专题05 相似中的A字和8字模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案

这是一份专题05 相似中的A字和8字模型（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列+答案，共10页。学案主要包含了基本模型，模型演变，模型拓展，阅读理解，实践操作，探索发现，数学眼光，数学思维等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型1
\l "_Tc201321766" 提炼模型2
\l "_Tc201321768" 模型运用3
\l "_Tc18836" 5
1.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
2.（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知，在你所作的中，若，求的长．
【基本模型】——正“A”字型、正“8”字型
正“A”字型是由一条平行于三角形一边的直线与另两条边相交，形成一个形似大写“A”字的图形，正“8”字型是由条平行于三角形一边的直线与另两边的延长线相交，形成一个形似“8”字的图形.
【模型演变】——反“A”字型、反“8”字型
反“A”字型、反“8”字型是有公共角（或对顶角）无平行的相似。
【模型拓展】——双“A”字型和四点共圆（双“8”字型）
【典例１】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ）
A．B．C．D．
【典例２】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例３】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，，交于点，，分别在，上，连接，．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例４】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ．
【典例５】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)设的角平分线交于点．
①当时，求点到的距离；
②若，作直线分别交于两点，求的值．
1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ．
2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于 ．
5．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ．
6．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是 ．
7．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ．
8.（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．D．
9.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（ ）
B．C．D．
10．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
B．C．D．
11．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
12．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
13．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求与的面积比．
15．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G．
(1)求正方形的边长；
(2)求的长．
16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？
【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条．
【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：；
【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由．
17．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径和的长．
18．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
19．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点．
(1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）
(2)求证：．
(3)若，直接写出的值（用含的式子表示）．
21．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
22．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，点在上，连接，且．求证：．
23．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点O．M为中点，连接交于点N，且．
(1)求的长；
(2)若的面积为4，求四边形的面积．
24．（25-26九年级上·江苏南通·期末）“8字型”是相似三角形中常见的几何模型，灵活运用可帮助我们解决问题．
(1)如图1，是的角平分线，延长至点D使得，求证：；
(2)如图2，边长为4的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点G，交于点H；
①求的长；
②求的长．
条件
点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC
AC与BD相交于点O，AB∥CD
图示
结论
△ADE∽△ABC，==
△OAB∽△OCD，==
条件
∠1=∠2
AC与BD相交于点O
图示
结论
△ADE∽△ACB，==
△OAB∽△ODC，==
条件
EF//BC
AC与BD相交于点O
图示
结论
若EG=FG，则必有BD=DC
△OAB∽△ODC，==
△OAD∽△OBC，