专题07 统计与概率（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

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01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc221119053" 考点一 统计与概率（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
考点一 统计与概率

题型一 统计调查
1．（2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（ ）
A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式
B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件
C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图
D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
【答案】A
【分析】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断．
【详解】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查，
∴选项A说法错误；
B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义，
∴选项B说法正确；
C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比，
∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确；
D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差，
∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确．
2．（2026·江苏宿迁·一模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查我县中学生的睡眠情况
B．调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果
C．调查大运河泗阳段的水质情况
D．调查某班同学观看电影《731》的情况
【答案】D
【分析】本题考查全面调查(普查)与抽样调查的适用场景，根据调查范围大小，调查操作难度判断即可，范围小易操作的调查适合采用普查．
【详解】解：A选项调查范围为全县中学生，人数多范围广，适合抽样调查．
B选项调查范围为全国青少年，范围大，适合抽样调查．
C选项调查大运河泗阳段的水质，无法进行全面统计调查，适合抽样调查．
D选项调查范围为一个班级的同学，人数少范围小，操作简单，最适合采用全面调查．
3．（2026·江苏泰州·一模）小明家所在小区的电梯显示屏记录了2026年3月26日至4月1日这7天内电梯的运行距离（单位：米）和运行次数（单位：次），如图所示：
(1)这7天电梯运行距离的中位数是________米，运行次数的极差是________次；
(2)小明观察图2中条形的高度，得出结论“3月31日的运行次数约是3月26日的2倍”，但实际计算后发现，3月31日的运行次数是3月26日的________倍（精确到0.1），小明得出的结论错误的原因是什么？
【答案】(1)13740，160
(2)1.1；纵轴不是从0开始的．
【分析】（1）根据中位数和极差的定义求解即可；
（2）根据条形统计图的数据分析即可．
【详解】（1）解：将这7天电梯运行距离从小到大排列为：、、、、、、，
则中位数是，
由条形统计图可知，7天运行次数最多次，最少次，
则运行次数的极差是（次）
（2）解：由条形统计图可知，3月31日的运行次数是次，3月26日的运行次数是次，
则3月31日的运行次数是3月26日的倍，
小明得出的结论错误的原因是纵轴不是从0开始的．
4．（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查．
(1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（ ）
A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查
B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查
C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查
D．只抽取景区工作人员进行调查
(2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下：
信息一：
信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）
根据以上信息解答下列问题：
①该调查的样本容量为________，
②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分；
(3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次．
【答案】(1)C
(2)①200；②图见详解；82.5
(3)6万人
【分析】（1）根据抽样调查的基本要求解答即可；
（2）①根据图中满意占比，人数为90人求解即可；
②求出非常满意人数，即可补全条形统计图；再根据中位数的定义求解即可；
（3）根据样本估计总体的方法解答即可；
【详解】（1）解：抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，A只抽取年轻人、B只抽取使用过的游客、D只抽取工作人员，样本都不具备代表性，只有C在景区不同时段、不同区域抽取各类游客，抽样最合理，故选C；
（2）解：①由题意可知，“满意”等级共人，
扇形图中满意占比，因此样本容量为；
②非常满意人数为人，
补全条形统计图如图：
200个数据从小到大排列，中位数为第100和第101个数据的平均数： 前两个等级（不满意比较满意）共个数据，结合满意等级的人数分布： 80分共10个（累计），81分共20个（累计），82分共20个（累计），
因此第100个数据为82，第101个数据为83，中位数为；
（3）解：样本中非常满意的频率为，
因此20万人次中非常满意的人次约为：（万人次），
答：估计非常满意的人次约为万人次．
题型二 直方图
5．（2025·江苏泰州·一模）将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是________．
【答案】2
【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第四组的频数．各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
【详解】解：第五组频数为，
第四组的频数为，
故答案为：．
6．（2025·江苏镇江·一模）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况选项：、和同学亲友聊天；、学习；、购物；、游戏；、其它，五一节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到下表(部分信息未给出)：
根据以上信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生有多少人？
(2)求表中，，的值．
(3)若该中学约有名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
【答案】(1)这次被调查的学生有人
(2)，，
(3)全校学生中利用手机购物或玩游戏的约有人，利用手机购物或玩游戏的占调查人数的，因此要加强对学生使用手机的管理
【分析】本题考查频数与总数之间的运算关系，样本估计总体等知识点；
（1）利用“总数=频数÷百分比”直接进行计算即可；
（2）利用“频数=总数×百分比，百分比=频数÷总数”直接进行计算即可；
（3）用乘以手机购物或玩游戏的总百分比即可，根据题意给出合理建议，即可．
【详解】（1）解： 人，
答：这次被调查的学生有人；
（2），
人，
人，
答：，，；
（3）人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的约有人，
利用手机购物或玩游戏的占调查人数的，因此要加强对学生使用手机的管理．
7．（2025·江苏苏州·模拟预测）生物研究表明∶人在运动后，心率会增加．某生物小组在体育课基础运动后，随机测量统计了部分学生的心率情况（心率次数次/分钟）．
收集数据
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，其中正确的步骤顺序是___________（写出序号即可）；①记录结果；②得出结论；③展开调查；④选择调查方法．
整理描述
将数据结果分为A：，B：，C：，D：，E：五个组别，并绘制了如下统计图表∶
（2）统计表中的值为___________，的值为___________．
分析问题
（3）一般初中生运动的适宜心率为（次/分钟），学校共有5600名学生，请你依据此次调查结果，估计学校有多少名学生在基础运动后能达到适宜心率？
【答案】（1）④③①②；（2）30，2；（3）估计学校有4200名学生在基础运动后能达到适宜心率
【分析】本题考查频数分布表和扇形统计图，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键：
（1）根据数据的调查和收集的步骤进行作答即可；
（2）用组的频数除以所占的百分比求出总数，用总数乘以组所占的百分比求出的值，再根据频数之和等于总数求出的值；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）正确的步骤顺序是④③①②；
（2），
∴，
∴；
（3）（名）
答：估计学校有4200名学生在基础运动后能达到适宜心率．
8．（2025·江苏淮安·模拟预测）随着无人机灯光秀在各地的展演，为激发学生对科技的热情，学校的科技创新社团在学期末举办了青少年科技创新大赛，赛后从八、九两个年级中各随机抽取50名学生的成绩百分制进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
①八年级学生成绩的频数分布直方图如图所示数据分为5组：，，，，；
②八年级学生成绩在这一组的是：，81，81，82，83，84，84，，85，，86，87，88，88，89，90；
③八、九年级学生成绩的平均数、中位数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为______；
(2)若成绩90分以上为优秀，八年级共有学生1000名，估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数；
(3)小明此次比赛的成绩为84分，在他所在的年级中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小明是哪个年级的学生，并说明理由．
【答案】(1)
(2)估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数为260人
(3)小明是八年级的学生，理由见解析
【分析】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，熟练掌握利用样本估计总体、中位数的意义是解题的关键．
（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据中位数的意义解答即可．
【详解】（1）解：∵把八年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，83分，
∴，
故答案为：；
（2）解：（人），
答：估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数为260人；
（3）解：小明是八年级的学生，理由如下，
∵八年级学生成绩的中位数为，九年级学生成绩的中位数为85，而小明的成绩84分超过了八年级一半以上的同学，但未超过九年级一半以上的同学，
∴小明是八年级的学生．
题型三 数据的集中趋势
9．（2025·江苏盐城·二模）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量（单位：台），结果如下：
(1)求这14位营销员该月销售该品牌电脑的中位数和众数．
(2)销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？
【答案】(1)中位数： 80台；众数：80台
(2)不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务
【分析】本题考查了众数，中位数，运用中位数做决策，求平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；
（2）理解题意，中位数是，平均数是90台，根据月销售量定为90台，进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：∵共14人，
把数据排列后，居于中间的两个数为：80，80，
则中位数是（台）；
分析数据，有5人销售80台，最多，
故众数：80台；
（2）解：不合理．
由（1）得中位数是台，
平均数：（台）；
∵将每位营销员月销售量定为90台，且，
虽然平均数是台，但多数营销员可能完不成任务．
故销售部经理把每位营销员月销售量定为90台是不合理．
10．（2025·江苏·一模）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
请你根据以上提供信息，解答下列问题：
(1)上表中 ， ， ．
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】(1)7.5；7；7.5
(2)八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析
(3)我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格的大约有990人
【分析】本题主要考查数据的分析和处理，解题的关键是掌握中位数、平均数、众数的求解方法，并且能够借此分析数据．
（1）分别对七年级和八年级数据分析，得到平均数、中位数和众数；
（2）依据平均数、众数、中位数进行分析；
（3）根据调查中合格学生的占比求解．
【详解】（1）八年级平均数；
七年级分数7出现了6次，众数是7；
八年级数据从小到大排列，第十名同学和第十一名同学的成绩分别是7，8，中位数．
故答案为:7.5，7，7.5．
（2）解：八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由为：八年级的学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高；
（3）解：（人），
答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格的大约有990人．
11．（2025·江苏淮安·二模）4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)九年级（1）班共有______名学生；并补全条形统计图；
(2)九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本；
(3)为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释．
【答案】(1)50；补全图形见解析
(2)2
(3)见解析
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；总人数乘以3本人数所占百分比得出其人数，据此可补全图形；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）求出数据的平均数即可得出答案．
【详解】（1）解：九年级（1）班学生总人数为（名），
故答案为：50；
读3本的人数为（名），
补全图形如下：
（2）解：九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是（本），
故答案为：2；
（3）解：（本），
∵学生小华未达平均数，
∴不能获得奖章．
12．（2024·江苏淮安·中考真题）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
(1)根据以上数据把表格补充完整：
(2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由．
【答案】(1)，，，；
(2)路线一，理由见解析．
【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、众数、中位数、方差与极差，解决本题的关键是根据折线统计图中提供的数据计算出平均数、众数、中位数、方差与极差，再根据这些数据作出决策．
（1）根据平均数、众数、中位数、方差与极差的定义求出这些数据；
（2）由（1）中计算出的数据可知：路线一的平均数，中位数和众数相同均比路线二的高，极差为，路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，路线一的用时比较稳定．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，上班路上走路线一所用的时间为：，，，，，，，，，，
上班路上走路线一的平均时间为，
上班路上走路线一的个数据中出现次数最多的是，共出现了次，
路线一的众数是；
由折线统计图可知，上班路上走路线二的数据排序为：，，，，，，，，，，
这组数据的中位数为：，极差为；
故答案为：，，，；
（2）解：张老师应选择路线一，
理由如下：路线一的平均数，中位数和众数相同，
路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，
路线一的用时比较稳定．
题型四 数据的波动程度
13．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动．
【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比．
【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下：
【数据分析】该社团数据分析如表：
【问题解决】请解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶；
(3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片．
【答案】(1)0.3，1.74
(2)杨树叶
(3)65片
【分析】（1）根据极差和平均数的定义解答即可；
（2）根据树叶的长宽比判断即可；
（3）利用样本估计总体即可．
本题考查了众数，中位数，平均数，极差和方差，掌握相关定义是关键．
【详解】（1）解：杨树叶长宽比的极差，
桃树叶长宽比重新排列为，
所以桃树叶的平均数，
故答案为：0.3，1.74；
（2）解：，
所以这片树叶可能是杨树叶；
（3）解：由统计图可知：
（片），
答：估计其中长宽比在之间的有65片．
14．（2025·河北石家庄·三模）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击次，其成绩分别绘制成如图、图所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示．

(1)______队员的发挥更稳定；
(2)分别求统计表中，，的值；
(3)乙队员补射次后，成绩为环，据统计乙队员这次射击成绩的中位数比大，则的最小值为______．
【答案】(1)甲；
(2)，，；
(3)．
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图中获取有用信息，熟悉相关概念的意义是解题的关键．
（）根据方差的意义解答即可；
（）先确定甲队员成绩为出现的次数，再利用加权平均数公式计算出的值，确定甲的众数的值；求出被污染的个数的和，结合被污染所在区间判断出这两个数，再按中位数的意义确定中位数即可；
（）先确定这次射击成绩的中位数，再根据前次成绩与这个中位数比较即可确定的最小值．
【详解】（1）解：∵甲的方差乙的方差，
∴甲队员发挥更稳定；
故答案为：甲；
（2）解：甲队员成绩为的次数为：（次），
∴甲成绩的平均数，
∵甲成绩为出现次，是出现次数最多的成绩，
∴，
∵乙的平均数为，
∴被污染的个数的和为：，
由污染的区域可知：污染的数只能是：，，，
∴这两个数为，，
将乙队员的成绩由小到大排列：，，，，，，，，，，
处于中间的两个数的平均数为：，
故，，；
（3）解：∵乙队员这次射击成绩的中位数比大，
∴乙队员这次射击成绩的中位数为：，
∵乙原来次成绩小到大排列：，，，，，，，，，，加入成绩后按小到大排列中位数应该是处于第位，而比小的数有个，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
15．（2025·江苏淮安·一模）某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表：
投篮训练成绩统计表
(1)补全条形统计图；
(2)表中______，______．
(3)根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛．
【答案】(1)见解析
(2)8，9
(3)甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛答案不唯一，言之有理即可
【分析】本题考查了条形统计图，平均数，中位数，方差的意义．关键是掌握这些知识进行解答．
（1）根据平均数求出甲第5次、乙第3次的成绩，补全条形统计图；
（2）按照中位数和众数的定义解答即可；
（3）根据平均数，中位数，众数以及方差判断即可．
【详解】（1）解：第5次甲的成绩：（个），
第3次乙的成绩：（个），
补全条形统计图：
；
（2）解：把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，
；
甲的成绩为：5，6，8，9，9，
∴，
故答案为：8，9；
（3）解：甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）．
16．（2025·江苏淮安·二模）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分分）：
甲：；乙：．
②服务质量得分统计图（满分分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：_________，_________，比较大小：________（填“”“”或“”）；
(2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)小刘应选择甲公司，理由见解析
【分析】（）根据中位数、众数的定义及方差的意义解答即可；
（）根据平均数、中位数、众数及方差的意义判断即可；
本题考查了平均数、中位数、众数及方差，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：甲的配送速度得分由低到高排序为：，，，，，，，，，，
∴中位数，
∵分出现的次数最多，
∴众数，
由折线统计图可知，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，甲的数据波动更小，数据更稳定，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．
题型五 随机事件与概率
17．（2025·江苏连云港·二模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．抽签形式：把四个项目名称分别写在4张质地均匀的不透明卡片正面，卡片背面向上摆放，每次抽签前先洗匀．
(1)小丽参加“单人组”．她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为______；
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．请用画树状图或列表的方法求该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的结果有1种，
∴恰好抽中“三字经”的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的结果有：，共2种，
∴该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率为．
18．（2025·江苏泰州·三模）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅，
(1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
（1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率．
（2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率．
【详解】（1）解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子．
所以乙夹的包子是秧草馅的概率为．
（2）解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种．
所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为．
19．（2025·江苏镇江·一模）春节期间，某电影院上映了《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》三部电影．小明、小丽两人从中选取一部电影观看．
(1)小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率是______；
(2)请用树状图或列表求小明、小丽两人选取同一部电影的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据表格得出小明、小丽选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵一共有3部电影，《哪吒之魔童闹海》只有一部，且每部电影的概率相同，
∴小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率是 ．
（2）解：设分别用A、B、C表示《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》，列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中选取同一部电影的结果数有A，A；B，B；C，C；共3种，
∴选取同一部电影的概率为
20．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____；
(2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了求概率．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种，
小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为
题型六 用列举法求概率
21．（2025·江苏无锡·模拟预测）每年三四月份都是樱花盛开的季节，美丽的春城在樱花掩映下，更增添了几分风韵．小明和小亮相约周末去看樱花，他们决定采取抽签的形式从“A：圆通山”、“B：彩云路”、“C：昆明植物园”、“D：海埂公园”中选择两个地方去观赏，抽签规则如下：把4个地点分别写在四张背面相同的卡片上，然后背面朝上放在桌面上搅匀，小明和小亮各抽取一张．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)求小明和小亮选择去“圆通山”和“海埂公园”这两个地方赏花的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意画出树状图，表示出所有可能出现的结果；
（2）根据树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选择去“圆通山”和“海埂公园”的结果，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：画出树状图如图所示：
；
（2）解：由图可知，共有12种等可能的结果，其中“圆通山”和“海埂公园”同时被选中的结果有2种，
∴小明和小亮选择去“圆通山”和“海埂公园”这两个地方赏花的概率为．
22．（2025·江苏连云港·模拟预测）某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为______，表中的值为______．
(2)该校共有学生1200人，请你估计等级为的学生人数．
(3)已知学习时长属于组别的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)80，20%
(2)（人）
(3)
【分析】本题主要考查统计与概率的综合应用，掌握“由部分求总体的方法”“用样本估计总体”及“画树状图法求概率”是解题的关键．
（1）由组别D的人数和所占百分比求总人数，再计算组别A的百分比；
（2）先求组别B的百分比，再用全校人数乘以该百分比；
（3）用画树状图法列出所有可能结果，再计算符合条件的结果数占比．
【详解】（1）解：总人数：（人）；
的值：．
（2）解：组别B的百分比：；
全校等级为B的人数：（人）．
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8，
所以．
23．（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)补全调查结果的条形统计图；
(2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息识别，用树状图或列表求概率，解决此题的关键是正确的计算；
（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息得到总的人数，再根据圆心角的所占比例算出结果即可补全条形统计图；
（2）审清题意可知，列出树状图得到结果即可；
【详解】（1）解：由题意可得：
总的人数为：（人）
选厨艺的人数为：（人）
选园艺的人数为；（人）
（2）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
24．（2025·江苏苏州·一模）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题．
(1)本次调查的学生共有______________人，C组占扇形统计图中圆心角度数为______________度．
(2)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率．
【答案】(1)100，126
(2)
【分析】本题考查了列表法求概率以及扇形与条形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中选中小组的结果有，共2种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解．
【详解】（1）由题意得本次调查的学生共有，
组占扇形统计图中圆心角度数为，
故答案为：100，126
（2）依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下：
由以上，可得共有12种等可能的结果，其中选中C，D小组的结果有共2种，
题型七 用频率估计概率
25．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
【答案】(1)
(2)口袋中黑色的球只，白色的球有只
(3)两次都摸到白球的概率为
【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率；
（）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球；
（）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
∴口袋中有白球（只），黑球（只），
答：口袋中黑色的球只，白色的球有只；
（3）解：画树状图如图，
一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，
∴两次都摸到白球的概率为．
26．（2025·江苏南京·二模）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．
（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解；
（2）根据(1)中的概率设计合理的方案即可．
【详解】解：（1）列表如下：
共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“都落在黄色区域”（记为事件A）的结果有3种，即（黄，黄）、（黄，黄），
所以．
（2）游戏可以设计为：在一个不透明的袋子中装入除颜色外均相同的六个小球，其中五个红球、一个黄球，每次随机摸出一个球，恰为黄球．
27．（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此可估计出红球有______个．
(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到2个红球的概率．
【答案】(1)、2；
(2)树状图见解析，
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用频率估计概率求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是，由此可估计出红球有（个），
故答案为：、2；
（2）解：根据题意画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸到2个红球的有2种结果，
个球都是红球的概率为
28．一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球若干个．数学兴趣小组做摸球实验，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
(1)___________，___________；
(2)估计摸出一个球恰好是白球的概率约为___________（结果精确到）
【答案】(1)，
(2)
【分析】（）根据频率公式计算即可求解；
（）根据频率估计概率即可求解；
本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由表可得，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵随着实验次数越来越大时，摸到白球的频率稳定在附近，
∴估计摸出一个球恰好是白球的概率约为，
故答案为：．
题型八 概率的应用
29．（2026·江苏连云港·模拟预测）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
(1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________；
(2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见详解
【分析】（1）求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率；
（2）列举出所有情况，求出指针都落在蓝色区域的概率，再求出自由转动转盘一次，指针落在黄色区域即可得出答案．
【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能，
∴P指针落在红色区域；
（2）解：列表如下，
共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种，
∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）；
∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）．
∴公平．
30．（2025·江苏泰州·一模）小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）．
【答案】不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握解题方法是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【详解】解：不公平，理由如下：
列表得两次所得点数之情况：
一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况，
则和小于7的概率，
和大于或等于7的概率，
小慧和小颖胜的概率不相等，
故这个游戏对双方不公平．
31．（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球．
(1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”）
(2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由．
【答案】(1)随机
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据事件的分类进行判断即可；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球，
∴摸出的2个球都是红球”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：不公平．理由如下：
列表如下：
∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种．
∴P（摸出的2个球颜色相同），
P（摸出的2个球颜色不同）．
故该游戏方案对双方不公平．
32．（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示）
(1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________；
(2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由．
【答案】(1)
(2)游戏不公平
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）利用概率的计算公式计算即可；
（2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果，
∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是；
（2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：

∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种，
∴小宇获胜的概率为；
摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种，
∴小辰获胜的概率为；
∵，
∴游戏不公平．
题型九 统计大题综合训练
33．（2025·江苏常州·一模）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示．
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，本次抽查的学生中，类所在扇形的圆心角的度数是______；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；
(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
【答案】(1)图见解析，
(2)B
(3)135人
【分析】（1）首先利用组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；
（2）用周角乘以类所占的百分比即可；
（3）用样本数据估计总体数据即可．
【详解】（1）解：观察两个统计图知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
补全条形统计图，如下：
（2）解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类．
（3）解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
34．（2025·江苏连云港·模拟预测）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表：
频数分布表：
数据分析表：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有______位营业员可以获得奖励；
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)我认为月销售额定为万元合适，理由见解析
【分析】本题主要考查了数据的整理，中位数，数据的分析等内容，解题的关键是掌握相关的定义和公式．
（1）查找范围内的数即可，利用中位数定义计算即可得到中位数；
（2）根据要求找出符合条件的范围内的数，求和即可；
（3）利用中位数进行决策即可．
【详解】（1）解：在范围内的数据有个，在范围内的数据有个，
，，
排序后中间的两个数都是，故中位数为；
故答案为：，，；
（2）解：月销售额不低于万元为后面四组数据，即有位营业员获得奖励；
故答案为：；
（3）解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为万元合适．
因为中位数为，即大于与小于的人数一样多，
所以月销售额定为万元，有一半左右的营业员能达到销售目标．
35．（2025·江苏南京·三模）在某次体有中考模拟考试中，九（1）班和九（2）班的成绩汇总如下：
(1)__________，__________，__________；
(2)根据数据，九__________班同学的模拟成绩更整齐一些（填（1）或（2））；
(3)结合数据给两个班的体育老师各提出一条关于后续教学的合理化建议．
【答案】(1)38.3，38，1.4；
(2)（2）；
(3)对于九（1）班，建议可以针对成绩在21分的这位同学进行重点辅导，帮助其提高成绩缩小与其他同学的差距：对于九（2）班，虽然整体成绩比较整齐，但可以进一步加强对成绩在36分这部分同学的训练，争取让所有同学的成绩都有所提升．
【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差的求解，方差的意义等知识．
（1）根据平均数，中位数，方差的定义分解求解即可．
（2）根据方差的定义求解即可．
（3）根据成绩分别提出建议即可，答案不唯一．
【详解】（1）解：，
九（2）班有人数：（人），
则中位数，
故答案为： 38.3，38，1.4；
（2）解：∵，
∴九（2）班同学的模拟成绩更整齐一些．
（3）解：对于九（1）班，建议可以针对成绩在21分的这位同学进行重点辅导，帮助其提高成绩缩小与其他同学的差距：对于九（2）班，虽然整体成绩比较整齐，但可以进一步加强对成绩在36分这部分同学的训练，争取让所有同学的成绩都有所提升．
36．（2025·江苏淮安·二模）某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
(1)其中A组数据为：70，65，65，66，50，60，60，60．A组数据的中位数是 次，众数是 次，平均数是 次．
(2)C组频数是 人．
(3)一般运动的适宜心率为（次/分钟），即C、D组都是适宜的心率．该校共有2200名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率．
【答案】(1)，60，62
(2)30
(3)
【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体等知识点，从统计图获取所需信息成为解题的关键．
（1）根据中位数和众数，平均数的概念求解即可；
（2）根据总人数减去其他组的人数，即得出C组的频数；
（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：将A组数据从小到大排列为：50，60，60，60，65，65，66，70，
∴中位数为（次）；
∵60出现的次数最多，
∴众数是60次；
平均次数为：（次）．
故答案为：，60，62．
（2）解：，则人，
∴C组的人数为30．
故答案为：30．
（3）解：名．
答：估计该校大约有1650名学生达到适宜心率．
题型十 概率大题综合训练
37．（2025·江苏泰州·三模）阅读下列文字并回答相关问题．
你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚地听到有个小孩的声音，但是因为这个小孩年龄较小，所以你不确定他们是男是女．
(1)基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，则这个小孩都是男孩的概率是多少？用画树状图或列表的方法分析
(2)你还是没有足够的信息确定这个小孩的性别，所以你决定再次找个理由到隔壁敲了第二次门．很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，则这个小孩都是男孩的概率为______．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）第个孩子有种等可能结果，其中是男孩的有种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中三个小孩都是男孩的有种结果，
∴这个小孩都是男孩的概率是；
（2）解：由题意知，前面个孩子已确定是男孩，而第个孩子有种等可能结果，其中是男孩的有种结果，
∴这个小孩都是男孩的概率为，
故答案为：．
38．九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）．
(1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____；
(2)从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据概率公式计算即可；
（）列出表格，根据表格解答即可；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种，
∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种，
∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
39．（2025·江苏无锡·模拟预测）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
(1)从甲袋中摸出1个小球，摸出的小球是红色的概率是_____．
(2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）．
(3)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色小球的概率是_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求比较复杂的情况概率，画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据甲袋中有1个红球和2个白球，共3个小球，利用概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率；
（3）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合题意的情况数，即可求出概率．
【详解】（1）解：根据题意从甲袋中摸出1个小球，摸出的小球是红色的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意画出树状图，如图所示：
共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有2次，因此摸出的都是白色小球的概率为；
（3）解：从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白1、白1白2、红白2，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示：
共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有5种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为．
故答案为：．
40．（2025·江苏无锡·二模）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中．
(1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________；
(2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为
知识1 数据的收集
1. 普查与抽样调查
2. 总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样
知识2 平均数、中位数、众数、方差
知识3 频数与频率
频数：某组数据出现的次数称为这组数据的频数，各组的频数之和等于数据总数.
频率：频数与数据总数的比值（或者百分百）称为这组数据的频率，即.
知识4 统计图/表的分析
知识5 概率的计算
【总结版】概率的计算
1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即.
2.列举法求概率
1）列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
2）列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.
3）画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算.
3. 用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p.
41．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【答案】D
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键．
根据题意，结合众数的意义，即可求解．
【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，
故选：D．
42．（2025·江苏镇江·中考真题）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82B．84C．85D．87
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
先将数据从小到大排序，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：从小到大排序为：80，82，82，84，85，87，90，
中间的数为84，
∴中位数为84．
故选：B．
43．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球D．至少有1个球是黑球
【答案】C
【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C．
44．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键．
设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．
【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个，
∴摸到白球的概率为，
根据题意得：，
解得：，
因此，红球的个数为2个．
故选：B．
45．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，
则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是，
故答案为：．
46．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分．
【答案】
【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键．
按照加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分），
故答案为：．
47．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】(1)见详解
(2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解
【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答．
（2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
即甲的一般成绩有次，
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，
∴乙参加跳远比赛较为合适．
48．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，
取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．
故答案为：．
（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，
取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．
49．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．
(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．
①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）
②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．
(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．
①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）
②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．
【答案】(1)①抽样调查；②见解析
(2)①B；②见解析
【分析】本题主要考查折线统计图，条形统计图，调查的方式，熟练掌握折线统计图，条形统计图的特征是解题的关键．
（1） ①利用抽样调查的定义解答即可；②通过观察折线图的走势回答即可；
（2） ①观察条形统计图，通过比较各选项对应的人数解答即可；②观察条形统计图，依据依据影响视力的主要因素提出合理建议即可．
【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果，
∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降；
（2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多，
∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼．
故答案为：B；
②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间．
50．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
（1）根据题意，用频率估计概率即可；
（2）根据列表法求概率，即可求解．
【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是，
故答案为：．
（2）解：列表如下，
共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种，
因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为．
51．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【答案】(1)14，13，14
(2)建议多进B型号扫地机器人．理由见解析
【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策：
（1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解；
（2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策．
【详解】（1）解：A型号平均数：；
将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17，
第4位和第5位的平均数为：，
B型号中位数；
B型销量中14出现了2次，出现的次数最多，
B型号众数；
故答案为：14，13，14；
（2）解：建议多进B型号扫地机器人．
理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求．
52．（2025·江苏无锡·中考真题）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
(2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
(3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．
【答案】(1)，画图见解析
(2)人
(3)见解析
【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据，求出所求问题的答案．
（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形；
（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；
（3）根据统计图的信息提出合理建议即可．
【详解】（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）．
53．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________；
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
54．（2025·江苏徐州·中考真题）为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）：
根据图中信息，解答下列问题．
(1)小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°；
(2)补全条形统计图；
(3)若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)辆．
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识．
（1）用车牌号归属地为“苏”的车辆数除以对应的百分比即可求出调查的车辆数，再由乘以“豫”的车辆数对应的百分比即可求出圆心角度数；
（2）求出车牌号归属地为“鲁”的车辆数，再补全统计图即可；
（3）用所有车辆数乘以车牌号归属地为“皖”的车辆的百分比即可求出答案．
【详解】（1）解：（辆），
即小桐共调查了辆车，
，
即“豫”对应扇形的圆心角为，
故答案为：，
（2）车牌号归属地为“鲁”的车辆数为：
（辆），
补全统计图如下；
（3）（辆）
答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有辆．
55．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
【答案】(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为．
56．（2025·江苏宿迁·中考真题）2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2・15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
(1)扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
(2)本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
(3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
【答案】(1)40，12
(2)C
(3)80人
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求中位数等知识点，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）先由档人数除以占比求出抽取的人数，由档人数除以抽取人数求出占比即可；由抽取人数减去档人数即可求解“B档”成绩的人数；
（2）由中位数的概念即可求解；
（3）根据用样本估计总体的方法 即可．
【详解】（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
57．（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），熟练掌握概率公式（，其中是总结果数，是事件发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键．
（1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率；
（2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ．
【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
（2）解：列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．
58．（2025·江苏南通·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
(1)表格中的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由．
【答案】(1)
(2)人
(3)选拔甲同学，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是正确理解统计图表中的信息．
（1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值；
（2）用总人数乘以样本中足球人数所占比例即可；
（3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：（人）
答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人．
（3）解：选择甲，理由：
由图知，，，
∴，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选拔甲同学．
59．（2025·江苏常州·中考真题）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成下表：
(1)填空：______，______， _______；
(2)根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．
【答案】(1)7；6；7
(2)甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由见解析
【分析】本题考查数据的分析，涉及求平均数、中位数、众数，方差的意义，熟练掌握相关概念和求法是解题的关键．
（1）利用平均数的定义求，利用众数的定义求，利用中位数的定义求；
（2）利用方差越小越稳定解答即可，
【详解】（1）解：，
在甲射击成绩：中，出现次数最多的是，
故甲射击成绩的众数是，即，
乙的射击成绩按从小到大排列为：，
位于中间的两个数是，
故乙射击成绩的中位数是，
故答案为：7；6；7 ；
（2）解：甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由如下：
∵甲的方差1小于乙的方差，
∴甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定．
60．（2025·江苏苏州·中考真题）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
(3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数．
【答案】(1)图见解析
(2)C
(3)该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人
【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息．
（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数，
（2）50个人的中位数是第25和26人的平均数；
（3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可．
【详解】（1）解：．
D组人数：人．
如图为所求：
（2）解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数，
从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组，
故答案为：C；
（3）解：，
（人）．
答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人．真题动向
题型一：统计调查
题型二：直方图
题型三：数据的集中趋势
题型四：数据的波动程度
题型五：随机事件与概率
题型六：用列举法求概率
题型七：用频率估计概率
题型八：概率的应用
题型九：统计大题综合训练
题型十：概率大题综合训练
必备知识
知识1 数据的收集
知识2 平均数、中位数、众数、方差
知识3 频数与频率
知识4 统计图/表的分析
知识5 概率的计算
命题预测
命题透视
1）从命题形式上看，呈现出 “新材料、新情境、新问题” 的特点，载体形式上多以统计图表、生活场景、跨学科素材为主，凸显对数据分析、数学建模、逻辑推理核心素养的考查，渗透应用意识与数据观念，培养用数据说话的理性思维。
2）从命题内容上看，统计图表信息提取与补全、统计量的计算与决策分析、用样本估计总体、两步试验概率计算、概率与统计综合应用是历年中考命题的核心区域，同时逐步增加情境化概率建模、统计结论辨析与说理类创新设问。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
数据的收集与整理
无锡·T23：条形统计图和扇形统计图相关联
南京·T22：数据的收集与整理
无锡·T23：频数分布直方图
南京·T20：由条形统计图推断结论
数据的分析
南京·T22：条形统计图推断结论
无锡·T4：求一组数据的平均数、众数
无锡·T4：求一组数据的平均数、众数
南京·T12：求数据的中位数
无锡·T23：运用众数、中位数做决策
概率
南京·T21： "" \t "" 列表法或树状图法求概率
无锡·T22：根据概率公式计算概率
南京·T21：根据概率公式计算概率
无锡·T22：根据概率公式计算概率
南京·T21：根据概率公式计算概率
无锡·T22：根据概率公式计算概率
命题预测
统计与概率命题将以生活、社会热点为情境，结合各类统计图表考查，侧重数据分析、逻辑推理素养，弱化纯计算、强化数据推断与实际决策。基础题聚焦图表信息提取、简单概率计算、统计量辨析，中档题核心考查两步/多步概率（区分放回与不放回）、统计概率综合，常考补全图表、游戏公平性分析、样本估计总体。设问多向开放性、探究性延伸，解答题注重 “读数据 — 算概率 — 做推断 — 说理决策” 的完整思维考查，选择填空以基础中档为主，整体难度适中但对应用能力要求更高。
分数
80
81
82
83
84
88
人数
10
20
20
10
20
10
选项
频数
频率
分组
频数（人）
A：
8
B：
15
C：
m
D：
45
E：
n
年级统计量
平均数
中位数
八年级

m
九年级

85
销售量
200
170
130
80
50
40
人数
1
1
2
5
3
2
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
7
八年级
a
8
c
平均数
中位数
众数
方差
极差
路线一
________
________
路线二
________
________
平均数
中位数
众数
极差
杨树叶长宽比
2.3
2.3
a
桃树叶长宽比
b
1.8
1.8
0.4
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
平均数
中位数
众数
方差
甲

8
b

乙

a
8

快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
乙
A
B
C
D
A
B
C
D
甲
乙
结果
小丽 小明
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
组别
时长t（单位：小时）
人数
所占百分比
A
16
x
B
20
C
40%
D
12
15%
第一次第二次
A
B
C
D
A
B
C
D
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
转盘①
转盘②
黄
红
蓝
黑
黄
（黄，黄）
（红，黄）
（蓝，黄）
（黑，黄）
黄
（黄，黄）
（红，黄）
（蓝，黄）
（黑，黄）
红
（黄，红）
（红，红）
（蓝，红）
（黑，红）
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
第一次第二次
红色
黄色
蓝色
蓝色
红色
（红，红）
（红，黄）
（红，蓝）
（红，蓝）
黄色
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，黄）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，黄）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
球1
球2
红1
红2
绿
红1
（红2，红1）
（绿，红1）
红2
（红1，红2）
（绿，红2）
绿
（红1，绿）
（红2，绿）
类别
A
B
C
D
视力
视力
4.9
视力
视力
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额
频数
平均数
众数
中位数
九（1）班体育模拟测试成绩
分数
人数
40
10
39
10
38
5
37
4
21
1
平均分：a
中位数：39
方差：11.34
九（2）班体育模拟测试成绩
分数
人数
40
3
39
8
38
9
37
6
36
4
平均分：38
中位数：b
方差：c
乙甲
概念
优缺点
举例
普查
考察全体对象的调查叫做全面调查.
优点：收集到的数据全面、准确.
缺点：一般花费多、工作量大，耗时长.
1）检测“神舟十六号”飞船的零部件.
2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间.
抽样调查
只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查.
优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时.
缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等.
2）调查某批中性笔的使用寿命.
3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况.
分类
概念
注意事项
举例
总体
要考察的全体对象称为总体
考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.
对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么:
总体指的是2.3万名学生的数学成绩；
个体指的是每一个学生的数学成绩；
样本指的是1000名学生的数学成绩；
样本容量是1000.
个体
组成总体中的每一个考察对象
总体包含每一个个体，所有的个体组成总体
样本
被抽取的个体组成一个样本
样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容量
样本中个体的数目称为样本容量
样本容量是一个数字，不带单位.
分类
定义
特点/意义
应用
平均数
算术平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”.
反映一组数据的平均水平，容易受到极端值的影响
根据两组数据的平均数评价、比较两组数据的整体水平.
加权平均数：若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则x1w1+x2w2+⋅⋅⋅+xnwnw1+w2+⋅⋅⋅+wn叫做这n个数的加权平均数.
中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.
反映一组数据的 “中等水平”
判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大,位于前50%；比中位数小,位于后50%.
众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
反映一组数据的 “多数水平”，只与数据出现的次数有关
常与“最受欢迎”“最满意”“最佳”有关.
方差
设有n个数据x1，x2，…，xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是x1−x2，x2−x2，…，xn−x2，我们用这些值的平均数，即用s2=1n[x1−x2+x2−x2+...+xn−x2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性.
类型
图示
特点
扇形统计图
1）各百分比之和为1；
2）扇形圆心角的度数=该部分所占百分比×360°；
3）特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
条形统计图
1）能清楚地表示出各部分的具体数目；
2）各部分数量之和等于抽样数据总数(样本容量).
折线统计图
1）能清楚地反映事物的变化情况.
频数分布表
1）各组频率之和等于1
频数分布直方图
1）能清晰、直观地显示各组频数的分布情况及数据的整体状况；
2）各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量).
第1次测试
第2次测试
第3次测试
甲
×
×
×
乙
×
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
正
反
正
正正
正反
反
反正
反反
平均数
中位数
众数
A型号
a
14
12
B型号
12
b
c
小华小丽
①
②
③
④
①
①①
①②
①③
①④
②
②①
②②
②③
②④
③
③①
③②
③③
③④
④
④①
④②
④③
④④
体育活动
足球
篮球
排球
乒乓球
跳绳
啦啦操
人数
6
10
9
8
5
人员
环数
甲
6
7
6
8
7
6
8
6
9
7
乙
5
7
5
10
5
8
6
9
8
7
人员
平均数
中位数
众数
方差：
甲
7
1
乙
7
5
组别
时间
频率
A
B
C
D
E
合计
1