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2023年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析），共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市金山区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共54.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 绝对值为15的数是( )
A. 5 B. 15 C. −15 D. ±15
2. Iphone15系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的A16芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米，将数字0.000000005米用科学记数法表示为( )
A. −5×109米 B. −0.5×108米 C. 0.5×10−8米 D. 5×10−9米
3. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是( )
A. 核
B. 心
C. 数
D. 养
4. 如图，直线a//b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1=35°，那么∠2等于( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
5. 若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
6. 随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图(四次参加模拟考试的学生人数不变)，下列四个结论不正确的是( )
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
7. 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于12FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB=10，DE=6，CE=8，则BE的长为( )
A. 2 41 B. 40 2 C. 4 5 D. 8 5
9. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A=35°，则∠DOE的度数是( )
A. 110°
B. 120°
C. 120.5°
D. 115°
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(−1,0)，其对称轴为直线x=1.下列结论，其中正确的有( )
①abc<0；②b2−4ac<0；③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；⑤点C(x1,y2)、D(x2,y2)是抛物线上的两点，若x1
11. −6的相反数为( )
A. 16 B. 6 C. ±6 D. −16
12. 单项式−8ab2的系数是( )
A. −8 B. 2 C. 3 D. 8
13. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是( )
疫苗名称
克尔来福
阿斯利康
莫德纳
辉瑞
卫星V
有效率
79.2%
75.9%
95%
95%
92.3%
A. 75.9% B. 79.2% C. 95% D. 92.3%
14. 已知函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是( )
A. (0.5,1) B. (2,1) C. (−2,4) D. (−2,−2)
15. 下列图形中，是中心对称图形且旋转240°后能与自身重合的图形是( )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正八边形 D. 正十二边形
16. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=8cm，则球的半径长是( )
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共17小题，共63.0分）
17. 不等式组2x+1>−1x−2≤3的解集为______ ．
18. 现有背面完全相同，正面图案如图所示的4卡片正面分别写有《九章算术》《周脾算经》《五经算术》《数術记遗》，4张卡片正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是______ ．
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE//AC，DF//AB，则DE+DF= ______ ．
20. 如图所示，ABCD为矩形，以CD为直径作半圆，矩形的另外三边分别与半圆相切，沿着折痕DF折叠该矩形，使得点C的对应点E落在AB边上，若AD=2，则图中阴影部分的面积为______．
21. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= 2，点P是BC边上一个动点，且不与点B，C重合，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，连接B′C，则△PCB′周长的最小值为 ．
22. 计算x2⋅x7=______．
23. 已知f(x)= x−1，那么f(5)=______．
24. 因式分解：a3−a= ．
25. 方程的解是______ ．
26. 不等式组的解集是______ ．
27. 抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈______ 趋势(填“上升”或者“下降”)．
28. 已知关于x的方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值等于______ ．
29. 一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：2.从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为______ ．
30. 小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离y1(米)、y2(米)与时间x(分钟)之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是______ 分钟．
31. 如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE//BC，联结BE，如果AC=a，BC=b，当ADAB=23时，那么BE= ______ .(用含a、b的式子表示)
32. 如图，已知AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点G，当∠AEG=∠ADC时，那么ACAD的值等于______ ．
33. 已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，tanC=34，点D是线段BC上的动点，点E在线段AC上，如果点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共15小题，共153.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
34. (本小题8.0分)
计算：
(1)(π−3.14)0−(12)−2+327− 8；
(2)2x+4x2−6x+9÷(2x−1x−3−1)．
35. (本小题8.0分)
为迎接新冠疫情的第一次高峰，青岛市市南区举行了线上期末考试，其评分等级如下：90分及以上为优秀；80分−89分为良好；60分−79分为及格；60分以下为不及格.教研员随机抽取学生的成绩进行分析，并将测试成绩制成如图表，据此回答下列问题：
(1)扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数为______ °；
(2)所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在______ 等级；
(3)根据实际情况，在线上学习期间认真的同学成绩应该达到良好及以上，若良好及以上的共有960人，请你估计，“不及格”有多少人．
36. (本小题9.0分)
一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′//EF(如图3)．
(1)求点D转动到点D′的路径长；
(2)求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1cm)．
(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)
37. (本小题9.0分)
如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点C、B，与反比例函数y=mx交于点A、D.过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A(−2,n)，S△OAB：S△ODE=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)直接写出关于x不等式：mx>kx−3的解集为 ．
38. (本小题10.0分)
2022年2月，北京冬奥会成功举办，吉祥物纪念品等深受人们喜爱．某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，已知乙种纪念品比甲种纪念品每个进价多9元．
(1)求甲、乙两种纪念品每个的进价．
(2)经销中发现，甲种纪念品每个售价46元时，每天可售40个，乙种纪念品每个售价45元时，每天可售80个，商店决定甲种纪念品降价，乙种纪念品提价．结果甲种纪念品单价降1元可多卖4个，乙种纪念品单价提1元就少卖2个，若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大毛利是多少？
39. (本小题10.0分)
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO=2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为3，AP=4，求BP的长．
40. (本小题10.0分)
图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面.斜坡顶端B与地面的距离BC为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，BC与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y(单位：米)(水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为
4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
41. (本小题11.0分)
综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB= 3，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D′恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
(1)在图②中，sin∠ACB=______，EGCG=______；
(2)在图②中，CH2=CG⋅______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
(3)将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′落在矩形的内部或一边上，设∠DCD′=a，若0°
42. (本小题10.0分)
计算：．
43. (本小题10.0分)
解方程组：．
44. (本小题10.0分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点E、F分别是AB、AC的中点，过点C作CD//AB交EF的延长线于点D，联结AD．
(1)求∠B的正弦值；
(2)求线段AD的长．
45. (本小题10.0分)
空气质量指数(AirQualityIndex，缩写AQI)是定量描述空气质量状况的非线性无量纲指数.其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势.(空气污染指数为0～50是优；空气污染指数为50～100是良好；空气污染指数为100～150是轻度污染；空气污染指数为150～200是中度污染；空气污染指数为200～250是重度污染.)
如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．
空气质量指数(AQI)
0～50
50～100
100～150
150～200
200～250
天数
a
b
3
3
3
频率
c
d
0.1
0.1
0.1
(注：每组数据可含最高值，不含最低值)
(1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是______ 天，a= ______ ；b= ______ ；c= ______ ；d= ______ ；
(2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积.已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率.(精确到0.01)．
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 5≈2.236， 6≈2.449)
46. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作，且DA=EA，联结BD、CE．
(1)求证：四边形DBCE是等腰梯形；
(2)点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若，求证：．
47. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−2,0)和点B(6,8)，直线AB与y轴交于点C，与抛物线的对称轴直线l交于点D．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点C，其顶点P在原抛物线上，且点P在直线l的右侧，求点P的坐标；
(3)点E在直线l上，若tan∠ABE=13，求点E的坐标．
48. (本小题14.0分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D是边BC中点，在边AB上取一点E，使得DE=DB，延长ED交AC延长线于点F．
(1)求证：∠A=∠CDF；
(2)设AC的中点为点O，
①如果CD为经过A、C、D三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，求CF：AC的值；
②⊙M经过C、D两点，联结OM、MF，当∠OFM=90°，AC=10，tanA=34时，求⊙M的半径长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：±15的绝对值是15，
即绝对值为15的数是±15．
故选：D．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000005米=5×10−9米．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：B．
根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=35°，
∴∠ABC+∠1+∠ACB=180°．
∵∠ABC=90°，
∴∠2=∠ACB=180°−90°−35°=55°．
故选：C．
先根据∠1=35°，a//b求出∠BCA的度数，即可得出答案．
本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500(名)，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第4月增长的“优秀”人数为500×17%−500×13%=20(人)，第3月增长的“优秀”人数500×13%−500×10%=15(人)，故不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：500×17%=85(人)，故符合题意．
故选：D．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由b+c=5可得出c=5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即Δ>0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
【解答】
解：∵b+c=5，
∴c=5−b．
Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．
∵(b−6)2≥0，
∴(b−6)2+24>0，
∴Δ>0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AJ//EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AJ//EC，AE//JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ=EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，AJ=EC=8，AE=JC=10，
∵DE=6，
∴AD=BC=16，
∴BJ=BC−JC=16−10=6，
∴AB2=BJ2+AJ2，
∴∠AJB=90°，
∵AJ//EC，
∴∠BCE=∠BJA=90°，
∴BE= BC2+EC2= 162+82=8 5，
故选：D．
如图，过点A作AJ//EC交BC于J.证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB=90°，推出∠BCE=90°，利用勾股定理求出BE即可．
本题考查作图——基本作图，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE、DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．
∵∠A=35°，
∴∠ABE=90°−∠A=55°．
∴∠DBE=125°．
∵四边形EBDC是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠DBE=180°，
∴∠ECD=180°−125°=55°，
∴∠DOE=2∠ECD=110°，
故选：A．
连接BE、DC，由圆周角定理得∠BEC=90°，再由三角形外角性质知∠ABE=55°，则∠DBE=125°，然后由圆内接四边形的性质得∠ECD=55°，即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和圆内接四边形．
10.【答案】B
【解析】解：①由图象可知：a<0，c>0，−b2a>0，
∴abc<0，
故①符合题意．
②根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0．
故②不符合题意；
③∵−b2a=1，
∴b=−2a．
∵当x=−1时，y=0，即a−b+c=0．
∴a−b+c=3a+c=0，
∵a<0，
∴8a+c<5a+3a+c<0，
故③符合题意；
④由于图象过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，
则图象也过点(3,0)，
∴当x=3时，y=0，
即9a+3b+c=0．
∵c>0，
∴9a+3b+2c>0．
故④不符合题意；
⑤点C(x1,y1)、D(x2,y2)是抛物线上的两点，若1y2．
故⑤不符合题意；
⑥由于图象过点(−3,n)，
由对称性可知：图象也过点(5,n)，
令y=n，
∴ax2+bx+c=n有两个解，分别是−3，5，
故⑥符合题意．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】B
【解析】解：−(−6)=6，则−6的相反数是6．
故选：B．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
12.【答案】A
【解析】解：单项式−8ab2的系数是−8，
故选A．
由单项式系数的概念即可判断．
本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数的概念．
13.【答案】D
【解析】解：从小到大排列此数据为：75.9%、79.2%、92.3%、95%、95%，
处在第3位为中位数．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了中位数的概念，正确记忆中位数的定义和求法是解题关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，
∴k<0，
∴正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，
∴这个函数图象可能经过的点是(−2,4)．
故选：C．
由函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，可得出k<0，进而可得出正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k>0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：A.等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.正方形是中心对称图形，绕对角线的交点旋转90°或180°或270°与自身重合，故本选项不符合题意；
C.正八边形是心对称图形，绕对称中心旋转45°或90°或135°或180°或225°或270°或315°与自身重合，故本选项不符合题意；
D.正十二边形是中心对称图形，绕对称中心旋转30°或30°的倍数与自身重合，故本选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形和旋转对称图形的定义即可判断．
本题考查中心对称图形以及旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
16.【答案】B
【解析】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN=CD=8，
设OF=x cm，则OM=OF，
，，
在Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2
即：(8−x)2+42=x2
解得：x=5，
故选：B．
设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF=x cm，则，，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】−1
故不等式组的解集为：−1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】16
【解析】解：设《九章算术》记为a，《周髀算经》记为b，《五经算术》记为c，《数術记遗》记为d，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》，即a和c的结果有2种，
∴甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】7cm
【解析】解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE//AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
故答案为：7cm．
首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF=AE，然后证明DE=BE，即可得到DE+DF=AB，从而得解．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
20.【答案】3 3−43π
【解析】解：作OH⊥AB于H，DE交半圆于M，连接OM，作ON⊥DM于N，如图，
∵矩形的另外三边分别与半圆相切，
∴OH为半圆的半径，
∴CD=2OH=2AD=4，
∵DC沿DF折叠到DE，
∴DE=DC=4，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED=ADDE=24=12，
∴∠AED=30°，
∴AE= 3AD=2 3，
∵CD//AB，
∴∠CDE=∠AED=30°，
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD=30°，
∴∠DOM=120°，
∴图中阴影部分的面积=S△ADE−S弓形DHM=S△ADE−(S扇形DOM−S△DOM)=12×2×2 3−(120⋅π⋅22360−12×2 3×1)=3 3−43π.
故答案为3 3−43π.
作OH⊥AB于H，DE交半圆于M，连接OM，作ON⊥DM于N，如图，利用切线的性质得CD=2OH=4，再根据折叠的性质得DE=DC=4，则根据正弦的定义得到∠AED=30°，AE= 3AD=2 3，接着求出∠DOM=120°，然后根据三角形面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△ADE−S弓形DHM=S△ADE−(S扇形DOM−S△DOM)进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了折叠的性质和扇形的面积公式．
21.【答案】 2+ 3−1
【解析】解：由折叠得AB′=AB=1，PB′=PB，
∴△PCB′的周长=CP+PB′+B′C=CP+PB+B′C=CB+B′C= 2+B′C，
连接AC，如图：
∵AB′+B′C>AC，即1+B′C>AC，
∴当点B′恰好位于对角线AC上时，AB′+B′C最小，
在Rt△ABC中，AB=1，BC= 2，
∴AC= 12+( 2)2= 3，
∴B′C的最小值=AC−AB′= 3−1，
∴△PCB′周长的最小值= 2+B′C= 2+ 3−1．
故答案为： 2+ 3−1．
由折叠得AB′=AB=1，PB′=PB，而△PCB′的周长=CP+PB′+B′C=CP+PB+B′C=CB+B′C= 2+B′C，连接AC，根据两点之间线段最短可得B′C的最小值=AC−AB′= 3−1，即可得到答案．
本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．
22.【答案】x9
【解析】解：x2⋅x7
=x2+7
=x9．
故答案为：x9．
利用同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”是解决本题的关键．
23.【答案】2
【解析】解：∵f(x)= x−1，
∴f(5)= 5−1= 4=2，
故答案为：2．
把数据代入函数计算求值．
本题考查了函数值，算术平方根，解题的关键是掌握函数值的求法，算术平方根的定义．
24.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
25.【答案】−1
【解析】解：原方程可化为：x2x−1−1x−1=0，
去分母得，x2−1=0，解得x=1或x=−1，
当x=1时，x−1=0，故x=1是原分式方程的增根，
当x=−1时，x−1=−2，故x=−1是原分式方程的根．
故答案为：−1．
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．
26.【答案】−2≤x<1
【解析】解：由3x−2
则不等式组的解集为−2≤x<1，
故答案为：−2≤x<1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
27.【答案】下降
【解析】解：中的a=−12<0，b=0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
28.【答案】94
【解析】解：根据题意得，
解得m=94．
故答案为：94．
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
29.【答案】12
【解析】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：2，
∴从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是55+3+2=12，
故答案为：12．
用红球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
30.【答案】5
【解析】解：设y1=kx+b，
则，
解得，
；
设y2=mx+n，
则，
解得，
，
联立，
解得x=5y=300，
∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：5．
分别求出函数y1，y2的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
31.【答案】b−13a
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
，
∵AC=a，
，
，
，
．
故答案为：b−13a．
由题意可得，进而可得，则．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
32.【答案】2 33
【解析】解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴点G是△ABC的重心，AE=12AC，
∴AG=23AD，
，，
∴△AGE∽△ACD，
∴AEAD=AGAC，
，
，
，
故答案为：2 33．
根据三角形的重心的性质得到AG=23AD，证明△AGE∽△ACD，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理、三角形的重心的性质是解题的关键．
33.【答案】85
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，，
∴AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5．
∵点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，
∴AE=AF．
∵点E在线段AC上，
，
∴当AF取最小值时CE取最大值．
如图，当AF⊥BC时，AF最小．
∵S△ABC=12BC⋅AF=12AB⋅AC，
，
，
即CE的最大值为85．
故答案为：85．
在直角△ABC中，根据正切函数定义得出AC=4，利用勾股定理求出BC= AB2+AC2=5.根据轴对称的性质得到AE=AF，那么，当AF取最小值时CE取最大值．根据垂线段最短得出当AF⊥BC时，AF最小．根据三角形的面积求出，进而求出CE的最大值．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，轴对称的性质，垂线的性质，三角形的面积等知识．根据题意得到当AF取最小值时CE取最大值是解题的关键．
34.【答案】解：(1)原式=1−2+3−2 2
=2−2 2；
(2)原式=2(x+2)(x−3)2÷2x−1−(x−3)x−3
=2(x+2)(x−3)2⋅x−3x+2
=2x−3．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
35.【答案】36 及格
【解析】解：(1)“不及格”等级所占百分比为1−23%−25%−42%=10%，
360°×10%=36°．
故答案为：36；
(2)根据扇形图可知优秀、良好和及格的人数分别占了23%、25%、42%，
∴所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在及格等级；
故答案为：及格；
(3)∵良好及以上的共有960人，
∴总人数为960÷(23%+25%)=2000(人)，
∴2000×10%=200(人)，
答：估计“不及格”有200人．
(1)先求出“不及格”等级所占百分比，再乘以360°即可；
(2)根据中位数的定义即可判断出答案；
(3)利用样本估计总体的思想求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数以及利用样本估计总体．
36.【答案】解：(1)∵BD′//EF，∠BEF=108°，
∴∠D′BE=180°−∠BEF=72°，
∵∠DBE=108°，
∴∠DBD′=∠DBE−∠D′BE=108°−72°=36°，
∵BD=6，
∴点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，如图：
Rt△BDG中，DG=BD⋅sin36°≈6×0.59=3.54，
Rt△BEH中，HE=BE⋅sin72°≈4×0.95=3.80，
∴DG+HE=3.54+3.80=7.34≈7.3，
∵BD′//EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【解析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
(1)由BD′//EF，求出∠D′BE=72°，可得∠DBD′=36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，Rt△BDG中，求出DG=BD⋅sin36°≈3.54，Rt△BEH中，HE=3.80，故DG+HE≈7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm，
37.【答案】解：(1)把x=0代入y=kx+3得，y=3，
∴B(0,3)，
∵A(−2,n)，
∴△OAB的面积=12×2×3=3，
∵S△OAB：S△ODE=1：2，
∴S△ODE=6，
∵DE⊥x，点D在反比例函数y=mx的图象上，
∴12|m|=6，
∴m=±12，
∵m<0，
∴m=−12，
∴反比例函数关系式为：y=−12x；
(2)把A(−2,n)代入y=−12x得：n=−12−2=6，
∴A(−2,6)，
把A(−2,6)代入y=kx+3得：6=−2k+3，
∴k=−32，
∴一次函数关系式为：y=−32x+3，
把y=0代入y=−32x+3中得：0=−32x+3，
∴x=2，
∴C(2,0)；
(3)−24．
【解析】
【分析】
此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、利用图象解不等式等知识，数形结合并准确计算是解题的关键．
(1)先求出点B的坐标，再求出△OAB的面积，再利用S△OAB：S△ODE=1：2得到S△ODE=6，最后利用k的几何意义求出答案即可；
(2)先求出点A的坐标，再求出一次函数的表达式，再求出与x轴的交点C的坐标即可；
(3)先求出一次函数和反比例函数交点的坐标，再结合图象求出答案即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵一次函数和反比例函数相交，
∴−32x+3=−12x；
∴x1=4，x2=−2，
∴y1=−3，y2=6，
∴一次函数和反比例函数的交点A(−2,6)，D(4,−3)，
由图可知−12x>−32x+3时，−24，
故答案为：−24．
38.【答案】解：(1)设甲种纪念品每个的进价为x元，则乙种纪念品每个的进价为(x+9)元，
由题意得：10400x=14000x+9，
解得：x=26，
经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，
则x+9=35，
答：甲种纪念品每个的进价为26元，则乙种纪念品每个的进价为35元；
(2)设甲种纪念品降价m元，乙种纪念品提价n元，
则某天甲种纪念品售出的数量为(40+4m)个，乙种纪念品售出的数量为(80−2n)个，
由题意得：40+4m+80−2n=140，
整理得：n=2m−10，
设这天的毛利为w元，由题意得：w=(46−m−26)×(40+4m)+(45+n−35)×(80−2n)=−4m2−2n2+40m+60n+1600，
∵n=2m−10，
∴w=−4m2−2(2m−10)2+40m+60(2m−10)+1600=−12m2+240m+800=−12(m−10)2+2000，
∴当m=10时，w有最大值为2000，
答：若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大毛利是2000元．
【解析】(1)设甲种纪念品每个的进价为x元，则乙种纪念品每个的进价为(x+9)元，由题意：某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲种纪念品降价m元，乙种纪念品提价n元，则某天甲种纪念品售出的数量为(40+4m)个，乙种纪念品售出的数量为(80−2n)个，由题意得：40+4m+80−2n=140，则n=2m−10，设这天的毛利为w元，再由题意得出w与m的函数关系式，然后由二次函数的性质即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、一次函数和二次函数的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)弄清数量关系，正确求出w与m的二次函数关系式．
39.【答案】(1)证明：如图，连接OP，
∵AP与⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO=90°，
∴∠PAO+∠POA=90°，OM⊥ON，
∴∠POQ+∠POA=90°，
∴∠POQ=∠PAO，
∵B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO=12∠POQ=12∠PAO，
∴∠PAO=2∠PBO．
(2)解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，∠PDO=90°，
由(1)可知：∠POQ=∠PAO，∠APO=90°，
∴△PDO～△OPA，
∴PDOP=ODAP=OPAO，
∵AO2=AP2+OP2，⊙O的半径为3，AP=4，
∴AO=5，
∴PD3=OD4=35，
∴PD=95,OD=125，
∴BD=3−OD=3+125=275，
∴Rt△PBD中，PB2=PD2+BD2，
∴PB2=(95)2+(275)2，
∴PB=9 105，
【解析】(1)利用切线得性质，得到直角三角形锐角互余，利用圆周角与圆心角得关系即可证明；
(2)结合(1)证明△PDO～△OPA，利用相似三角形求得关系，求出PD，OD，最后在Rt△PBD中运用勾股定理求解即可．
本题考查了圆的性质，相似三角形、切线的性质、勾股定理，解题的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．
40.【答案】(1)解：在Rt△ABC中，tanα=12，BC=3，
∴AC=6．
∴点B的坐标为(6,3)．
∵B(6,3)，E(4,4)在抛物线y=ax2+bx上，
∴62a+6b=342a+4b=4
解得a=−14b=2
∴y关于x的函数关系式为y=−14x2+2x．
(2)当x=2时，y=−14×22+2×2=3>1+1.8，
所以水珠能越过这棵树．
【解析】(1)根据直角三角形的性质求出点E、B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
(2)代入x=2求得y的值后与1+1.8比较大小后即可确定正确的结论．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点．
41.【答案】12 14 AE 3≤m<6
【解析】解：(1)∵AE=DE，EH//CD，
∴AHCH=AEDE=1，
∴AH=CH，
∵CD=CH，
∴CC=CH=AH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴sin∠ACB=sin∠CAD=CD AC=CD2CH=CD2CD=12，
在Rt△EGH中，GH=2EG，
在Rt△GHC中，CG=2GH，
∴CG=4EG，
∴EGCG=14，
故答案为：12，14；
(2)CH2=CG⋅AE，理由如下：
设EG=1，
由(1)可得：AH=CH，GH⊥AC，
∴CG=AG，
∴∠GCH=∠CAD=30°，
GH=2EG=2，
在Rt△CGH中，CH=GHtan∠GCH=2tan30∘=2 3，
在Rt△GEH中，EH= 3EG= 3，
在Rr△AEH中，AE= 3EH=3，
∵CH2(2 3)2=12，CG⋅AE=4×3=12，
∴CH2=CG⋅AE；
(3)如图，
∵CD′=CD，
∴点D′在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，
∴AD′最小=AC−CD=2 3− 3= 3，
∴ 3≤m<6，
故答案为： 3≤m<6．
(1)可得AC=2AH=2CH=2CD，GH=2EG，CG=2GH，从而得出结果；
(2)设EG=1，则CG=4，CH=2 3，AE=3，从而得出结论；
(3)点D在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，可得出AD′的最小值，进而得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．
42.【答案】解：原式
=−1．
【解析】先算分数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，最后算加减．
本题考查分数指数幂、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则是解题关键．
43.【答案】解：，
由②，得(x−y)2=4，
x−y=±2③，
由③和①组成两个二元一次方程组：
x+2y=5x−y=2，，
解得：x1=3y1=1，x2=13y2=73，
所以方程组的解是x1=3y1=1，x2=13y2=73．
【解析】由②得出(x−y)2=4，求出x−y=±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
44.【答案】解：(1)如图，过A点作AM⊥BC于M，交EF于N．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BM=MC=12BC=2，
，
；
(2)∵点E、F分别是AB、AC的中点，
，EF//BC，EF=12BC=2，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥EF，即AN⊥EF，
，
．
∵CD//AB，EF//BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=4，
，
．
故线段AD的长为 17．
【解析】(1)过A点作AM⊥BC于M，交EF于N.根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出，再根据正弦函数的定义求解即可；
(2)根据线段中点的定义，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理求出再证明四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，然后利用勾股定理即可求出线段AD的长．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
45.【答案】3 12 9 0.4 0.3
【解析】解：(1)根据频数分布表可知，空气质量指数在100～150，即是轻度污染的天数为3天，
由频率分布直方图可知，空气质量指数在50～100的频率为0.006×50=0.3，即d=0.3，
，
，，
故答案为：3，12，9，0.4，0.3；
(2)设这两年中绿化面积每年的增长率为x，由题意得，
，
解得x≈0.22，
答：这两年中绿化面积每年的增长率约为22%．
(1)根据频率分布直方图的意义求出空气质量指数在50～100的频率，确定d的值，再根据各组频率之和为1求出c的值，根据频率=频数总数求出a、b的值即可；
(2)根据增长率应用题的数量关系列方程求解即可．
本题考查频率分布直方图，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
46.【答案】证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
DA=EA∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴DB=EC，
∵DE//BC，
∴四边形DBCE是等腰梯形；
，
，
∵∠CFG=∠BFC，
∴△CFG∽△BFC，
∴∠FCG=∠FBC，∠CGF=∠BCF，
∵DE//BC，
，
，
，
在△AEC和△CGB中，
，
∴△AEC≌△CGB(AAS)，
．
【解析】(1)证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DB=EC，根据等腰梯形的概念证明；
(2)证明△CFG∽△BFC，根据相似三角形的性质得到∠FCG=∠FBC，∠CGF=∠BCF，得到，证明△AEC≌△CGB，根据全等三角形的性质证明即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
47.【答案】解：(1)由题意得：，
解得：b=−1c=−4，
则抛物线的表达式为：y=12x2−x−4，
则抛物线的对称轴为x=1；
(2)由题意得，新抛物线的表达式为：，
则顶点P坐标为：，
将该点坐标代入y=12x2−x−4得：，
解得：t=2(舍去)或−3，
即P的坐标为：(3,−52)；
(3)由A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x+2，
当点E在AB上方时，
过点E作EH⊥AB于点H，设AB交抛物线对称轴于点N，
当x=1时，y=x+2=3，即点N(1,3)，
由点B、N的坐标得，BN=5 2，
由直线AB的表达式知，其与x轴坐标轴的夹角为45°，
即，
在△ENB中，∠ENH=45°，tan∠ABE=13，BN=5 2，
设，则BH=3x，
则，则x=5 24，
则，
则点E的坐标为：；
当点E′在AB下方时，
同理可得：，
则点E′的坐标为：；
综上，点E的坐标为：或
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)设抛物线的表达式为：，得到P坐标为：，进而求解；
(3)当点E在AB上方时，在△ENB中，∠ENH=45°，tan∠ABE=13，BN=5 2，求出，即可求解；当点E′在AB下方时，同理可解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、解直角三角形、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
48.【答案】(1)证明：∵AB=AC，DE=DB，
，
∴∠A=180°−2∠B，，
∴∠A=∠CDF；
(2)①连接AD，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴∠ADC=90°，
∴AC为圆的直径，
连接OD，设经过A、C、D三点的圆半径为r，
弦CD恰好是正十边形的一条边，
，
，
又∵O、D是AC、BC的中点，
∴OD//AB，AC=2r，
，
，
，
，∠F=∠F，
∴△FDC∽△FOD，
则，即，
解得：舍)，
，
②∵AC=10，
∴OC=OD=5，
又，
∴DH=3，OH=4，
，
设CF=a，
由①可知，，
∴△FDC∽△FOD，
，
，即，
如图，过点D作DH⊥OC于点H，
在Rt△DHF中，，
，
解得a=103，
∴CF=103，，
∵OC=OD，M是CD所在圆的半径，
∴OM⊥CD，
又∵∠OFM=90°，
，
，
，
∴△HDC∽△FOM，
，即，
解得：，
连接CM，
，
∴⊙M的半径长为．
【解析】(1)根据等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理得到结论；
(2)①连接AD，根据正十边形的中心角可得，推出△FDC∽△FOD，根据对应边成比例解题即可；
②由△FDC∽△FOD，得，过点D作DH⊥OC于点H，则，等量代换得到DF的值，然后根据△HDC∽△FOM，求出MF的长，再利用勾股定理求出半径长即可．
相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似．
2023年上海市金山区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共54.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 绝对值为15的数是( )
A. 5 B. 15 C. −15 D. ±15
2. Iphone15系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的A16芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米，将数字0.000000005米用科学记数法表示为( )
A. −5×109米 B. −0.5×108米 C. 0.5×10−8米 D. 5×10−9米
3. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是( )
A. 核
B. 心
C. 数
D. 养
4. 如图，直线a//b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1=35°，那么∠2等于( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
5. 若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
6. 随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图(四次参加模拟考试的学生人数不变)，下列四个结论不正确的是( )
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
7. 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点F，G为圆心大于12FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若AB=10，DE=6，CE=8，则BE的长为( )
A. 2 41 B. 40 2 C. 4 5 D. 8 5
9. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接AB并延长交⊙O于点D，若∠A=35°，则∠DOE的度数是( )
A. 110°
B. 120°
C. 120.5°
D. 115°
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(−1,0)，其对称轴为直线x=1.下列结论，其中正确的有( )
①abc<0；②b2−4ac<0；③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；⑤点C(x1,y2)、D(x2,y2)是抛物线上的两点，若x1
11. −6的相反数为( )
A. 16 B. 6 C. ±6 D. −16
12. 单项式−8ab2的系数是( )
A. −8 B. 2 C. 3 D. 8
13. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是( )
疫苗名称
克尔来福
阿斯利康
莫德纳
辉瑞
卫星V
有效率
79.2%
75.9%
95%
95%
92.3%
A. 75.9% B. 79.2% C. 95% D. 92.3%
14. 已知函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是( )
A. (0.5,1) B. (2,1) C. (−2,4) D. (−2,−2)
15. 下列图形中，是中心对称图形且旋转240°后能与自身重合的图形是( )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正八边形 D. 正十二边形
16. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=8cm，则球的半径长是( )
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共17小题，共63.0分）
17. 不等式组2x+1>−1x−2≤3的解集为______ ．
18. 现有背面完全相同，正面图案如图所示的4卡片正面分别写有《九章算术》《周脾算经》《五经算术》《数術记遗》，4张卡片正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是______ ．
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE//AC，DF//AB，则DE+DF= ______ ．
20. 如图所示，ABCD为矩形，以CD为直径作半圆，矩形的另外三边分别与半圆相切，沿着折痕DF折叠该矩形，使得点C的对应点E落在AB边上，若AD=2，则图中阴影部分的面积为______．
21. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= 2，点P是BC边上一个动点，且不与点B，C重合，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，连接B′C，则△PCB′周长的最小值为 ．
22. 计算x2⋅x7=______．
23. 已知f(x)= x−1，那么f(5)=______．
24. 因式分解：a3−a= ．
25. 方程的解是______ ．
26. 不等式组的解集是______ ．
27. 抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈______ 趋势(填“上升”或者“下降”)．
28. 已知关于x的方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值等于______ ．
29. 一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：2.从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为______ ．
30. 小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离y1(米)、y2(米)与时间x(分钟)之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是______ 分钟．
31. 如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE//BC，联结BE，如果AC=a，BC=b，当ADAB=23时，那么BE= ______ .(用含a、b的式子表示)
32. 如图，已知AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点G，当∠AEG=∠ADC时，那么ACAD的值等于______ ．
33. 已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，tanC=34，点D是线段BC上的动点，点E在线段AC上，如果点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共15小题，共153.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
34. (本小题8.0分)
计算：
(1)(π−3.14)0−(12)−2+327− 8；
(2)2x+4x2−6x+9÷(2x−1x−3−1)．
35. (本小题8.0分)
为迎接新冠疫情的第一次高峰，青岛市市南区举行了线上期末考试，其评分等级如下：90分及以上为优秀；80分−89分为良好；60分−79分为及格；60分以下为不及格.教研员随机抽取学生的成绩进行分析，并将测试成绩制成如图表，据此回答下列问题：
(1)扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数为______ °；
(2)所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在______ 等级；
(3)根据实际情况，在线上学习期间认真的同学成绩应该达到良好及以上，若良好及以上的共有960人，请你估计，“不及格”有多少人．
36. (本小题9.0分)
一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′//EF(如图3)．
(1)求点D转动到点D′的路径长；
(2)求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1cm)．
(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)
37. (本小题9.0分)
如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点C、B，与反比例函数y=mx交于点A、D.过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A(−2,n)，S△OAB：S△ODE=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标；
(3)直接写出关于x不等式：mx>kx−3的解集为 ．
38. (本小题10.0分)
2022年2月，北京冬奥会成功举办，吉祥物纪念品等深受人们喜爱．某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，已知乙种纪念品比甲种纪念品每个进价多9元．
(1)求甲、乙两种纪念品每个的进价．
(2)经销中发现，甲种纪念品每个售价46元时，每天可售40个，乙种纪念品每个售价45元时，每天可售80个，商店决定甲种纪念品降价，乙种纪念品提价．结果甲种纪念品单价降1元可多卖4个，乙种纪念品单价提1元就少卖2个，若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大毛利是多少？
39. (本小题10.0分)
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO=2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为3，AP=4，求BP的长．
40. (本小题10.0分)
图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面.斜坡顶端B与地面的距离BC为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，BC与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y(单位：米)(水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为
4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
41. (本小题11.0分)
综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长AB= 3，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点D′恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
问题解决：
(1)在图②中，sin∠ACB=______，EGCG=______；
(2)在图②中，CH2=CG⋅______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
(3)将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点D′落在矩形的内部或一边上，设∠DCD′=a，若0°
42. (本小题10.0分)
计算：．
43. (本小题10.0分)
解方程组：．
44. (本小题10.0分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点E、F分别是AB、AC的中点，过点C作CD//AB交EF的延长线于点D，联结AD．
(1)求∠B的正弦值；
(2)求线段AD的长．
45. (本小题10.0分)
空气质量指数(AirQualityIndex，缩写AQI)是定量描述空气质量状况的非线性无量纲指数.其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势.(空气污染指数为0～50是优；空气污染指数为50～100是良好；空气污染指数为100～150是轻度污染；空气污染指数为150～200是中度污染；空气污染指数为200～250是重度污染.)
如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．
空气质量指数(AQI)
0～50
50～100
100～150
150～200
200～250
天数
a
b
3
3
3
频率
c
d
0.1
0.1
0.1
(注：每组数据可含最高值，不含最低值)
(1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是______ 天，a= ______ ；b= ______ ；c= ______ ；d= ______ ；
(2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积.已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率.(精确到0.01)．
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 5≈2.236， 6≈2.449)
46. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作，且DA=EA，联结BD、CE．
(1)求证：四边形DBCE是等腰梯形；
(2)点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若，求证：．
47. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−2,0)和点B(6,8)，直线AB与y轴交于点C，与抛物线的对称轴直线l交于点D．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点C，其顶点P在原抛物线上，且点P在直线l的右侧，求点P的坐标；
(3)点E在直线l上，若tan∠ABE=13，求点E的坐标．
48. (本小题14.0分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D是边BC中点，在边AB上取一点E，使得DE=DB，延长ED交AC延长线于点F．
(1)求证：∠A=∠CDF；
(2)设AC的中点为点O，
①如果CD为经过A、C、D三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，求CF：AC的值；
②⊙M经过C、D两点，联结OM、MF，当∠OFM=90°，AC=10，tanA=34时，求⊙M的半径长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：±15的绝对值是15，
即绝对值为15的数是±15．
故选：D．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000005米=5×10−9米．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：B．
根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=35°，
∴∠ABC+∠1+∠ACB=180°．
∵∠ABC=90°，
∴∠2=∠ACB=180°−90°−35°=55°．
故选：C．
先根据∠1=35°，a//b求出∠BCA的度数，即可得出答案．
本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：A、测试的学生人数为：10+250+150+90=500(名)，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第4月增长的“优秀”人数为500×17%−500×13%=20(人)，第3月增长的“优秀”人数500×13%−500×10%=15(人)，故不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：500×17%=85(人)，故符合题意．
故选：D．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由b+c=5可得出c=5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即Δ>0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
【解答】
解：∵b+c=5，
∴c=5−b．
Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．
∵(b−6)2≥0，
∴(b−6)2+24>0，
∴Δ>0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AJ//EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AJ//EC，AE//JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ=EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，AJ=EC=8，AE=JC=10，
∵DE=6，
∴AD=BC=16，
∴BJ=BC−JC=16−10=6，
∴AB2=BJ2+AJ2，
∴∠AJB=90°，
∵AJ//EC，
∴∠BCE=∠BJA=90°，
∴BE= BC2+EC2= 162+82=8 5，
故选：D．
如图，过点A作AJ//EC交BC于J.证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB=90°，推出∠BCE=90°，利用勾股定理求出BE即可．
本题考查作图——基本作图，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接BE、DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．
∵∠A=35°，
∴∠ABE=90°−∠A=55°．
∴∠DBE=125°．
∵四边形EBDC是圆内接四边形，
∴∠ECD+∠DBE=180°，
∴∠ECD=180°−125°=55°，
∴∠DOE=2∠ECD=110°，
故选：A．
连接BE、DC，由圆周角定理得∠BEC=90°，再由三角形外角性质知∠ABE=55°，则∠DBE=125°，然后由圆内接四边形的性质得∠ECD=55°，即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和圆内接四边形．
10.【答案】B
【解析】解：①由图象可知：a<0，c>0，−b2a>0，
∴abc<0，
故①符合题意．
②根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0．
故②不符合题意；
③∵−b2a=1，
∴b=−2a．
∵当x=−1时，y=0，即a−b+c=0．
∴a−b+c=3a+c=0，
∵a<0，
∴8a+c<5a+3a+c<0，
故③符合题意；
④由于图象过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，
则图象也过点(3,0)，
∴当x=3时，y=0，
即9a+3b+c=0．
∵c>0，
∴9a+3b+2c>0．
故④不符合题意；
⑤点C(x1,y1)、D(x2,y2)是抛物线上的两点，若1
故⑤不符合题意；
⑥由于图象过点(−3,n)，
由对称性可知：图象也过点(5,n)，
令y=n，
∴ax2+bx+c=n有两个解，分别是−3，5，
故⑥符合题意．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】B
【解析】解：−(−6)=6，则−6的相反数是6．
故选：B．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
12.【答案】A
【解析】解：单项式−8ab2的系数是−8，
故选A．
由单项式系数的概念即可判断．
本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数的概念．
13.【答案】D
【解析】解：从小到大排列此数据为：75.9%、79.2%、92.3%、95%、95%，
处在第3位为中位数．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了中位数的概念，正确记忆中位数的定义和求法是解题关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，
∴k<0，
∴正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，
∴这个函数图象可能经过的点是(−2,4)．
故选：C．
由函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x值的增大而减小，可得出k<0，进而可得出正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k>0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：A.等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.正方形是中心对称图形，绕对角线的交点旋转90°或180°或270°与自身重合，故本选项不符合题意；
C.正八边形是心对称图形，绕对称中心旋转45°或90°或135°或180°或225°或270°或315°与自身重合，故本选项不符合题意；
D.正十二边形是中心对称图形，绕对称中心旋转30°或30°的倍数与自身重合，故本选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形和旋转对称图形的定义即可判断．
本题考查中心对称图形以及旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
16.【答案】B
【解析】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN=CD=8，
设OF=x cm，则OM=OF，
，，
在Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2
即：(8−x)2+42=x2
解得：x=5，
故选：B．
设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF=x cm，则，，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】−1
故不等式组的解集为：−1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】16
【解析】解：设《九章算术》记为a，《周髀算经》记为b，《五经算术》记为c，《数術记遗》记为d，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》，即a和c的结果有2种，
∴甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】7cm
【解析】解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE//AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
故答案为：7cm．
首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF=AE，然后证明DE=BE，即可得到DE+DF=AB，从而得解．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
20.【答案】3 3−43π
【解析】解：作OH⊥AB于H，DE交半圆于M，连接OM，作ON⊥DM于N，如图，
∵矩形的另外三边分别与半圆相切，
∴OH为半圆的半径，
∴CD=2OH=2AD=4，
∵DC沿DF折叠到DE，
∴DE=DC=4，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED=ADDE=24=12，
∴∠AED=30°，
∴AE= 3AD=2 3，
∵CD//AB，
∴∠CDE=∠AED=30°，
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD=30°，
∴∠DOM=120°，
∴图中阴影部分的面积=S△ADE−S弓形DHM=S△ADE−(S扇形DOM−S△DOM)=12×2×2 3−(120⋅π⋅22360−12×2 3×1)=3 3−43π.
故答案为3 3−43π.
作OH⊥AB于H，DE交半圆于M，连接OM，作ON⊥DM于N，如图，利用切线的性质得CD=2OH=4，再根据折叠的性质得DE=DC=4，则根据正弦的定义得到∠AED=30°，AE= 3AD=2 3，接着求出∠DOM=120°，然后根据三角形面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△ADE−S弓形DHM=S△ADE−(S扇形DOM−S△DOM)进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了折叠的性质和扇形的面积公式．
21.【答案】 2+ 3−1
【解析】解：由折叠得AB′=AB=1，PB′=PB，
∴△PCB′的周长=CP+PB′+B′C=CP+PB+B′C=CB+B′C= 2+B′C，
连接AC，如图：
∵AB′+B′C>AC，即1+B′C>AC，
∴当点B′恰好位于对角线AC上时，AB′+B′C最小，
在Rt△ABC中，AB=1，BC= 2，
∴AC= 12+( 2)2= 3，
∴B′C的最小值=AC−AB′= 3−1，
∴△PCB′周长的最小值= 2+B′C= 2+ 3−1．
故答案为： 2+ 3−1．
由折叠得AB′=AB=1，PB′=PB，而△PCB′的周长=CP+PB′+B′C=CP+PB+B′C=CB+B′C= 2+B′C，连接AC，根据两点之间线段最短可得B′C的最小值=AC−AB′= 3−1，即可得到答案．
本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．
22.【答案】x9
【解析】解：x2⋅x7
=x2+7
=x9．
故答案为：x9．
利用同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”是解决本题的关键．
23.【答案】2
【解析】解：∵f(x)= x−1，
∴f(5)= 5−1= 4=2，
故答案为：2．
把数据代入函数计算求值．
本题考查了函数值，算术平方根，解题的关键是掌握函数值的求法，算术平方根的定义．
24.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
25.【答案】−1
【解析】解：原方程可化为：x2x−1−1x−1=0，
去分母得，x2−1=0，解得x=1或x=−1，
当x=1时，x−1=0，故x=1是原分式方程的增根，
当x=−1时，x−1=−2，故x=−1是原分式方程的根．
故答案为：−1．
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．
26.【答案】−2≤x<1
【解析】解：由3x−2
则不等式组的解集为−2≤x<1，
故答案为：−2≤x<1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
27.【答案】下降
【解析】解：中的a=−12<0，b=0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
28.【答案】94
【解析】解：根据题意得，
解得m=94．
故答案为：94．
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
29.【答案】12
【解析】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：2，
∴从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是55+3+2=12，
故答案为：12．
用红球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
30.【答案】5
【解析】解：设y1=kx+b，
则，
解得，
；
设y2=mx+n，
则，
解得，
，
联立，
解得x=5y=300，
∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：5．
分别求出函数y1，y2的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
31.【答案】b−13a
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
，
∵AC=a，
，
，
，
．
故答案为：b−13a．
由题意可得，进而可得，则．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
32.【答案】2 33
【解析】解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴点G是△ABC的重心，AE=12AC，
∴AG=23AD，
，，
∴△AGE∽△ACD，
∴AEAD=AGAC，
，
，
，
故答案为：2 33．
根据三角形的重心的性质得到AG=23AD，证明△AGE∽△ACD，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理、三角形的重心的性质是解题的关键．
33.【答案】85
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，，
∴AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5．
∵点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，
∴AE=AF．
∵点E在线段AC上，
，
∴当AF取最小值时CE取最大值．
如图，当AF⊥BC时，AF最小．
∵S△ABC=12BC⋅AF=12AB⋅AC，
，
，
即CE的最大值为85．
故答案为：85．
在直角△ABC中，根据正切函数定义得出AC=4，利用勾股定理求出BC= AB2+AC2=5.根据轴对称的性质得到AE=AF，那么，当AF取最小值时CE取最大值．根据垂线段最短得出当AF⊥BC时，AF最小．根据三角形的面积求出，进而求出CE的最大值．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，轴对称的性质，垂线的性质，三角形的面积等知识．根据题意得到当AF取最小值时CE取最大值是解题的关键．
34.【答案】解：(1)原式=1−2+3−2 2
=2−2 2；
(2)原式=2(x+2)(x−3)2÷2x−1−(x−3)x−3
=2(x+2)(x−3)2⋅x−3x+2
=2x−3．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
35.【答案】36 及格
【解析】解：(1)“不及格”等级所占百分比为1−23%−25%−42%=10%，
360°×10%=36°．
故答案为：36；
(2)根据扇形图可知优秀、良好和及格的人数分别占了23%、25%、42%，
∴所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在及格等级；
故答案为：及格；
(3)∵良好及以上的共有960人，
∴总人数为960÷(23%+25%)=2000(人)，
∴2000×10%=200(人)，
答：估计“不及格”有200人．
(1)先求出“不及格”等级所占百分比，再乘以360°即可；
(2)根据中位数的定义即可判断出答案；
(3)利用样本估计总体的思想求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数以及利用样本估计总体．
36.【答案】解：(1)∵BD′//EF，∠BEF=108°，
∴∠D′BE=180°−∠BEF=72°，
∵∠DBE=108°，
∴∠DBD′=∠DBE−∠D′BE=108°−72°=36°，
∵BD=6，
∴点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，如图：
Rt△BDG中，DG=BD⋅sin36°≈6×0.59=3.54，
Rt△BEH中，HE=BE⋅sin72°≈4×0.95=3.80，
∴DG+HE=3.54+3.80=7.34≈7.3，
∵BD′//EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【解析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
(1)由BD′//EF，求出∠D′BE=72°，可得∠DBD′=36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为36π×6180=65π；
(2)过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，Rt△BDG中，求出DG=BD⋅sin36°≈3.54，Rt△BEH中，HE=3.80，故DG+HE≈7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm，
37.【答案】解：(1)把x=0代入y=kx+3得，y=3，
∴B(0,3)，
∵A(−2,n)，
∴△OAB的面积=12×2×3=3，
∵S△OAB：S△ODE=1：2，
∴S△ODE=6，
∵DE⊥x，点D在反比例函数y=mx的图象上，
∴12|m|=6，
∴m=±12，
∵m<0，
∴m=−12，
∴反比例函数关系式为：y=−12x；
(2)把A(−2,n)代入y=−12x得：n=−12−2=6，
∴A(−2,6)，
把A(−2,6)代入y=kx+3得：6=−2k+3，
∴k=−32，
∴一次函数关系式为：y=−32x+3，
把y=0代入y=−32x+3中得：0=−32x+3，
∴x=2，
∴C(2,0)；
(3)−2
【解析】
【分析】
此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、利用图象解不等式等知识，数形结合并准确计算是解题的关键．
(1)先求出点B的坐标，再求出△OAB的面积，再利用S△OAB：S△ODE=1：2得到S△ODE=6，最后利用k的几何意义求出答案即可；
(2)先求出点A的坐标，再求出一次函数的表达式，再求出与x轴的交点C的坐标即可；
(3)先求出一次函数和反比例函数交点的坐标，再结合图象求出答案即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵一次函数和反比例函数相交，
∴−32x+3=−12x；
∴x1=4，x2=−2，
∴y1=−3，y2=6，
∴一次函数和反比例函数的交点A(−2,6)，D(4,−3)，
由图可知−12x>−32x+3时，−2
故答案为：−2
38.【答案】解：(1)设甲种纪念品每个的进价为x元，则乙种纪念品每个的进价为(x+9)元，
由题意得：10400x=14000x+9，
解得：x=26，
经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，
则x+9=35，
答：甲种纪念品每个的进价为26元，则乙种纪念品每个的进价为35元；
(2)设甲种纪念品降价m元，乙种纪念品提价n元，
则某天甲种纪念品售出的数量为(40+4m)个，乙种纪念品售出的数量为(80−2n)个，
由题意得：40+4m+80−2n=140，
整理得：n=2m−10，
设这天的毛利为w元，由题意得：w=(46−m−26)×(40+4m)+(45+n−35)×(80−2n)=−4m2−2n2+40m+60n+1600，
∵n=2m−10，
∴w=−4m2−2(2m−10)2+40m+60(2m−10)+1600=−12m2+240m+800=−12(m−10)2+2000，
∴当m=10时，w有最大值为2000，
答：若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大毛利是2000元．
【解析】(1)设甲种纪念品每个的进价为x元，则乙种纪念品每个的进价为(x+9)元，由题意：某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲种纪念品降价m元，乙种纪念品提价n元，则某天甲种纪念品售出的数量为(40+4m)个，乙种纪念品售出的数量为(80−2n)个，由题意得：40+4m+80−2n=140，则n=2m−10，设这天的毛利为w元，再由题意得出w与m的函数关系式，然后由二次函数的性质即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、一次函数和二次函数的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)弄清数量关系，正确求出w与m的二次函数关系式．
39.【答案】(1)证明：如图，连接OP，
∵AP与⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO=90°，
∴∠PAO+∠POA=90°，OM⊥ON，
∴∠POQ+∠POA=90°，
∴∠POQ=∠PAO，
∵B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO=12∠POQ=12∠PAO，
∴∠PAO=2∠PBO．
(2)解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，∠PDO=90°，
由(1)可知：∠POQ=∠PAO，∠APO=90°，
∴△PDO～△OPA，
∴PDOP=ODAP=OPAO，
∵AO2=AP2+OP2，⊙O的半径为3，AP=4，
∴AO=5，
∴PD3=OD4=35，
∴PD=95,OD=125，
∴BD=3−OD=3+125=275，
∴Rt△PBD中，PB2=PD2+BD2，
∴PB2=(95)2+(275)2，
∴PB=9 105，
【解析】(1)利用切线得性质，得到直角三角形锐角互余，利用圆周角与圆心角得关系即可证明；
(2)结合(1)证明△PDO～△OPA，利用相似三角形求得关系，求出PD，OD，最后在Rt△PBD中运用勾股定理求解即可．
本题考查了圆的性质，相似三角形、切线的性质、勾股定理，解题的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．
40.【答案】(1)解：在Rt△ABC中，tanα=12，BC=3，
∴AC=6．
∴点B的坐标为(6,3)．
∵B(6,3)，E(4,4)在抛物线y=ax2+bx上，
∴62a+6b=342a+4b=4
解得a=−14b=2
∴y关于x的函数关系式为y=−14x2+2x．
(2)当x=2时，y=−14×22+2×2=3>1+1.8，
所以水珠能越过这棵树．
【解析】(1)根据直角三角形的性质求出点E、B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
(2)代入x=2求得y的值后与1+1.8比较大小后即可确定正确的结论．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点．
41.【答案】12 14 AE 3≤m<6
【解析】解：(1)∵AE=DE，EH//CD，
∴AHCH=AEDE=1，
∴AH=CH，
∵CD=CH，
∴CC=CH=AH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴sin∠ACB=sin∠CAD=CD AC=CD2CH=CD2CD=12，
在Rt△EGH中，GH=2EG，
在Rt△GHC中，CG=2GH，
∴CG=4EG，
∴EGCG=14，
故答案为：12，14；
(2)CH2=CG⋅AE，理由如下：
设EG=1，
由(1)可得：AH=CH，GH⊥AC，
∴CG=AG，
∴∠GCH=∠CAD=30°，
GH=2EG=2，
在Rt△CGH中，CH=GHtan∠GCH=2tan30∘=2 3，
在Rt△GEH中，EH= 3EG= 3，
在Rr△AEH中，AE= 3EH=3，
∵CH2(2 3)2=12，CG⋅AE=4×3=12，
∴CH2=CG⋅AE；
(3)如图，
∵CD′=CD，
∴点D′在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，
∴AD′最小=AC−CD=2 3− 3= 3，
∴ 3≤m<6，
故答案为： 3≤m<6．
(1)可得AC=2AH=2CH=2CD，GH=2EG，CG=2GH，从而得出结果；
(2)设EG=1，则CG=4，CH=2 3，AE=3，从而得出结论；
(3)点D在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，可得出AD′的最小值，进而得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．
42.【答案】解：原式
=−1．
【解析】先算分数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，最后算加减．
本题考查分数指数幂、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则是解题关键．
43.【答案】解：，
由②，得(x−y)2=4，
x−y=±2③，
由③和①组成两个二元一次方程组：
x+2y=5x−y=2，，
解得：x1=3y1=1，x2=13y2=73，
所以方程组的解是x1=3y1=1，x2=13y2=73．
【解析】由②得出(x−y)2=4，求出x−y=±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
44.【答案】解：(1)如图，过A点作AM⊥BC于M，交EF于N．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BM=MC=12BC=2，
，
；
(2)∵点E、F分别是AB、AC的中点，
，EF//BC，EF=12BC=2，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥EF，即AN⊥EF，
，
．
∵CD//AB，EF//BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=4，
，
．
故线段AD的长为 17．
【解析】(1)过A点作AM⊥BC于M，交EF于N.根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出，再根据正弦函数的定义求解即可；
(2)根据线段中点的定义，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理求出再证明四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，然后利用勾股定理即可求出线段AD的长．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
45.【答案】3 12 9 0.4 0.3
【解析】解：(1)根据频数分布表可知，空气质量指数在100～150，即是轻度污染的天数为3天，
由频率分布直方图可知，空气质量指数在50～100的频率为0.006×50=0.3，即d=0.3，
，
，，
故答案为：3，12，9，0.4，0.3；
(2)设这两年中绿化面积每年的增长率为x，由题意得，
，
解得x≈0.22，
答：这两年中绿化面积每年的增长率约为22%．
(1)根据频率分布直方图的意义求出空气质量指数在50～100的频率，确定d的值，再根据各组频率之和为1求出c的值，根据频率=频数总数求出a、b的值即可；
(2)根据增长率应用题的数量关系列方程求解即可．
本题考查频率分布直方图，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
46.【答案】证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
DA=EA∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴DB=EC，
∵DE//BC，
∴四边形DBCE是等腰梯形；
，
，
∵∠CFG=∠BFC，
∴△CFG∽△BFC，
∴∠FCG=∠FBC，∠CGF=∠BCF，
∵DE//BC，
，
，
，
在△AEC和△CGB中，
，
∴△AEC≌△CGB(AAS)，
．
【解析】(1)证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DB=EC，根据等腰梯形的概念证明；
(2)证明△CFG∽△BFC，根据相似三角形的性质得到∠FCG=∠FBC，∠CGF=∠BCF，得到，证明△AEC≌△CGB，根据全等三角形的性质证明即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
47.【答案】解：(1)由题意得：，
解得：b=−1c=−4，
则抛物线的表达式为：y=12x2−x−4，
则抛物线的对称轴为x=1；
(2)由题意得，新抛物线的表达式为：，
则顶点P坐标为：，
将该点坐标代入y=12x2−x−4得：，
解得：t=2(舍去)或−3，
即P的坐标为：(3,−52)；
(3)由A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x+2，
当点E在AB上方时，
过点E作EH⊥AB于点H，设AB交抛物线对称轴于点N，
当x=1时，y=x+2=3，即点N(1,3)，
由点B、N的坐标得，BN=5 2，
由直线AB的表达式知，其与x轴坐标轴的夹角为45°，
即，
在△ENB中，∠ENH=45°，tan∠ABE=13，BN=5 2，
设，则BH=3x，
则，则x=5 24，
则，
则点E的坐标为：；
当点E′在AB下方时，
同理可得：，
则点E′的坐标为：；
综上，点E的坐标为：或
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)设抛物线的表达式为：，得到P坐标为：，进而求解；
(3)当点E在AB上方时，在△ENB中，∠ENH=45°，tan∠ABE=13，BN=5 2，求出，即可求解；当点E′在AB下方时，同理可解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、解直角三角形、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
48.【答案】(1)证明：∵AB=AC，DE=DB，
，
∴∠A=180°−2∠B，，
∴∠A=∠CDF；
(2)①连接AD，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴∠ADC=90°，
∴AC为圆的直径，
连接OD，设经过A、C、D三点的圆半径为r，
弦CD恰好是正十边形的一条边，
，
，
又∵O、D是AC、BC的中点，
∴OD//AB，AC=2r，
，
，
，
，∠F=∠F，
∴△FDC∽△FOD，
则，即，
解得：舍)，
，
②∵AC=10，
∴OC=OD=5，
又，
∴DH=3，OH=4，
，
设CF=a，
由①可知，，
∴△FDC∽△FOD，
，
，即，
如图，过点D作DH⊥OC于点H，
在Rt△DHF中，，
，
解得a=103，
∴CF=103，，
∵OC=OD，M是CD所在圆的半径，
∴OM⊥CD，
又∵∠OFM=90°，
，
，
，
∴△HDC∽△FOM，
，即，
解得：，
连接CM，
，
∴⊙M的半径长为．
【解析】(1)根据等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理得到结论；
(2)①连接AD，根据正十边形的中心角可得，推出△FDC∽△FOD，根据对应边成比例解题即可；
②由△FDC∽△FOD，得，过点D作DH⊥OC于点H，则，等量代换得到DF的值，然后根据△HDC∽△FOM，求出MF的长，再利用勾股定理求出半径长即可．
相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似．
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