斯是2025年国内首家且唯一一家年销售额突破60亿元大关的奥特莱斯，其销售额高达63亿元．其中63亿元用科学记数法表示为 元．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：63亿元元元．故答案为：．
12．若一组数据中有个，个，个，则这组数据的平均数为 ．
【分析】根据平均数的定义求解，即用个数的和除以．
解：由题意，数据中有个，个，个，
这组数据有个，则总和为．
平均数为．
故答案为：．
13．在不透明的布袋里有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里摸出一个球再放回袋中，摇匀后再摸出一个球，摸到一红一白两球的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中摸到的球是一红一白两球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸到的球是一红一白两球的结果有4种，
摸到一红一白两球的概率为，
故答案为：．
14．将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则 ．
【分析】根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，据此可解决问题．
解：由题知，
将直线沿轴向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式为．
因为直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，
所以，
解得．
故答案为：．
15．如果过边形的一个顶点可作5条对角线，那么这个边形的内角和是 ．
【分析】根据题意，过边形的一个顶点可作5条对角线，可得，解得：，然后再根据多边形的内角和公式可得：，即可得出答案．
解：过边形的一个顶点可作5条对角线，
，
，
这个边形的内角和是：．
故答案为：．
16．某区“书香校园”项目组为了解初三学生每天的课外阅读情况，对全区初三学生进行了一次随机抽样调查，将学生按照每天课外阅读时长分为（约1小时），（约30分钟），（约10分钟），（几乎没有）四个等级，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为 530 人．
【分析】根据等级的人数和占比求出抽样调查的总人数，然后得出等级所占的比，乘以全部初三学生的人数即可解答．
解：根据条形统计图可知等级的人数为80人，占比为，
此次抽样的总人数为，
等级的人数为，
该区共有5300名初三学生，根据抽样调查结果，估计该区几乎没有课外阅读的学生人数大约为人，
故答案为：530．
17．已知△中，，．将△沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果△△，那么折痕的长为 ．
【分析】利用折叠的性质，直角三角中角的性质进行求解．
解：如图，点与点重合，
△△，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
18．定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为 ．
【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系求出正六边形的边心距的值即可．
解：如图，连接，，过点作，垂足为，交于点，此时最小，
点是正六边形的中心，
，
又，
△是正三角形，
，
在△中，，，
，
又，
，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
解：
，
当时，原式．
20．（10分）解不等式组．
【分析】分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解为：．
21．（10分）如图，在△中，，，点在边上，，且．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
【分析】（1）利用直角三角形的三角函数性质，分别求出和的长度，再作差得到的长度．第一步：在△中，已知，直角边，利用正切函数的定义求出；第二步：结合，可得△是等腰直角三角形，因此；第三步：根据线段和差关系，代入计算得到最终结果；
（2）通过作辅助线构造包含的直角三角形，结合正弦函数的定义计算结果．第一步：先在△中，利用三角函数求出斜边的长度；第二步：过作的垂线，在等腰直角△中，利用的长度求出高；第三步：在△中，根据正弦定义：正弦值等于对边比斜边，代入和的长度计算得到结果；本题也可利用角度差得到，用两角差的正弦公式计算得到相同结果．
解：（1）在△中，，
，
，
在△中，，，
可得，
．
（2）在△中，
，
过点作于点，
在△中，，
，
在△中，
．
22．（10分）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同）
为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案，方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价：
接下来请你帮助老板解决以下问题：
（1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积；
（2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明对方案2“表面积最小”的评价是否准确？
【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积；
（2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，，则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积，即可验证方案．
解：（1）由题意可得，
，，，
，
则剪去的长方形的长为：，
则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积；
（2），底面积等于，
，
解得：或（舍去），
当时，方案1包装盒的表面积为：，
两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形，
得图，
当，时，满足条件，
，，
则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积，
方案2包装盒的表面积为：，
则对方案2“表面积最小”的评价准确．
23．（12分）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：点是边的中点．
【分析】（1）先证明△△，再证明△△，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）设，，由，求出，再由△△证明即可．
【解答】证明：（1）如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
△△，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
（2），
设，，
，
，
（舍负），
△△，
，
，
，
，
点是边的中点．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点、，点是线段上一点，与不重合．以点为顶点的二次函数的图象经过点．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，点、的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为．
（1）求点的坐标及二次函数的解析式；
（2）若点是新抛物线对称轴上一点，且以、、为顶点的三角形与△相似，且相似比不等于1，求点的坐标；
（3）点和，在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求出点的坐标进而得出的长度；过点作轴于点，由平移的性质可得，原抛物线中，两点的纵坐标的差与新抛物线中，两点的纵坐标的差相等，据此可得点的坐标，最后利用抛物线顶点式将点，代入即可求得抛物线表达式；
（2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在△中得到三边的长度，根据△与△的相似比不为1，可得出当符合题意，利用余弦的定义求得的长度，进而得出点的坐标；
（3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点代入求出其坐标，由时，恒成立，可设，求得点的横坐标，进而得出的取值范围．
解：（1）令，，
，
，
过点作轴于点，
，点的纵坐标为，
，
将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点，分别是，的对应点，
，即，
，
，
将代入，得，
，
点为二次函数的顶点，
设二次函数的解析式为，
将代入得：，
解得：，
二次函数；
（2）二次函数的对称轴为，
向右移个单位长度得到二次函数的对称轴，
二次函数的对称轴为，
如图，在△ 中，，
轴，
在△中，，，
，
，
，
，即，
△与△的相似比不为1，
当时，易证得△△，不符合题意，
当时，，
，
点的坐标为；
（3）由（2）知，，
将点代入得：，
，
设，则，
时，恒成立，
，
．
25．（14分）已知△中，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点．
（1）如图1，当点在线段上时，
①记圆交于点，求证：；
②设，用表示圆的半径；
（2）如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰△，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围．
【分析】（1）①根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
②由外接圆的圆心是中垂线的交点可知在中垂线上，进而可知，根据正切值可得，进而根据勾股定理即可求解；
（2）证明△△，可得点的运动轨迹为直线，根据相似三角形的性质可知；，当，为半径的圆与圆有公共点，列不等式即可求解．
【解答】（1）①证明：连接，，
在△中，，
，
在圆中，，
根据圆周角定理可知，，
，
；
②解：圆是△的外接圆，
是三边中垂线的交点，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则圆的半径为：；
（2）解：由题意可得，
当点在线段上时，
△中，，
，
△是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
△△，
，
，
△△，
，
点的运动轨迹为直线，
，
设，
由（1）可知，，
，
，，
由（1）可知，
当，以为半径的圆与圆有公共点，
则，
解得：．
1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本．
2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品．
1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本．
2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品．