专题07 相似模型中的旋转型相似（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案

这是一份专题07 相似模型中的旋转型相似（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案，共10页。学案主要包含了从特例开始，一般化探索，基本模型，模型演变，问题呈现，类比探究，拓展提升，操作与思考等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型1
\l "_Tc201321766" 提炼模型7
\l "_Tc201321768" 模型运用8
\l "_Tc18836" 17
1.（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
【答案】2
【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点，
∵，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的面积最大；
此时；
故答案为：2．
（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______；
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数；
【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析，45；（2）；（3）随点的运动，的度数不变，且为
【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数；
（2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解；
（3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可．
【详解】解：（1）如图，即为所求：
连接与格线的交点记为，
由网格可得，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴为格点，同理为格点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
故答案为：45；
（2）延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
同理可得四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下：
延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，
设正方形的边长为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∵在中，，
∴
，
∴（舍负），
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
【基本模型】
【模型演变】——等边三角形的旋转、等腰直角三角形的旋转、矩形的旋转、正方形的旋转
【典例１】（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H
∵中，，，点是中点，
∴，平分，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，即
∴，
∴
∵，
∴
∴
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴．
故选：C．
【典例２】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示：
∵的高，相交于点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的外接圆半径为．
故答案为：．
【典例３】（2025·河北·模拟预测）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键．先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可．
【详解】解：连接，如下图，

∵四边形是矩形，且旋转至矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【典例４】（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键．
由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可．
【详解】连接，过作交的延长线于，
根据题意，，
，
，
，即，解得，
和，M，N分别是的中点，
，
,
，
，
,
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【典例５】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
【答案】(1)①证明见解析
②为定值，该定值为
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可；
②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可；
（2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示：
则
四边形是正方形
四边形是矩形
在中，
四边形是正方形
，
；
②过点P作、，如图所示：
由①可知四边形是正方形
、
故 为定值，该定值为；
（2）解：过点P作、，连接，如图所示：
四边形是正方形
射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F
、
同理可得
是等腰直角三角形
在中，
由勾股定理得
．
答：四边形的面积为．
1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究：
(1)线段与是否相等？请说明理由．
(2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？
(3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析；当时，有最大值
(3)点运动到的中点
【分析】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）先证明，即可用证明即可得出结论；
（2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值；
（3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，．
【详解】（1）解：，
理由：
∵四边形，都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即 ，
∴ ，
∴ 当时，有最大值为；
（3）解：当E点是的中点时，．
理由如下：
∵ E是中点，
∴ ，
∴ ．
又∵，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵，
∴．
2．（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）①∵，，
∴设，则，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②设，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）【操作与思考】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明；
【尝试与应用】
（2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证；
【拓展与创新】
（3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1），由旋转性质可知，再证明，可得，由此证明结论；
（2）延长到G，使得，连接，证明，得到，，，．过点F作，交的延长线于点N，得到，．
证明，结合正切函数证明即可解题．
（3）模仿（2），延长到G，使得，连接，过点F作，交的延长线于点N，构造，再证明，可得，再延长交于点K，结合，证明，列出比例式计算即可．
【详解】（1）∵绕点A顺时针旋转得到，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（2）①延长到G，使得，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
过点F作，交的延长线于点N，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）延长到G，使得，连接
∴，
∵矩形ABCD中，，，，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，．
过点F作，交的延长线于点N，
∴，．
∵，
∴．，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
延长交于点K，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
整理，得，
解方程，得（不合题意舍去），
综上所述，的长为．
4．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接．
(1)观察、猜想
观察图1，猜想 ，
(2)探究、说理
把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由
(3)拓展、思考
在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围
【答案】(1)，90
(2)（1）中的结论还成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可；
（2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可；
（3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵点F、G、H分别是的中点，
∴分别为的中位线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴,
故答案为：，90；
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
证明：如图2，
在中，，
∴，
在中，∴，
∴
又，
∴
∴
∴
∵是的中位线，
∴．
同理可得，
∴
∵是的中位线，
∴，
∴
∵，
由于，有，
由得：
∴；
（3）解：由题意可知，，
∴，即
∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14，
∵是的中位线，，
∴，
故答案为：．
5．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____．
（2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数．
（3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论；
（2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解；
（3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：∵正方形 ，
∴，，
∵把旋转到的位置，如图2，
∴，，，，
∴，
，即、、在同一直线上，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2） 四边形是正方形，
，，
，，
，
，即
，
，
，
是等腰直角三角形．
；
（3）证明：如图4，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴．
6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．
(1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）；
②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)若，，请直接写出的长．
【答案】(1)1；
(2)①；②；
(3)或
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可；
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可；
（3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】（1）解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
（2），
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
．
（3）由（2）有，，
又∵，，
，
∴，，
，
，
如图4图5图6，连接．
如图4，当E在线段上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．
7．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）；；（2）①见解析；②
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点．
（1）证明，根据相似三角形的性质可得，；
（2）同理（1）可得可求，，由此求出；
（3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解．
【详解】解：（1）；；
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）①如图②，过点作，垂足为，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（1）可得：；；
设，，
则，，，
∴，
∴，
②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为，
同理可得：，；；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
当在内时，如图③-2，
同理可求：，，
∴
综上所述：长为
8．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：数量关系：，位置关系：．
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
（3）解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解．
9．（2025·江苏扬州·三模）在中，，点D为斜边上的动点（不与点A，B重合）．
(1)操作发现：如图①，当时，把线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．
①的度数为______；
②和有什么数量关系，请写出你的探究过程；
(2)探究证明：如图2，当时，把线段绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段．
①在点D的运动过程中，请判断与有什么数量关系？并证明；
②若，在点D的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．
【答案】(1)①；②
(2)①；②或或4
【分析】（1）①②证明，即可求解；
（2）①证明，即可求解；②根据，可得当是等腰三角形时，也是等腰三角形，且，然后分三种情况讨论：，，，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴∠CAD=∠ABC，
∵，
∴∠CAD=∠ABC=45°，
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②，理由如下：
∵线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①．理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，
∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形，且，
如图，过点C作于点P，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，此时，
∴，
∴；
若，
，
∴；
若，
如图，若，设，则，
∵，
∴，
解得：
即，
∴，
∴．
综上所述，当的形状为等腰三角形时，的面积为或或4．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握图形的旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
10．（2025·江苏南通·三模） 是的内接三角形，点是上一点，且点与点在的两侧，连接，，．
(1)在图1中，是等边三角形的外接圆，点P是上任一点，连接，如果把绕点A逆时针旋转，得到，易证点P，C，D三点共线，且是等边三角形．所以，，这三条线段的数量关系是________；（只填结果）
(2)类比探究如图，把中的改为等腰直角三角形，，其他条件不变，三条线段，，还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)知识应用如图3，在四边形中，，，，，求的长．
(4)迁移拓展如图，把（1）中改为任意三角形，，，时，其他条件不变，求证
【答案】(1)
(2)没有，理由见详解；
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质得到，，然后由，等量代换可得答案；
（2）当为等腰直角三角形时，延长到点E，使得，连接，借助等腰直角三角形的性质及圆内接四边形的性质，证明，进而证明，也为等腰直角三角形，再推导出；
（3）如图3，过点A作，交的延长线于点F，首先利用证明，得到，，然后证明，得到，，求出，再利用三角函数即可求出．
（4）当改为任意三角形时，在中，以点A为顶点，为边，作，点F在上，借助圆周角定理的推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）证明和，再由相似三角形的性质可推导出和，由可推导，即得出结论；
【详解】（1）解：∵把绕点A逆时针旋转，得到，P，C，D三点共线，且是等边三角形，
∴，，
∴，即；
故答案为；
（2）若为等腰直角三角形，，三条线段，，没有（1）中的数量关系，理由如下：
如图，延长到点E，使得，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴三条线段，，没有（1）中的数量关系；
（3）如图，过点A作，交的延长线于点F，
∵在四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）证明：如图，在中，以点A为顶点，为边，作，点F在上，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
当，，时，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定和性质、全等三角形和相似三角形的性质，解直角三角形，等知识，综合性强，难度大，解题关键是通过延长线段或截取线段构造全等三角形或相似三角形．
11．（2025·江苏宿迁·三模）如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在中，由直角三角形的性质求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，连接，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
在中
，
，
故答案为：；
（2）解：在中，，
，
延长交于点，如图所示，
，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
由（1）知，
，
即；
（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，连接，
同（1）可得：，
，
，
，
在中，，
，
∴在以为圆心为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，
此时如图所示，则，
在中，
，
，
，
，
，
过点作交于F，
，
在中，，，
，
，
在中，
．
12．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______．
类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键．
（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值；
②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得．
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，．
（2），，证明如下：
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
（3）①当时，，
∴，，
∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形．
如图，过点作于点，则，

当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32．
②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，
由上已证：，即，
∴点在上，
由圆周角定理得：，
过点作于点，过点作于点，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴直径，
∴正方形的面积，
由（3）①已得：，
∴，
解得或，均符合题意，
所以的长度为或．
13．（2025·江苏无锡·二模）将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试：
(1)如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明；
(2)如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程；
(3)如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据旋转可得，即可证明．
（2）根据旋转的性质得出，，，证出，过作交的延长线于点，得出，即可得， 等角对等边得，证出，即可得，即是的中点．
（3）过作交的延长线于点，连接，得出，根据是等边三角形，得出，，根据旋转可得，则是等边三角形，从而得，证明，得出，再证明，得出，设，求出，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
根据旋转可得，
∴，
∴．
（2）解：∵将绕点B旋转至，其中，
∴，，，
∴，，
∴，
过作交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∵，， ，
所以，
∴，
即是的中点．
（3）解：过作交的延长线于点，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
根据旋转可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
14．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．
(1)直接写出___________°，___________；
(2)当时，求的值；
(3)如图2，连接并延长交直线于点．
①求证：；
②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①见解析 ②
【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可；
（2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可；
（3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可；
②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可．
【详解】（1）解：过点E作于点K，
∵是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴ ，
根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：根据（1）中结论可得，
又∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
过点M作交于点L，
则，，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
②连接，，
∵，，
∴，
又∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点Q在与线段夹角为的射线上，
∴过点D作于点，
当点Q在时，最小，
这时．
15．（2025·江苏淮安·一模）已知矩形，将矩形绕点A旋转．
(1)如图1，当点E落在上时，作于点H，且，
①若，，求的长；
②连接，判断四边形的形状是______．
(2)如图2，当点E落在上时，
①若，，求的值；
②若，，连接交于点Q，直接写出的值为______．
(3)如图3，点B在上，交于点M，若，求的值．
【答案】(1)①1；②平行四边形；
(2)①4；②；
(3)．
【分析】（1）①由矩形性质结合勾股定理先求出，再证明，求得，从而；
②由≌结论，证明，可得，再证明，可判定，从而判断四边形的形状；
（2）①作于H，先证明，可得，又，可得，故再证明，可得；
②与①同理可证得，可得，即，故，从而，故由平行再证，则可得；
（3）连接DE，先证明，得到，易得，得，可设，，利用三角函数关系可得，从而可求，从而求得．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解直角三角形，掌握以上知识点并运用类比的数学思想解题是关键．
【详解】（1）四边形是矩形，，，
，
在和中，
，
，
②平行四边形．理由如下：
如图1所示，
由，可得，，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
（2）①作于H，如图2所示，
，
，
又，
，
，
又，
，
∴
，
，
，
即的值为
②与①同理可证得，可得，
，
，
故，
同①，，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：
（3）连接，如图3所示，
，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
，
，
，
，
又∵，
，
，
∴，
∴，
∴，
即的值为
16．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)25
【分析】（1）过作于过点C作的延长线于，根据旋转的性质得到再证明，可得，最后利用三角形面积公式即可得到结论；
（2）延长至， 使得， 连接，连接，证明，可得，从而得出四点共圆，根据圆周角定理可得，最后再利用直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质证明即可得到结论；
（3）过点C作延长线于，先求得，再由勾股定理得，最后再求解即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质可得
过作于过点C作的延长线于，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（2）证明：延长至， 使得， 连接，
为中点
为的中位线
由旋转的性质可得，
，，
，
，
四点共圆，
，
，
连接，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
又，
P，Q，R三点共线；
（3）解：过点C作延长线于，
由旋转的性质可得，
由（1）得，由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
则S的最大值为25．
故答案为：25．图示
推理
条件：若DE//AB，旋转△ADE
结论：△ABD∽△ACE
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴=．
∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
条件：若△ADC、△CEM均为等边三角形
结论：△ACE≌△DCB
条件：若△ABC、△EDC均为等腰直角三角形
结论：△ACE∽△BCD
条件：将矩形ABCD绕点A逆势针旋转
结论：△ABB＇∽△ADD＇
条件：若四ABCD、四EBGF均为正方形
结论：△ABE≌△CBG