专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc12198" PAGEREF _Tc12198 \h 1
\l "_Tc23949" 模型1.“A”字模型 PAGEREF _Tc23949 \h 1
\l "_Tc15841" 模型2.“X”字模型（“8”字模型） PAGEREF _Tc15841 \h 6
\l "_Tc21756" 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） PAGEREF _Tc21756 \h 10
\l "_Tc17618" PAGEREF _Tc17618 \h 16
【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型

图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】点，为边的三等分点，，
，，，，
点，为边的三等分点，，点，为边的三等分点，，
，，，．故答案为：
例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵四边形是正方形，，，
，，， ，，，
解得：，正方形的面积为故答案为：
例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题．先由正方形的性质得到，，则，，即可推出，即，从而求出，同理可证，得到，即，推出，即可得到规律可推出第n个正方形的边长，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∴，即，∴，∴，
同理可证，
∴，即，∴，同理可求得，
∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：．
例4．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果．
【详解】解：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，∴，即，∴
∴，∵，，∴，∴，
又∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∴∴，∴，∴；∵，∴．故选：B．
例5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)．
【分析】（）由垂直的定义得到，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解；
（）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出长，最后代入，解方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键．
【详解】（1），理由如下，
∵ ，，∴ ，
∵ ，，∴ ；
（2）由（）得，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）∵，，∴，∴，∴，由（）得，
∵，∴，∵，∴，∴．
模型2.“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型

图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，，
∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴，
∴，即，故答案为：．
例2.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1)证明△OAB∽△ODC，可得出结论；(2) 证得AB//CD，可得，则可得结果 .
【详解】证明：（1）．，
．
（2）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】此题考查菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：菱形的边长为6，，
，，，，
，，在中，，
，，，
，，在中，，
，，，，
，，，，
．故答案为：．
例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积；
(2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积

【答案】(1)(2)是定值；是定值；详见解析(3)①；②
【分析】（1）连接，可证，可推出，即可求解；（2）由（1）中结论即可求解；（3）①证即可求解；②根据求出即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 由题意可知：为的中位线∴∴

∴ 由题意得：∴∴
，；
（2）解：由（1）同理可得，是定值；∵∴
故点到的距离和点到的距离之比也为 的底相等 故，是定值；
（3）解：四边形ABCD是正方形，，，，，
为CD的中点，，，，，即；
，且，，，，
，，正方形ABCD的面积为：．
【点睛】本题以三角形重心为背景，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键．
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型

图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。
∴。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。
两式相加得到：，即，故。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。
证明:同②中的证法，易证：，，
∴，即AF=AG，故。
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
【详解】解：、，，∴，，，
∴，，∴，，∴，
，∴，点是的中点，，，，
∴，，∴，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．
例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．
例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像．
【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．
已知，，当时，求证：．
证明：∵，，∴
又∵，∴，
∴，即，同理可得，
∴，即 ① ，∴ ② ，
∴，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象．
【答案】(1)①②(2)20(3)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案；
（2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可；
（3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象．
【详解】（1）证明：∵，，∴
又∵，∴，∴，即，
同理可得，∴，即，∴，
∴，∴，即．故答案为：①；②；
（2）由（1）可知，，，
当，，时，可得，解得，
∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20；
（3）如下图，设与交于点，根据题意，，
∵，∴，
∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，
∴，即，由（1）可知，，∴，
∴，∴，即，∴，
∵，∴，
∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点．
1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，设，，则，，，证明，得出，证明，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴设，，则，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，，
∴，，∴，
∴，∴，即，故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形是平行四边形，点是AD的中点，连接，相交于点，过作AD的平行线交AB于点，若，则的值是（ ）
A．6B．5C．8D．4
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解，由四边形是平行四边形，得，在证明，，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵是AD的中点，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，，
∴，，∴，解得，故选：．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，∴，
∵∴，∴，
∴，∴，故B正确；
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，，故D错误；
∵，∴，故C正确，故选：D．
4．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明相似三角形是解题的关键．设正方形的边长,先证明四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，，，，
∵是的高，，∴四边形是矩形，，
，（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，，解得：，．故选：B．
5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，E线段上一点，且，过点C作，交的延长线于点D．若的面积为，则的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．由，得，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，，∴，
∴，即，解得，，∴的面积为，故选：C．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形中，是上的点，连接交对角线于点，若，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．1．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，先由矩形的性质得到，，再解直角三角形得到，，证明，即可得到．
【详解】解：设，四边形是矩形，，，
，∴，，，
，，，∴，，故选：．
7．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，
∵，∴，∴，即，∴，故选：B．
8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴
A. 若，即，又，
∴∴∴，故A选项正确，
B. 若，，，∴是的角平分线，∴
∵∴∴∴∴四边形是菱形，∴
在中，∴∴
又∵∴∴，故B选项正确，
C. ∵，∴∵，∴
∴∴∴四边形是菱形，∴，
又∵∴，∵，∴垂直平分，
∴∴，故C选项正确；
D. 若，则四边形是菱形，由，且时，可得垂直平分，
∵∴，故D选项不正确故选：D．
9．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（ ）
A．5B．7C．6D．8
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键．
证明，则，证明，则，是的中位线，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，，∴，
∴，∴，∴，，
又∵，∴，∴，
∴是的中位线，∴，故选：D．
10．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由，，，，则，，所以，，则，所以，则，，由，得，所以，则，可判断①符合题意；由得，因为不一定等于，所以与不一定相等，可判断②不符合题意；由，且，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，，，，
∴，，，
，，，，，，
，，，，故①符合题意；
由得，与不一定相等，不一定等于，
与不一定相等，故②不符合题意；
，且，，故③符合题意，故选：B．
11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，∴，
∵正方形，，∴，∴，由题意得，
∴，∴，即，解得，故选：B．
12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【详解】解：∵，∴设，，
∵沿翻折，得到，∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，又，∴，∴，
∵，，，∴，
∴，，则，∴是等腰直角三角形，
∴，则，∴，
在和中，，∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，∴，则，
解得，（舍去），即，故答案为：．
13．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．

【答案】/0.5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
【详解】解：，，，故答案为：．
14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：

∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴当最小时，最小，∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，∴，∴，即，解得．故答案为：．
15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ．
【答案】/0.25
【分析】证明，据相似三角形的性质用表示出，同理用表示出，计算即可．
【详解】解：，，，，
，，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．
【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．求证：①是的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；
【答案】（1）①见解析②（2）
【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可；
②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；（2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果．
【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：

四边形是正方形，，，
，，，
，，，，，
在和中，，，，是的中点；
②在中，，，是等腰直角三角形，，，
，，，
，，，即．
（2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：
过点作 交于点，如图2所示：
四边形是矩形，，，，
在和中，，，
，，，，
，，，
在和中，，，，，
设，则，在中，，
，，即，
，，，
，，．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．
17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且，连接，交于点，求证：．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取的中点，连接，再通过“全等三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点作，交的延长线于点，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在中，点是的中点，点，是的三等分点，，与分别交于点，，求的值．
【学以致用】（3）如图5，在中，，在射线上取点，使，连接，在上取点，射线，相交于点，当时，求的值．
【答案】（1）详见解析（2）（3）
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路．如图1，取的中点，连接．得出是的中位线，根据中位线性质定理得出，，根据平行线性质得出，，再结合，得出，证明，根据全等三角形的性质即可证明．
选择小亮同学的解题思路．如图2，过点作，交的延长线于点，根据平行线性质得出，，证明，根据相似三角形的性质得出．再结合，证出，根据，得出．证明，根据全等三角形的性质即可证明．（2）如图3，连接．根据点，是的三等分点，得出．由（1）可知，即可得出是的中位线，根据中位线的性质得出．再证是的中位线，根据中位线的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质即可得出．（3）如图4，过点作于点，过点作于点，过点作的延长线于点．根据等腰三角形的性质得出，．设，得出，即可得，证明，得出，设，则，再证明，根据相似三角形的性质得出，设，即可得出，再证明，即可得出，列方程即可得出，，．根据，即可得出．
【详解】（1）选择小鹏同学的解题思路．
证明：如图1，取的中点，连接．∵点是的中点，∴是的中位线，
∴，，∴，．
∵，∴，∴，∴，∴．

选择小亮同学的解题思路．
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，
∴，，∴，∴．
∵，∴，∴．∵点是的中点，∴，∴．
又∵，∴，∴．
（2）解：如图3，连接．∵点，是的三等分点，∴．
由（1）可知，∴是的中位线，∴．
∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴，，
∴，，，∴，∴．
（3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作的延长线于点．∵，，∴，．
设，∵，∴，∴．
∵，，∴．
又∵，∴，∴．
设，则．∵，∴．
又∵，∴，∴．
设，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴，∴，∴，．
∵，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，利用题干中的方法构造“A”型图或“8”字形图解答是解题的关键．
18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出，即可．（3）①证明，推出，由此即可解决问题．②设．证明，推出，因为，推出，判断出的取值范围，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图①中，折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，，，，
，．故答案为．
（2）如图②中，，，由题意垂直平分线段，
，，，，，
，，，，．
（3）①如图③中，由折叠的性质可知，，，
，，，，
，，，，，．
②如图③中，设．，，，，
，，，， ，
， ，，，．
当时，．综上所述，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．

(1)①千欧，千欧，计算 千欧；②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：；
(2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值；
(3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①；②见解析(2)(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键．（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答；
②过点作的平行线，交于点，证明为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答；
（2）过点作的平行线，交于点，得到与的关系，利用相似三角形的性质，即可解答；
（3）过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，得到求得的长，利用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧，故答案：
证明：②如图1，过点作的平行线，交于点，
，是的角平分线，，
，，为等边三角形，，
，，，
，即，可得，,故；

（2）解：如图2，过点作的平行线，交于点，
同上述原理可得，，，
可得，即，整理后可得，即，；
（3）解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，
同上述原理可得，，
，，可得，即，
整理后可得，即．
20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形是矩形，∴，
∵，分别是，的中点∴，即，∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，

∵是的中点，是的中点，∴，
又∵，∴，∵，∴
∴四边形是平行四边形，∴∴
又∵，是的中点，∴
∴∴，∴；
问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，
∵， ∴，设，则，
在中，，∵，由（2）∴，
又∵是的中点，∴垂直平分∴，，
在中，∴
设，则∴，
又∵∴∴
又∵∴∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．