专题04“一线三角”模型解决全等与相似等几何问题-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版 ）

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（2018•丹东中考真题）如图为等边三角形，以为边在外作正方形，延长分别交、的延长线于点，，于点，于点，连接．
（1）判断和是否全等，并说明理由；
（2）求证：；
（3）已知，若点是直线上的动点，请直接写出周长的最小值．
一线三等角
如图1，∠ACB=∠D=∠E=90°且∠CAB=45°→△ACD≌△CBE，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等
如图2，∠ACB=∠D=∠E=90°→△ACD≌△CBE，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似。
如图3，∠ACB=∠D=∠E→△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”相似
【专题说明】
一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】
过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）
常见的两种图形：

图1 图2
基本策略：联想构造
构造路线
方式一：构造“一线三等角”
1.45°角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等
2.30°角→构直角三角形→造“一线三直角”相似
3.Tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似
“一线三等角”的应用分为三重境界：
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题。例：“同侧型一线三等角”（图1）；“异侧型一线三等角”（图2）
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题（图3）
三重境：当一条直线只有一个角时需要再补上两个等角，构造模型解题（图4）
方式二：构造“母子型相似”
“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或者竖直辅助线，构成“（水平或竖直）边对角”结构，然后在这条直线上补一个与此相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图：
△DAC∽△DEA→DA²=DC·DE→DG²+AG²=DC·DE
方式三：整体旋转法（*）
前两种构造属于静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法。其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上的点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”
如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是
A．B．C．D．
（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在轴上，点在轴上，若点坐标为，则点坐标为
A．B．C．D．
（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在中，，，，，则的坐标是
A．，B．，C．，D．
（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形中，，，点在直线上，过作于，过作于．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（2021秋•兰陵县期末）如图，，，，，，，则等于
A．B．C．D．
（2020秋•襄汾县期末）如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接、、，与交于点，与交于点，与交于点，则下列结论中：①；②；③；④，以上结论正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021秋•武昌区校级月考）如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，则的面积为
A．B．C．D．
（2020•南关区校级四模）如图，在中，为钝角，边绕点沿逆时针方向旋转得到，边绕点沿顺时针方向旋转得到，作于点，于点，若，，则 ．
（2021秋•兴城市期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且知．
有下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．
其中，正确的结论有 ．（填序号）
（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为 ．
（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于．则长方形的面积为 ．
（2021秋•蜀山区期末）如图，在中，点、分别为边、上的点，且，，，则 度．
（2020秋•栾城区期中）如图，在中，，．于点，于点，若，，则的长是 ．
（2020秋•海港区期中）如图，在中，，，于点，于点，若，，则的长是 ．
（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．
在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（2022•全椒县一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；．
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离．
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
（2022•信阳一模）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．
（2019•玉州区二模）已知：如图，正方形中，是边上一点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）连接，如果，求证：．
（2018•泸州模拟）如图，在中，，，直线经过点，于，于，求证：．
（2017•大连模拟）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（2021秋•东至县期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
（2021秋•南丹县期末）如图1，，于点，是线段上的点，，．
（1）判断与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点在线段的延长线上，过点在的另一侧作，并截取，连接，，，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点按顺时针方向旋转，当时， 度；
（2）在三角尺绕着点按顺时针方向旋转过程中，分别作于，与，若，，求．
（3）三角尺绕着点按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由．
（2021秋•十堰期末）已知：在平面直角坐标系中，为轴负半轴上的点，为轴负半轴上的点．
（1）如图1，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰，若，，求点的坐标；
（2）如图2，若点的坐标为，，点的坐标为，点的纵坐标为，以为顶点，为腰作等腰．当点沿轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，若，于点，以为边作等边，连接交于点，若，，请直接写出线段的长．
（2021秋•长安区校级期末）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且．
（1）若，，则 ；
（2）过点作，垂足为．
①填空：△ ；
②求证：；
（3）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并简要说明理由．
（2021秋•江汉区期末）如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．
（1）如图1，若点在边上，求证：；
（2）如图2，连．若，求证：；
（3）如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．
（2021秋•海淀区期末）如图，在中，，点，在边上，．求证：．
（2021秋•佳木斯期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，
求证：①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．
（2021秋•赫山区期末）如图在中，，，直线经过点，且于点，于点，求证：
（1）；
（2）．
（2021秋•凉山州期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，
求证：①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
（2021春•丹阳市期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
【深入探究】
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有 （填“、、” ；
（4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ；
（5）如图5，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是 ．
（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：；
问题2：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．
求的值．
（2020秋•天元区期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：．
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（2021秋•上蔡县期中）（1）探究证明：
在中，，，直线经过点，且于点，于点，当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：；
（2）发现探究：
当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，如果不成立，、、应满足的关系是 ．
（3）解决问题：
当直线绕点旋转到图3的位置时，若，，请直接写出的长为 ．
（2019春•南岗区校级月考）已知：如图1，在中，，直线过点，连接、，且，．
（1）求证：；
（2）如图2，若点为边的中点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若过点作的垂线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，若，，求的长．
（2016春•惠山区期末）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，点是线段延长线上一点，是线段上一动点（不包括点、，作，垂足为，且．设，请你利用基本活动经验直接写出点的坐标 （用含的代数式表示）；
（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且”，加上“交的平分线与点”，如图2，求证：．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．
（3）如图3，请你继续探索：连接交于点，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，请你指出正确的结论，并给出证明．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，6）点A在第二象限．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，则k的值是（ ）
﹣9B．﹣8C．﹣7D．﹣6
如图，在平面直角坐标系中，点A（m，6）、B（3，n）均在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若△AOB的面积为8，则k的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
如图，过x正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象交于A点和B点，连接OA、OB，则△OAB的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
如图，点A，B分别在函数y＝（k1＞0）与函数y＝（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在x轴上，△AOB的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
如图所示，点B的坐标为（0，4），点A是x正半轴上一点，点C在第一象限内，BC⊥AB于点B，∠OAB＝∠BAC，当AC＝10时，则过点C的反比例函数y＝的比例系数k值为（ ）
A．32 或 16B．48 或 64C．16 或 64D．32 或 80
如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，顶点B在函数为y2＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣
如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，△AOB的两边分别与函数y＝﹣，y＝的图象交于B、A两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
如图，OA＝AB，∠OAB＝90°，双曲线y＝经过点A，双曲线y＝﹣经过点B，已知点A的纵坐标为﹣2，则点B的坐标为（ ）
A．（+3，﹣1）B．（4，1）C．（2+，﹣1）D．（2，﹣1）
如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB＝90°，AO＝2BO，当点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上移动时，点B的坐标满足的函数解析式为（ ）
A．y＝﹣（x＜0）B．y＝﹣（x＜0）
C．y＝﹣（x＜0）D．y＝﹣（x＜0）
如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为 ．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝ ．
如图，△OAB的顶点A在双曲线y＝上，顶点B在双曲线y＝﹣上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为 ．
如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为 ．
如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为 ．
如图，在函数y1＝﹣（x＜0）和y2＝（x＞0）的图象上，分别有A，B两点，若直线AB∥x轴，交y轴于点C，OA⊥OB，且OB＝3OA，则k的值为 ．
如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，则k的值为 ．
如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为 ．
如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在反比例函数图象的函数表达式为 ．
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB＝45°，双曲线y＝过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则tan∠ABO的值是 ．
如图：双曲线经过点A（2，3），射线AB经过点B（0，2），将射线AB绕A按逆时针方向旋转45°，交双曲线于点C，则点C的坐标的为