阶段检测验收卷 函数（综合训练）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键．
设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答．
【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意；
B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意；
C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意；
D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意．
故选：B．
2．已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的定义
【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论．
【详解】解：设经过原点的直线解析式为，
代入，得，解得，
∴直线解析式为，
当时，；
当时，；
∵
∴，
故选：B．
3．对于一次函数，下列判断错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第二、三、四象限B．该函数的图象中随的增大而减小
C．自变量的值每增加1，函数的值减小2D．该函数的图象与轴交于点
【答案】D
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断．
【详解】解：函数中，，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确；
∵，∴ y随x增大而减小，B正确；
∵，∴ x每增加1，y减小2，C正确；
设，则，解得，∴与x轴交点为， D错误．
故选：D．
4．函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断反比例函数图象所在象限、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象性质，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限，再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【详解】解：①当时，，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三象限；
②当时，，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限，
综合以上情况，符合题意的有C选项．
故选：C．
5．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（ ）．
A．B．C．6D．
【答案】B
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行线间距离解决问题
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键．
连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可．
【详解】解：如图，连接和，
∵轴，
∴和的边上的高相等，
∴，
由反比例函数的几何意义可得，，，
∴，解得，，
∵反比例函数的图像在第二象限，
∴，
∴．
故选：B．
6．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线
C．当时，的取值范围是
D．时，随增大而增大
【答案】C
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的性质（开口方向、对称轴、增减性、最值），结合函数解析式分析其在特定区间内的取值范围与变化规律是解题的关键．
根据二次函数解析式中，得出开口向上，即可判断A；由函数顶点式可知，对称轴为直线，即可判断B；由函数顶点式可知，抛物线顶点为，故当时取最小值，再计算，时的函数值，从而确定的取值范围，即可判断C；由抛物线对称轴为，开口向上得出当时，函数在对称轴右侧，随增大而增大，即可判断D．
【详解】A、∵函数中，，
∴ 开口向上，
∴A正确，不符合题意；
B、由函数顶点式可知，其对称轴为直线，故B正确，不符合题意；
C、由函数顶点式可知，抛物线顶点为，
当时，；
当时，；
当时，，
∴当时，的取值范围为，
∴C错误，符合题意；
D、∵函数对称轴为直线，且开口向上，
∴在对称轴右侧即时，随的增大而增大，
∴当时，函数在对称轴右侧，随增大而增大，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
7．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）
A．先增大后减小，最大面积为32B．先减小后增大，最小面积为24
C．始终不变，面积为32D．始终不变，面积为24
【答案】C
【知识点】面积问题(二次函数综合)、全等的性质和SAS综合（SAS）、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】解：令，则或6，
即点A、B的坐标分别为：、，
∴，
设点P的横坐标为：m，
分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
则与的面积之和，
即与的面积之和始终不变，面积为32．
故选：C．
8．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．
【详解】解：由抛物线开口向下，可得；
由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；
由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；
综上可得，故①错误；
二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，
二次函数图象与轴另一个交点为，
则当时，，故②正确；
由可得，则，
又抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线有最大值，为，
则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；
由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，
关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，
当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；
综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟知一次函数图像与轴的交点的性质是解答本题的关键．
求一次函数图象与轴的交点坐标，需令纵坐标，解方程求横坐标即可．
【详解】解：令，代入函数解析式，
得，
解得，
∴图象与轴交点坐标为．
故答案为：．
10．写出一个图像经过点的一次函数的表达式，且随的增大而增大： ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质．
根据一次函数的性质，当斜率时，随的增大而增大，再代入给定点坐标求截距即可．
【详解】解：设一次函数的表达式为（），将点代入得，
即，
取，则，
故函数表达式为，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）．
11．在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表：
加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 ．
【答案】230
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据表格数据，油温随时间均匀变化，建立一次函数关系式，代入时间求温度．
【详解】解：由表格数据可知，时间每增加20秒，油温升高，故每秒油温升高，
∴y与x成一次函数关系，
设y与x的函数关系式为，代入点和，得
，
解得，
∴．
当时，，
故答案为：230．
12．如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题．
直接根据函数图象作答即可．
【详解】解：由函数图象可知，当时，．
故答案为：．
13．若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
由反比例函数的性质，结合点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而求解
【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，且，，
∴该反比例函数在时，y随x的增大而减小，
根据反比例函数的性质，比例系数，
解得，
故答案为
14．将抛物线向右平移 个单位长度后经过点．
【答案】1
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移
【分析】本题考查了抛物线的平移规律及点在抛物线上的性质，设向右平移a个单位，根据二次函数平移规律，得到新抛物线解析式，代入点建立方程求解a的值，并舍去不符合题意的解．
【详解】解：抛物线向右平移a个单位后，解析式为．
将点代入，得，即．
整理得，
解得或，即或．
由于题目要求向右平移，a的值应为正数，故舍去．
故答案为：1．
15．若二次函数的最小值是3，则 ．
【答案】4
【知识点】y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的性质．通过二次函数顶点公式求最小值表达式，根据最小值为3列方程求解，并考虑二次项系数正负性确定有效解．
【详解】解：因为二次函数的最小值是3，该二次函数的最小值为，故
解得或，
又二次函数有最小值，所以，所以．
故答案为：．
16．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ．
【答案】
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
∵，，
∴点，
设，
∴，
∴，
∵上口宽，
∴的横坐标为，
∴当时，，
∴整个冷却塔高度为，
故答案为：．
17．在平面直角坐标系中，记反比例函数的图象为，将沿轴翻折得到（如图所示）．若点在上，将线段绕点顺时针方向旋转后，点恰好落在上点的位置，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、坐标系中的对称
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合题，此题涉及到了翻折变换、坐标与图象变化一旋转、反比例函数的性质，解答本题的关键是表示出B的坐标．
作轴于，作轴，交延长线于，通过证得，表示出的坐标，然后根据得到关于的方程解方程求得的值，即可得到的坐标，进而即可求得的值．
【详解】解：作轴于，作轴，交延长线于，如图，
因为点在上，
所以，
根据题意的函数关系式为，，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以，，
所以，
所以点在上，点在上，
所以，
所以， 整理得：，
解得，，
因为，
所以，
所以，
故答案为：．
18．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．已知，，则 （用含有的代数式表示）；当矩形面积最大时， ．
【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的应用，先证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，代入数据求出与的关系，再利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
矩形的面积，
当时，矩形的面积有最大值，最大值为，
∴；
故答案为：；．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）已知一次函数的图象经过点，求：
(1)这个函数的表达式；
(2)判断点是否在这个函数图象上？
(3)图象上两点，，如果，比较，的大小，_____（填“”，“”，或“”）
【答案】(1)
(2)
点不在函数图象上
(3)
【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数值的计算，函数图象的增减性是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）代入计算函数值，再进行比较即可求解；
（3）根据一次函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：当时，，
∴不在这个函数图象上；
（3）解：∵，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，
∵，
∴．
20．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数关系式；
(2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为；
(2)点的坐标为或
【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查的知识点是反比例与几何综合，待定系数法求函数解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出对应的函数解析式．
（1）把点坐标代入反比例函数解析式中可求出的值，把点和点代入一次函数解析式中可求出和的值即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据求出点的纵坐标即可得解．
【详解】（1）解：把点代入得，
反比例函数解析式为，
把点，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：对于，当时，，
，
，
，
，
，
，
，
为反比例函数图象上一点，
点的坐标为或．
21．（本题8分）《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，．
(1)①求火焰的像高关于物距的函数表达式；
②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象；
(2)若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________．
【答案】(1)①；②见详解
(2)
【知识点】判断（画）反比例函数图象、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式；
②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象；
（2）把当代入，然后结合图象即可解答．
【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
关于的函数表达式为：；
②由①列表如下：
描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示：
（2）解：当时，，
解得：，
，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当时，．
故答案为4.8．
22．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，解得：，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）把代入得．
，
设，则，
，
化简得：，
解得：，．
∴点的坐标为：或．
23．（本题8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，三点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象的开口方向和对称轴；
(3)若，，是该二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是________．（用“”连接）
【答案】(1)
(2)开口向上，对称轴是直线
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．也考查了二次函数的性质．
（1）用待定系数法求出二次函数关系式，再求解即可；
（2）先化为顶点式，根据二次函数解析式可知抛物线的开口方向、对称轴；
（3）将，，分别代入二次函数关系式，求出函数值，再比较大小即可．
【详解】（1）解：把代入可得：．
把分别代入得
．解得．
所以二次函数的解析式为；
（2）解：，
因为二次项系数，
所以二次函数图象的开口方向向上，
由顶点式可知其对称轴为直线；
（3）解：已知，，是该二次函数图象上的三个点．
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
因为，所以．
故答案为：．
24．（本题8分）为建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克，若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克元，日销量为千克．
(1)求与之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围）
(2)当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ()
(2)当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用．
（1）根据销售价与日销量的线性关系求函数表达式，并考虑日销量非负和成本价确定自变量取值范围．
（2）先建立销售利润与销售价的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大值．
【详解】（1）解：根据题意，当销售价为26元时，日销量为32千克，销售价每增加1元，日销量减少2千克
∴ ，
日销量，即，解得．
又（成本价），
∴ 与的函数关系式为 ()．
（2）每天的销售利润．
代入，得．
∵ ，
∴ 有最大值．
当时，最大，
最大利润．
∴ 当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元．
25．（本题10分）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点．
(1)如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点．
①求的面积；
②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
(2)如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标．
【答案】(1)①；②，
(2)，
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）①先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可．
②设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可．
（2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可．
【详解】（1）解：①由题可知：与轴相交于点，，
，
解之得：，，
即，，
当时，，
，
．
②设抛物线上的点的坐标为，
，
，
，
即，
，
，
，
，，
∴，
（2）解：化为顶点式
向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线
即，
∴抛物线的对称轴为与轴交于S，
如图，作对称轴于，作轴于点，
，
∵四边形是矩形．
，，
，
，同理：，
，，
，
，，
，
设，，
，则，，
，作于点，，，
在中，，即，
∴，
∴，
又∵，
解之得或，
∴，．
时间（秒）
…
20
40
60
…
油温
…
50
90
130
…
…..
3
4
8
…..
…..
8
6
3
…...