专题06 图形变换（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

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01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc221119053" 考点一 图形变换综合常考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
\l "_Tc221119054" 考点二 图形变换综合压轴题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
考点一 图形变换综合常考题型

题型一 平移的性质
1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________．
2．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下．
若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________．
3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______．
4．（2025·江苏南京·模拟预测）已知点与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P．若N，P在函数的图象上，求点M的坐标．
题型二 轴对称问题
5．（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，，点在上，将沿翻折，点恰好落在上的点处，若，则的长为（ ）
A．B．3C．D．4
6．（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点．若点是的中点，，的面积为，则点，之间的距离为_______ ．
8．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接．
(1)当为等腰直角三角形时，求的大小．
(2)如图2，延长，交射线于点．
①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________．
题型三 中心对称
9．（2025·湖北·二模）如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形．
10．（2025·江苏南京·一模）（1）如图，在平面直角坐标系中，，，，线段与线段关于点成中心对称．画出点并写出点的坐标_________；点关于点对称点的坐标为_______．
（2）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足．
（3）如图，在中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图中作出符合题意的点F．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
11．（2025·江苏扬州·三模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点．
【概念理解】
（1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则 ．
（2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示）
【形成技能】
（3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行．直接写出点C的坐标．
【灵活运用】
（4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围．
12．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为
(1)直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示
(2)当时，若，
①当时，求的取值范围；
②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______．
(3)当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值．
题型四 旋转的性质
13．（2025·江苏无锡·一模）如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·江苏南通·三模）如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时，______，线段长的最小值为______．
16．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图
(1)如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，求证：．
(2)如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．判断，，三点的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，在矩形中，，．点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．
题型五 翻折问题
17．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是_____________．
18．（2025·江苏泰州·二模）如图，正方形的边长是4，点是边的中点，点是边上的一个动点，点在边上，且，将沿折叠，点落在点处，点为的中点，则线段长的最小值为______．
19．（2025·江苏泰州·二模）在正方形中，，E为边上一点，将沿翻折，点A落在点F处，连接并延长交射线于点G，连接．若和全等，则________．
20．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是边、上动点．将平行四边形沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、，若．
(1)求的长；
(2)求的值．
题型六 图形变换与全等三角形问题
21．（2025·江苏南京·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
(1)如图，已知四边形内接于，D是的中点．
①求证：四边形是等补四边形；
②过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．求证：．
(2)下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 ．
22．（2025·江苏南通·一模）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
(1)当点D在线段上时，如图，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图的证明过程：
探究问题：
(2)当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明；
拓展思考：
(3)在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______．
23．（2025·江苏扬州·二模）【阅读材料】

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
24．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究
学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形．
初步探究：
(1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
(2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值．
题型七 网格中作图
25．（2026·江苏南通·一模）图1～图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点．
(1)观察：如图1， ；
(2)探究：如图2，仅仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得；
小海说：作点关于的对称点，连接与交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由；
(3)应用：如图3，在上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使．
26．（2025·江苏泰州·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A，B均在格点上，以为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中作的平分线，交于点D；
(2)在图2中的半圆弧上确定点E，使得平分．
27．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的角平分线；
(2)在图2中过点作一条直线，使点A、到直线的距离相等；
(3)在图3中，在AC边上找一个点D，使得；
(4)在图4中作出AB边上的点D，使得．
28．（2025·江苏泰州·二模）（1）中，，，，
①如图1，，垂足为，求；
②如图2，点是斜边的中点，是的中点，求的面积；
（2）如图3是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，，，三点均为格点，仅用无刻度的直尺，在内确定一点，使得与的面积相等，且（保留作图痕迹，不写作法）
题型八 图形变换中的规律探究型问题
29．（2025·河南洛阳·三模）如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为（ ）

A．2×（）2020B．2×（）2021C．（）2020D．（）2021
30．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 ____________________．
31．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（ ）
①点坐标为；
②直线的表达式为；
③；
④点的横坐标为，其中说法正确的为（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．②③
32．（2025·江苏无锡·三模）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为_____ ．
知识1 轴对称图形与轴对称
特别提醒:折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分.
知识2 中心对称图形与中心对称
知识3 图形的平移
知识4 图形的旋转
1．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）．
A．该函数图象交轴于点
B．该函数图象关于点对称
C．该函数图象关于直线对称
D．该函数图象上任取两点，若，则
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）连结、，四边形面积为；
上述结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·江苏南通·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____
7．（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____．
8．（2026·江苏泰州·一模）明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合．
9．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________．
10．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______．
11．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________．
12．（2026·江苏无锡·一模）如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________．
13．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E．
(1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明；
(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
14．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接．
(1)当为等腰直角三角形时，求的大小．
(2)如图2，延长，交射线于点．
①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________．
15．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接．
(1)求该二次函数的表达式及点的坐标；
(2)连接，过点作轴于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值：
(3)连接，以、为邻边作平行四边形，直线交轴于点．
①当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标；
②在点从点到点运动过程中，直接写出点运动的路径长．
16．（2025·江苏泰州·三模）在中，，，，点E、F分别在上不与端点重合，且，将四边形沿着翻折至四边形处．
(1)如图1，与交于点Q，若，求证：四边形为平行四边形；
(2)当点G落在边上不与A、D重合时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点保留作图痕迹，不要求写作法；
(3)当点G落在的边上时，求点B、G之间的距离．
17．（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高．
(1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；
(2)若，则（1）中的菱形的高为__________．
18．（2025·山西长治·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
初步探究
（1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
深入思考
将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长．
19．（2025·江苏镇江·二模）已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点．
(1)如图1，．
①依题意补全图形：
②连接，求的度数；
(2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
20．（2025·江苏泰州·三模）已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E．
设直线与直线交于点G．
(1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数；
(3)探索与的数量关系，直接写出结论．
考点二 图形变换综合压轴题型
题型一 平移综合题
1．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt中，，将沿某一个方向平移2个单位长度，记扫过的面积为．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点到BC的距离为；
结论②：的最大值为
A．只有①对B．只有②对C．①，②都对D．①，②都不对
2．（2026·河北张家口·一模）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________．
3．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点．
(1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度；
(2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式；
(3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围．
4．（2026·山东德州·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
(1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
(2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________；
(3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
①求的度数；
②连接交于点，直接写出的值．
题型二 轴对称综合题
5．（2026·河北邯郸·二模）如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________．
6．（2026·江苏扬州·一模）如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点．
(1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点；
(2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹）
(3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点，作点C关于直线的对称点F，点F与点E在直线的同侧．当时，在平面内找点G，使以A，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，则的长为________．
8．（2026·山东青岛·一模）【构建新定义】
在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”．
【理解新定义】
(1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____．
【应用新定义】
(2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____．
【拓展新定义】
(3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____．
题型三 旋转综合题
9．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（ ）．
A．B．C．D．
10．（2026·辽宁抚顺·一模）【发现问题】
在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题：
(1)如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数．
【延伸类比】
小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题：
(2)如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值．
【学以致用】
小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题：
(3)如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积．
11．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______．
12．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则__．
题型四 翻折综合题
13．（2026·江苏泰州·一模）综合与实践：
问题论证：
(1)在方案1中，求证：点为的三等分点；
(2)在方案2中，求与的比值；
(3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由．
14．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，，M，N分别是边上的动点，将四边形沿直线翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，其中点F始终落在边上．
(1)如图1，当点E恰好落在直线上，且时，求的长；
(2)如图2，当点F与点B重合时，求的值．
15．（2026·江苏徐州·一模）如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F．
(1)、与的数量关系为_______；
(2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形；
(3)在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围．
16．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______．
题型五 图形变换与函数综合
17．（2026·江苏泰州·一模）平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，当时，求的值；
(3)如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由．
18．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P．
(1)求该二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值；
(3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值．
19．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________．
20．（2026·江苏宿迁·一模）如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型六 图形变换与相似三角形
21．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图2，当P为的中点，，时．
①长度为_______；
②求的长；
(2)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，设为y，为，求y与的函数关系．
22．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
23．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求面积的最大值．
24．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径及的长．
题型七 图形变换与动点存在性问题
25．（2025·江苏·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点．
(1)如图1，若点F在边上，，求的长；
(2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长；
(3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
26．（2025·江苏苏州·二模）定义：对于抛物线（是常数，），若，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于两点．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、的坐标；
(2)将抛物线沿轴翻折，得到抛物线；
①抛物线___________准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当时，记抛物线、组成的新图象为“图象”，图象交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，点，分别在边和上，且，作交于点，交于点（点在点右侧），若上存在一点，使得，则＝________．
28．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________．
题型八 图形变换的阅读理解类问题
29．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】
菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形．
①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形；
②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形；
【解决问题】
(1)请从①②中选择一个进行证明；
(2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____．
30．（2025·江苏宿迁·三模）定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”．
例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
(1)如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”；
(2)如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点B与点A对应，点在的平分线上，连接．若，求的值；
(3)如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明．
31．（2025·江苏盐城·二模）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形中，，对角线，相交于点O．若梯形的面积为1，试求以，，的长度为三边长的三角形的面积．
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作的平行线交的延长线于点E，得到的即是以，，的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图2，请直接写出的面积为_________．
（2）如图3，的三条中线分别为，，，若的面积为2，求出以，，的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点P是内的一点，连接，，，，，证明：．
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法）
32．（2025·江苏宿迁·三模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形．
【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________
【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点．
如何找到任意一条线段的白银分割点呢？
小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由．
【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形
（1）若菱形为白银菱形，___________．
（2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________
1．（2025·江苏无锡·二模）如图， 为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论：
；
；
若，则；
若则四边形是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·海南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是上一点，且，连接，过点B作于点F，连接并延长交于点G，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______．
5．（2025·江苏扬州·三模）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是______．
6．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点E是对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点E作的垂线，交边于点F，则__________；若，的面积为y，则y与x的函数关系式为__________．
7．（2025·江苏镇江·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C三点都是格点，且．
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_________；
(2)①如图，若线段与x轴交于点D，求点D坐标；
②在①的条件下，在你所画的平面直角坐标系的y轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请求出点P的坐标．
③直接写出在②的条件下的正切值____________
(3)请仅用无刻度的直尺在给定网格作图．在上找一点Q，使的面积为．
8．（2025·江苏淮安·二模）在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上．
尝试：
（1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______；
探究：
（2）在（1）的条件下，当时，求和的长；
操作：
（3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
拓展：
（4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长．
9．（2025·江苏无锡·二模）将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试：
(1)如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明；
(2)如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程；
(3)如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长．
10．（2025·江苏扬州·三模）如图至图，中，，，点在折线上，连接，将沿向右上方折叠，折叠后得到或四边形．

(1)如图，若，点在上；
①当射线经过点时，则___________（填“”、“”、“”）；
②当点，的距离最小时，求的长．
(2)如图，若，点在上，当点在的延长线上时，求的值．
(3)如图，若，，恰好经过点时，求的长．
真题动向
题型一：平移的性质
题型二：轴对称问题
题型三：中心对称
题型四：旋转的性质
题型五：翻折问题
题型六：图形变换与全等三角形问题
题型七：网格中作图
题型八：图形变换中的规律探究型问题
必备知识
知识点一 轴对称图形与轴对称
知识点二 中心对称图形与中心对称
知识点三 图形的平移
知识点四 图形的旋转
命题预测
真题动向
题型一：平移综合题
题型二：轴对称综合题
题型三：旋转综合题
题型四：翻折综合题
题型五：图形变换与函数综合
题型六：图形变换与相似三角形
题型七：图形变换与动点存在性问题
题型八：图形变换的阅读理解类问题
命题预测
命题透视
1．从命题形式上看，呈现出“新情境、新模型、新设问”的特点，载体形式上多以网格作图、函数图象、几何折叠/旋转、实际应用场景为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养的考查，渗透数形结合思想，培养几何建模能力。
2．从命题内容上看，平移/轴对称/中心对称的坐标计算与最短路径、旋转全等/相似模型、折叠问题中的勾股定理与方程思想、图形变换中的最值与动态探究、变换与函数/坐标系综合、位似缩放与规律探究是历年中考命题的核心区域。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
图形的平移
无锡·T5：一次函数的平移问题
图形的轴对称
图形的旋转
南京·T6：坐标系中的旋转问题
苏州·T24：图形变换与旋转的性质
南京·T14：根据旋转的性质求解
无锡·T8：旋转的性质
苏州·T13：一次函数的旋转问题
南京·T27：根据旋转的性质求解
无锡·T7：图形的旋转问题
无锡·T17：根据旋转的性质求解
图形的翻折（折叠）
无锡·T10：平行四边形的折叠问题
苏州·T8：图形的翻折问题
无锡·T27：图形变换的折叠问题
苏州·T16：图形的翻折问题
南京·T16：图形的折叠问题
无锡·T27：图形的翻折问题
中心对称
无锡·T28：根据中心对称的性质求长度角度面积
图形变换与动态几何
苏州·T16：图形变换中的动点问题
无锡·T18：图形变换与动点问题
苏州·T8：图形变换与动点问题
苏州·T7：图形变换与动点问题
图形变换与全等/相似
无锡·T10：图形变换与相似结合
命题预测
命题形式：以生活化情境、网格/函数为载体，侧重考查直观想象、逻辑推理等核心素养，设问更具探究性与开放性。
核心考点：基础题聚焦平移/轴对称/旋转的性质与坐标计算，中档题侧重折叠勾股方程、最短路径模型，压轴题多为变换与函数、动态几何、全等/相似的综合。
备考方向：需熟练掌握核心变换模型，强化数形结合、分类讨论与方程思想，提升新情境下的几何建模与探究能力。
教材习题
如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析
由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取
构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
轴对称图形
轴对称
概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.
图示
性质
被对称轴分成的两部分是全等图形.
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
2.对应线段相等，对应角相等；
3.两个图形全等.
区别
意义不同
两个图形之间的特殊位置关系
具有特殊形状的图形
对象不同
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
在两个图形之间
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
只有一条
不一定只有一条
联系
1)沿对称轴折叠，两个图形重合.
2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合.
2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称.
中心对称图形
中心对称
概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.
图形
性质
过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等.
1）中心对称的两个图形是全等图形；
2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等.
区别
指具有某种性质的一个图形
指两个图形的(位置)关系
概念
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的.
图示
性质
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
作图步骤
1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
2）找：找出确定图形形状的关键点；
3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点；
4）连：按原图顺序依次连接各对应点.
【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.
概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角.
要素
旋转中心、旋转方向、旋转角
图示
性质
1）旋转前后的两个图形全等；
2）对应点到旋转中心的距离相等；
3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
作图步骤
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
如何将正方形纸片折叠出相等的三列
背景
书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证．
方案1
如图②
步骤1：折均等的四列；
步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知；
步骤3：连接延长交线段于点．
方案2
如图③
步骤1：对折正方形，折痕为；
步骤2：沿翻折得到；
步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点．
方案3
如图④
步骤1：对折正方形，折痕为；
步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应；
步骤3：线段与交点为．