辅助圆四种常考模型（解析版）-中考数学二轮专题练习

这是一份辅助圆四种常考模型（解析版）-中考数学二轮专题练习，共61页。
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·黑龙江·中考真题）在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
【答案】/
【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．
【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点，
∴，，，
∴，
过点A作交的延长线于点G，
∴，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，，
∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时）
∴面积的最大值，
故答案为：．

【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键．
【典例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是外一点，点P在上，的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得，当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接并延长至点B，使得，连结，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：连结并延长至点B，使得，连结．
当点P在直线外时，
当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．
（1）请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，连结并延长至点Q，使得，连结，则面积的最大值是______．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）12．
【分析】本题考查了圆的综合知识，利用平行线的性质，中线的性质，确定动点的运动轨迹是解题的关键．
（1）通过证明是的中位线，可得；
（2）过点作交于点，利用平行线的性质可得，从而得到点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解；
（3）过点作交的延长线于点，根据平行线的性质可得，则点在以为圆心，为半径的圆上，当时， 的面积有最大值．
【详解】解：（1）连结并延长至点B，使得，连结，如图：
当点P在直线外时，
∵，
∴是的中位线，
∴；
当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆；
（2）过点作交于点，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴点的运动路径为：，
故答案为：；
（3）过点作交的延长线于点，如图：
∵四边形为矩形， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
当时， 的面积有最大值，
∵，
∴底边上的高为：，
∴的面积，
∴面积的最大值为，
故答案为：．
【典例1-3】（2024·甘肃兰州·一模）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）
【分析】（1）选①证明，由中线得出，再用证明，利用全等的性质得出，由等量代换得出．
（2）由（1）①得结论得出，从而得出，由平行的性质得出，由旋转的性质得出，进一步可得出，利用，由全等的性质得出，最后等量代换可得出．
（3）延长至点M，使得，连接，同（2）可得∶， 由全等的性质得出，，由旋转的性质得出，当点G在上时和当点G在的延长线上时，分别求出，则在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．取的中点O，连接，，由三角形三边关系得出
，当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．解直角，即可求出，进一步即可求出．
【详解】解：（1）选择结论①
证明： ∵为的中线
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）延长至M，使得，连接，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图2，延长至点M，使得，连接，
同（2）可得∶．
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
当点G在上时，
∴，
当点G在的延长线上时，
∴，
在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．
取的中点O，连接，，
∵
当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴．
∵为直径,
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系得应用，勾股定理等知识点，分析出当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2023·河北张家口·一模）在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）（ ）
对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】根据三角形边角关系直接判断即可得到答案；
【详解】解析：若点在外，则，
；
若点在上，则，
；
若点在内，则，
；
I可行；
若与边交于点，则，
；
若与边交于不是A的点，则，
；
若与边的延长线有交点，则，
．II可行，
故选C．
【点睛】本题考查三角形边角关系：三角形中大角对大边，小角对小边．
【典例1-2】（2023·辽宁鞍山·一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，
∴
∴，，
∵绕点A旋转，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．
【变式1-3】（23-24九年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹．
【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：
证明：
证明过程缺失
∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上．
（1）请你补全证明中的缺失过程．
【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______．
【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______．
【答案】（1）A，2；（2） （3）
【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键；
（1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上；
（2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可；
（3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值．
【详解】（1）∵点B为线段中点，
∴
∴O、A点关于直线l对称
∵点P关于直线l的对称点为，
∴
∴以A为圆心，2为半径的圆上；
（2）作O点关于直线l的对称点
∵点P关于直线l的对称点为，
∴
∵点P是上一动点，
∴在以为圆心，2为半径的的圆上，
∴点的运动路径长
（3）作O点关于直线l的对称点M
∵点P关于直线l的对称点为，
∴在以M为圆心，2为半径的的圆上
当直线l经过直径时，有最小值2,
当直线l经过点A时，有最大值
∴
【变式1-4】（2023·河北保定·二模）已知，在半圆中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到的距离的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据圆周角定理证明，再证明即可；
（2）过D作于H连接，先证明，再求出的长，再根据即可；
（3）连接过点作于点，先证明是等边三角形，再根据当最小时，即当点与点重合时，有最小值．
【详解】（1）证明：∵,
∴，
∵
∴，，
∴．
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：过D作于H连接，如图：

∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：连接过点作于点，

，
是等边三角形，
∵点M是的中点，
，
在中，
当最小时，有最小值，
即当点与点重合时，，
，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握全等三角形的定，圆的性质及圆中的相关计算是解题的关键．
【变式1-5】（2022九年级上·全国·专题练习）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．

(1)已知：如图1，，请利用圆规画出过三点的圆．若，则______．
(2)已知，如图2，中，．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点的对应点分别为点，求四边形的面积和的大小．
(3)如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积为，的大小为
(3)四边形的最大面积为，平移2个单位
【分析】（1）利用圆的定义知三点共圆，再利用圆周角定理求解即可；
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解；
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．
【详解】（1）解：以为圆心，为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：连接，如图，
， 中，，
，
为斜边中点，
，
线段平移到之后，，
四边形为菱形，
，
，
，且，
四边形为直角梯形，
；
（3）解：如图所示，

当边沿方向平移2个单位至时，
满足且此时四边形的面积最大，
此时直角梯形的最大面积为，
．
【点睛】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．
题型二：定弦定角构造辅助圆
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，
∴点B为定点，的长度为定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H在以为直径的圆上运动，
如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，
则点在上运动，
∴当与相切时最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
【典例2-2】（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
【答案】 / /
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．
【典例2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；
（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值．
【答案】（1）；（2）平方米
【分析】（1）作的外接圆，连接、、，过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，设，则，，根据，得，求出，，然后求出结果即可；
（2）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，，，求出，在上截取，连接，证明，得出，根据，得出要使四边形的面积最小，只需的面积最小，求出，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，根据，得出，求出，得出，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，
，
，
，
设，则，
∴，
∵，
∴，
由，得，
即，
，
，
面积的最小值为；
（2）如图，过点作于点，于点，
，
平分，
，
又，
，
，，，
，均为等腰直角三角形，
且，
，
如图，在上截取，连接，
，，，
，
，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小，
，
，
，
，
.
如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，
，
，
，
，
由题意得，即，
，
，
，
，
新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且过半径的中点H，过点A的切线交的延长线于G，且，点E为上一动点，于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】连接，，由，利用垂径定理得到H为的中点，证明，可求圆的半径，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上，当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．
【详解】解：连接，，
∵，
∴H为的中点，即，
∵是的切线，
∴，
又，
∴，
∴
即，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∴，，
∴，
∵，
∴始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上，
当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，
在中，，
∴，
∴，
∴所对圆心角的度数为，
∵直径，
∴的长，
则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为的长是解本题的关键．
【变式2-2】（2023·陕西西安·模拟预测）（1）问题提出：如图①，为等腰三角形，，，D是上一点，且平分的面积，则线段的长度为______．
（2）问题探究：如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点M点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点A距出口的距离的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）存在，最大值为；（3）存在通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，的长为米
【分析】（1）根据平分的面积，得到，利用三角形内角和及等腰三角形的性质求出，即可根据30度角的性质求出线段的长度；
（2）作的外接圆，圆心为O，作并延长交于点D，连接，证明，得到，利用正切值求出，由，即点C在劣弧上，得到当的高最大时，的面积最大，即点C与点D重合时，的高的最大值为，根据面积公式计算即可；
（3）连接，证得 ，由，的面积是定值，得到要使四边形的面积最大，只要的面积最大即可，求出四边形的面积的最大值，连接，求出的面积，得到点E在上，过点M作于点H，连接，根据三角函数求出，再利用的面积求出即可．
【详解】解：（1）∵平分的面积，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
（2）作的外接圆，圆心为O，作并延长交于点D，
连接，
则，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，即点C在劣弧上，
∴当的高最大时，的面积最大，
即点C与点D重合时，的高的最大值为，
∴存在面积的最大值，最大值为；
（3）连接，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积是定值，
∴要使四边形的面积最大，只要的面积最大即可，
∵为定值，为定值，
∴当是等边三角形时，即的面积最大，
∴四边形的面积的最大值为，
连接，
∵，
∴,
∵，，
∴点E在上，
过点M作于点H，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴存在通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，的长为米．
【点睛】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，等腰三角的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
【变式2-3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知：和外一点．
(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；
(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，，，首先证（），可得结论；
（2）以为直径作，两圆相交于，，直线，即为所求．
【详解】（1）如图，连接，，．
，是切线，
，，
．
在和中，
，
，
．
（2）以为直径作，两圆交于点、，
直线、即为所求；
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键．
【变式2-4】（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究
(1)如图①，已知中，，，则周长的最大值为__________；
(2)如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形的“探秘湿地”综合实践活动区，其中，点为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足米，．为达成最好的综合活动体验，需要、、三条步道的长度和尽可能大，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；最大为：米
【分析】（1）延长至点使得，以为边在上方做等边三角形，找出点的运动轨迹之后即可得到的最大值，再利用三角形周长运算方式运算即可；
（2）将顺时针绕点旋转得到，延长和交于点，以为底作角的等腰三角形，连接，过作于点，找出点的运动轨迹之后即可得到的最大值，证出后即可求解．
【详解】（1）解：延长至点使得，以为边在上方做等边三角形，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴点在以为圆心半径为的圆上运动，则为圆直径时最大，此时，
∴周长最大值；
（2）解：存在三条步道长度和的最大值，最大值为 米，理由如下：
∵四边形为菱形，，
∴，，
将顺时针绕点旋转得到，延长和交于点，以为底作角的等腰三角形，连接，过作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴点在以为圆心半径为的圆上运动，则为圆直径时最大，此时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴存在三条步道长度和的最大值，最大值为 米．
【点睛】本题为几何综合题，考查了圆周角与圆心角的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的性质等知识点，合理作出图象寻找运动轨迹是解题的关键．
题型三：主从联动构造辅助圆
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，过点在的右侧作，且，连接、．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)如图2，若三点共线，求点到直线的距离；
(4)直接写出线段的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正方形性质得到边以及角之间的关系，再由两个三角形全等的判定定理即可得到答案；
（2）连接，如图所示，利用勾股定理得到、长度，再由（1）中三角形全等的性质即可得到答案；
（3）过点作交的延长线于点，如图所示，根据已知条件得到相关线段长，由三角形相似的判定与性质，由比例式代值求解即可得到答案；
（4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示，利用动点最值问题-点圆模型的解法，结合勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵，是边的中点，
∴，
在中，则，
在中，，则，
由（1）中可知；
（3）解：过点作交的延长线于点，如图所示：
由（2）知，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴点F到直线的距离为；
（4）解：线段的最小值为，
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，，
∵点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，
∴，
∴，
∴线段的最小值为．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值等知识，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质、动点最值问题-点圆模型求最值的解法是解决问题的关键．
【典例3-2】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点A是外的一个定点，，点P是上的一个动点，连接，作且．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，连接，过点A作，且，通过证明，可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：1°当点P在直线外时，
如图，过点A作，且，
2°当点P在直线上时，．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．
【问题延伸】如图③，点A为外一定点，是直角三角形，，，当点P在半径为2的运动一周时，点Q的运动路径长是______．
【能力提升】如图④，在扇形中，，，点C是弧上的动点，连接，以BC为边作正方形，当点C从点A移动至点B时，点D的运动路径长为______．

【答案】[问题解决]见解析；[问题延伸]；[能力提升]
【分析】[问题解决] 1°当点P在直线外时连接OA，过点A作，且，通过证明，得出；2°当点P在直线上时，．可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆；
[问题延伸] 1°当点P在直线外时连接OA，过点A作，且，通过证明，得出；2°当点P在直线上时，．可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，1为半径的圆；
[能力提升] 补全所在的，延长交于F，连接，，取的中点G，连接，，判断，则点D在以G为圆心，为半径的弧上运动，当和B重合时，D和B重合，当C和G重合时，D和H重合，连接，证明是等边三角形，得出，利用圆周角定理得出，判断，求出，利用正弦求出，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：[问题解决]
证明：1°当点P在直线外时，
如图，过点A作，且，
，
，
，
，，
，
，
2°当点P在直线上时，．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．
[能力提升]
1°当点P在直线外时，

如图，过点A作，且，
，
，
，
，，
，
，
2°当点P在直线上时，．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，1为半径的圆．
故点Q的运动路径长为，
故答案为：；
[能力提升]
如图，补全所在的，延长交于F，连接，，取的中点G，连接，，

∵正方形，
∴，，
∴是直径，即过圆心，
∴，
∴，
∴点D在以G为圆心，为半径的弧上运动，
当和B重合时，D和B重合，当C和G重合时，D和H重合，
连接，
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的运动路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形以及辅助圆是解题的关键．
【典例3-3】（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
2°当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2）
【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：
（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解．
【详解】问题解决：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
在和中，
，
∴，
∴；
2°当点在直线上时，则．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；
结论应用：
（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，
∴点的运动路径长为；
（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，
，
由题意得：，，，，
∴由勾股定理得：，
∴线段长度的最小值为；
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，
，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴、、在同一直线上，
∴，
∴，
∴线段长度的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知 半径是，点 是上的一个动点，点 是平面内一点，，求证：线段 的最大值为．
【问题解决】经过分析，如图，小明将延长交 于点，并猜想此时 最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合)， 连结 、，
证明过程缺失
则 ，
则此时， 最大， 最大值为．
【问题延申】如图， 在中，， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连结DB， 过点 作 于点， 连结CF， 则线段CF 的最小值是 ．
【拓展提升】如图，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知米，， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿CF 修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊CF 的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF 最短为 米．(结果保留根号)
【答案】[问题解决]见解析；[问题延申]；[拓展提升]
【分析】[问题解决]根据两点直接线段最短，可得，进而即可求解；
[问题延申] 根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值；
[拓展提升]连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．
【详解】[问题解决]证明：∴，即
∴线段 的最大值为．
[问题解决]证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合)， 连结 、，
∵ 半径是，点 是上的一个动点，
∴,
∵
则 ，
则此时， 最大， 最大值为．
[问题延申] ，
，
点F在以为直径的半圆上，
如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．
，中点为E，
，
又，，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
（3），，，
，
，
．
如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，
点E在以为直径的半圆上，
，
中点为M，中点为F，中点为N，
为的中位线，为的中位线，为的中位线，
，，，，
，，
，
，
点F在以为直径的左侧半圆上，
取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．
，中点为O，，中点为N，
，，
，，
，
在中，，
，
又，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为2,0，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在上取点Q，使，连接，当点在直线外时，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）首先得到，点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，然后得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，得到，当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，
∴
∴，即
∴
当点在线段上时，
∵
∴，
∵
∴
∴
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为．
（2）如图所示，
∵点的坐标为2,0，
∴
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q
∵点N是的中点
∴是三角形的中位线
∴
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值
∵O0,0，，点Q是的中点
∴
∵
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了坐标与图形，相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是判断出动点的轨迹．
【变式3-3】（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，
2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则 ．
【答案】问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升：
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的性质等等：
（1）根据平移的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
（2）在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再根据圆周长公式求解即可；
（3）如图所示，在上截取，连接，同理可证明，则点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案．
【详解】问题解决：证明：在线段上截取，连接、．
当点P在直线外时，
由平移的性质可得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，
∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为；
拓展提升：如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，
∵，
∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为，
∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，
同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
题型四：定角定高构造辅助圆
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，的最小值为；问题解决：存在，144
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大．
【详解】解：（1）当时，面积的最大，
则面积的最大值是，故答案为：24；
（2）如图中，连接，，，作于．设，

∵，，，
∴，，∴，．
∵，∴，∴，∴的最小值为1，∵，∴的最小值为；
（3）如图中，连接，，延长交的延长线于，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
将顺时针旋转得到，作的外接交于，连接，
∵，，，∴，∴，
∵，∵，，∴，∴，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，
∴，∴，∴，
∴四边形的面积的最大值．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
【典例4-2】（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)存在，144
【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可．
（2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题．
（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大．
【详解】（1）解：如图①中，即为所求．
（2）存在，理由如下，
如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．
，，，
，，
，，
，
，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
（3）存在，理由如下，
如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，
设，则，
，
，
，
四边形的面积的最大值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【答案】
【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4．
【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，
∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，
∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键．
【变式4-2】（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图，，边、上分别有两个动点C、D，连接，以为直角边作等腰，且，当长保持不变且等于时，则长的最大值为 cm．
【答案】
【分析】利用直角三角形性质求解即可．
【详解】解：在右侧以为斜边作等腰，则O、C、D在以点F为圆心，为半径的圆上，
∵，是等腰直角三角形，
∴，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式4-3】（2020·陕西·陕西师大附中校考二模）问题探究，(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；
问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 结论：∠APB＞∠ADB ，理由见解析；(2) 当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；(3) 当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，理由见解析
【分析】（1）作PH⊥AB于H，通过正方形和矩形的性质可得∠APB＝90°，再根据∠ADB＜90°，即可证明∠APB＞∠ADB；（2）假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，根据∠AFB是△EFB的外角，可得∠AFB＞∠AEB，再根据∠AFB＝∠APB，从而可得∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大；（3）作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，根据等边三角形的性质可得AH＝HB＝100 (m)，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AT＝200m，故AT＝2AH，可得∠ATH＝30°，即∠ATB＝2∠ATH＝60°，根据圆周角定理可得∠APB＝∠ATB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出OQ和PQ的长度，再根据OP＝OQ﹣PQ求解OP的长度即可．
【详解】解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB．
理由：作PH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB，∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°，∴四边形ADPH是矩形，
∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC，∴DA＝DP，∴四边形ADPH是正方形，
∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°，∴∠APB＝90°，∵∠ADB＜90°，∴∠APB＞∠ADB．
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，

在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大．
（3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，
作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，
∵TA＝TB，TH⊥AB，∴AH＝HB＝100 (m)，
∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100)(m)，
∴QH＝OH＝(400+300)(m)，∠OQH＝30°，∴TQ＝2PT＝2r，
∵TH＝＝，∴2r+＝400+300，
整理得：3r2﹣(1600+1200)r+60000+240000＝0，
∴(r﹣200)(r﹣1000﹣1200)＝0，∴r＝200或1000+1200(舍弃)，
∴AT＝200m，∴AT＝2AH，∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，∴∠APB＝∠ATB＝30°，
∴，
∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝(200+200)(m)．
利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型
类型
一点作圆
三点定圆
旋转作圆
折叠作圆
图示
特点
平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定
0A=0B=0C
△ABC绕点A旋转得到△AB'C'
将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G
作法
结论
点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动
点A,B,C均在上
点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆
点G的运动轨迹是以点
E为圆心,BE 长为半径
的一段圆弧
证明过程缺失
定弦定角构造辅助圆的几种常见类型
类型
定角为直角
定角为锐角
定角为钝角
图示
特点
在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90°
在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角)
在△ABC中,已知AB的长,点C
为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角)
动点运动轨迹
结论
点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动
点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧)
点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧)
主从联动构造辅助圆的几种常见类型
类型
位似型
旋转型
图示
条件
线段AP中,点P为0上的动点，点A为定点,点Q为AP的中点
点A为定点,点P为主动点,点Q为从动点,且∠PAQ 为定值(AP:AQ=k)
结论
1.点P,Q的运动轨迹都是圆,且两结论 圆的半径之比为2:1;
2.△APO∽△AOM,相似比为 2:1
1.点P,Q的运动轨迹都是圆;
2.若AP=A0,即k=1时,则△AOP≌△AMQ,两圆半径相等;若AP≠AQ,则△AOP∽△AMQ,两圆半径之比为k
证明过程缺失
证明过程缺失
证明过程缺失
定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:
图示
在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值
作法
作△ABC的外接圆
结论
当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小