高频考点05 图形与图形的变换（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测试+答案

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第一章 几何图形初步
一、核心知识必备
1. 图形的构成：点、线、面、体是构成几何图形的基本元素，点动成线，线动成面，面动成体。
2. 直线、射线、线段：直线没有端点，可向两方无限延伸；射线有一个端点，可向一方无限延伸；线段有两个端点，有固定长度。两点确定一条直线，两点之间线段最短。
3. 角的概念与分类：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。角按大小可分为锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°小于180°）、平角（等于180°）、周角（等于360°）。
4. 角的度量与运算：1°=60′，1′=60″。角的和、差、倍、分运算可类比实数运算。
5. 余角与补角：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角。同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
二、常用结论与技巧
1. 线段中点性质：若点M是线段AB的中点，则AM=MB=AB，AB=2AM=2MB。
2. 角平分线性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠COB。
3. 钟表上的角度计算：钟表的一圈为360°，共12个大格，每个大格30°；每个大格又分为5个小格，每个小格6°。时针每小时走30°，每分钟走0.5°；分针每分钟走6°。计算时针与分针的夹角时，可先分别算出时针和分针与12时方向的夹角，再求它们的差的绝对值，若大于180°，则用360°减去该差值。
4.数图形个数技巧：数线段、角、三角形等图形个数时，可按照一定顺序（如从左到右、从上到下）依次计数，避免重复或遗漏。例如，数线段时，若线段上有n个点（包括端点），则线段的总条数为。
第二章 相交线与平行线
一、核心知识必备
1. 相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。相交线所形成的角有对顶角和邻补角。对顶角相等，邻补角互补。
2. 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线段最短。
3. 同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，形成八个角。同位角在截线的同侧，被截线的同一方；内错角在截线的两侧，被截线之间；同旁内角在截线的同侧，被截线之间。
4. 平行线的定义与判定：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
5. 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
二、常用结论与技巧
1. 对顶角与邻补角的应用：在解决与相交线相关的角度计算问题时，可利用对顶角相等和邻补角互补的性质进行角度转换。
2. 垂线的性质应用：求点到直线的距离时，可通过作垂线，利用垂线段最短的性质求解。
3. 平行线中的角的关系转化：当题目中出现平行线时，要善于利用平行线的性质将同位角、内错角、同旁内角进行转化，从而建立已知角与未知角之间的关系。
4. 添加辅助线技巧：当图形中平行线的条件不明显或需要构造平行线来解决问题时，可添加辅助线。例如，过图形中的某个点作已知直线的平行线，从而利用平行线的性质解决角度计算或证明问题。
第三章 图形的平移
一、核心知识必备
1. 平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小。
2. 平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
3. 平移的要素：平移的方向和距离。
二、常用结论与技巧
1. 平移作图步骤：确定平移的方向和距离；找出原图形的关键点；将关键点按平移方向和距离进行平移，得到对应点；连接对应点，得到平移后的图形。
2. 利用平移解决问题：在解决图形面积计算、最短路径等问题时，可利用平移的性质将图形进行平移，使分散的图形集中，从而简化计算。例如，求不规则图形的面积时，可通过平移将其转化为规则图形。
3.坐标与平移：在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，得到对应点x+a,y（或x−a,y）；向上（或下）平移b个单位长度，得到对应点x,y+b（或x,y−b）。图形的平移可转化为关键点的坐标平移。
第四章 图形的轴对称
一、核心知识必备
1. 轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2. 轴对称的性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等；轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、常用结论与技巧
1. 轴对称作图步骤：找出图形的关键点；作关键点关于对称轴的对称点；连接对称点，得到轴对称图形。
2. 利用轴对称解决最短路径问题：利用轴对称的性质，将不在同一直线上的两点通过作对称点转化到同一直线上，利用两点之间线段最短来解决最短路径问题。例如，牧马人从A地出发到河边饮水后再到B地，可作A点关于河岸的对称点A'，连接A'B与河岸交于点P，则AP+PB为最短路径。
3. 常见的轴对称图形：等腰三角形（1条对称轴）、等边三角形（3条对称轴）、矩形（2条对称轴）、正方形（4条对称轴）、菱形（2条对称轴）、圆（无数条对称轴）等。掌握这些图形的对称轴位置和数量，有助于解决相关问题。
第五章 图形的旋转和中心对称
一、核心知识必备
1. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。
2. 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
3. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
4. 中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。
5. 中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
二、常用结论与技巧
1.旋转作图步骤：确定旋转中心、旋转方向和旋转角；找出原图形的关键点；将关键点绕旋转中心按指定方向和角度旋转，得到对应点；连接对应点，得到旋转后的图形。
2.利用旋转解决问题：在解决图形证明、计算等问题时，可利用旋转的性质将图形进行旋转，使分散的条件集中，从而找到解题思路。例如，在等腰直角三角形中，常将图形绕直角顶点旋转90°来构造全等三角形。
3. 中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形具有的性质。中心对称的两个图形一定是全等图形，中心对称图形自身关于对称中心对称。
4.常见的中心对称图形：平行四边形（对称中心是两条对角线的交点）、矩形（对称中心是两条对角线的交点）、正方形（对称中心是两条对角线的交点）、菱形（对称中心是两条对角线的交点）、圆（对称中心是圆心）等。
考点一 几何图形初步
命题点01 几何体展开图
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案．
【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻，
∴A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选：B
【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图．
根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．
【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形，
故选：D．
命题点02 平面图形旋转后所得立体图形
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断．
【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，
故选：A．
【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可．
本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故选：A．
命题点03 正方体相对面的字
【典例01】（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自B．立C．科D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
【典例02】（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿B．地C．之D．都
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．
【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：
“盐”的对面是“之”，
“地”的对面是“都”，
“湿”的对面是“城”，
故选C．
中考预测题
1．由如图的正三角形纸片，可以折出下列哪个几何体（ ）
A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．球
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记立体图形的特征是解题的关键．
根据常见几何体的展开图即可判断．
【详解】解：A、正三角形纸片不可以折出圆锥，不符合题意；
B、正三角形纸片可以折出三棱锥，符合题意；
C、正三角形纸片不可以折出三棱柱，不符合题意；
D、正三角形纸片不可以折出球，不符合题意；
故选：B．
2．将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，理解面动成体是解题的关键；
根据题意旋转即可得到答案．
【详解】解：将如图所示的图形绕虚线旋转一周可得到的立体图形是：

故选：D ．
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．中B．高C．意D．满
【答案】A
【分析】本题主要考查正方体展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键．
根据正方体展开的特征进行求解即可．
【详解】解：与“上”字所在面相对面上的汉字是“中”，
故选：A．
考点二 相交线与平行线
命题点01 数学依据
【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：B．
【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
命题点02 根据平行线的性质求角度
【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键．
由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．
延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：延长与直线交于点，
∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
中考预测题
1．某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
2．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
考点三 图形的平移
命题点01 生活中的平移现象
【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【答案】A
【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握平移的概念．
根据平移的概念解答即可．
【详解】解：小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移，
故选：A．
命题点02 利用平移的性质求解
【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键．
【详解】解：∵沿射线平移得到，
∴点与点是对应点．平移的距离为的长度，
又∵，，
∴．
故选：．
【典例02】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，由此解答即可．
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，
阴影图形的周长是：，
故选：A．
中考预测题
1．下列各组图形，可以由一个图形经过平移得到另一个图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平移的性质，解题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
【详解】解：A、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
B、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
C、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为（ ）
A．7B．9C．14D．18
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于矩形的周长．
【详解】解：图中五个小长方形的周长之和．
故选：C．
考点四 图形的轴对称
命题点01 轴对称图形
【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
命题点02 折叠问题
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案．
【详解】解：∵的面积为8，的面积为5，
∴的面积为，
由折叠可得：的面积为，
∴的面积为，
∴，
故答案为：
【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
中考预测题
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；
C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；
D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．
故选：C ．
2．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________．
【答案】
【分析】由翻折得点与点关于直线对称，，则垂直平分，而点是的中点，则，，，证明，再证得，所以，则，得，由勾股定理得，求得，再证明，则，可求，最后根据求出结果．
【详解】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大．
考点五 图形的旋转
命题点01 根据旋转的性质求坐标
【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
由旋转性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键．
【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，．
∵，即，．
，
点的坐标为，
故选： ．
命题点02 根据旋转的性质求角度
【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，
由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【典例02】 （2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
命题点03根据旋转的性质求面积
【典例01】（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∴A，，C三点共线，
∴，
又∵，
∴，，
∵重叠部分的面积，
∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________．
【答案】
【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积．
【详解】解：过点E作交延长线于点H，
∵为等边三角形
∴，
∵是中线，
∴，，
∴由勾股定理得：，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
命题点04 旋转中的规律
【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向B．正南方向C．正西方向D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可．
【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故选：D．
【典例02】（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
中考预测题
如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，作，的垂直平分线的交于点，则点．
【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线的交于点，则点，
故选：B．
如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】与交于点E，连接点，交于点F，由旋转得，，设，，则，，证明，由对应边成比例得，推出，由三角函数得，解直角三角形求出，，，则阴影部分的面积等于．
【详解】解：如图， 与交于点E，连接点，交于点F，
扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，
，，
，点C为的中点，
，，
设，，则，，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等，难度较大，解题的关键是得出的度数．
如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为_____ ．
【答案】8
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形的变化-旋转，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，结合旋转的性质可得出点的坐标，观察图形可知：图象上点以12（横坐标）为周期变化，结合可知点P的纵坐标和当时的纵坐标相等，由旋转的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值，此题得解．
【详解】解：当时，，
解得：，，
∴点的坐标为，
由旋转的性质，可知：点的坐标为，
，
∴当时，，
∵，
∴．
故答案为：8．
考点六 中心对称
命题点01 中心对称图形
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
故选：B．
【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
命题点02 根据中心对称的性质求坐标
【典例01】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键．
根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可．
【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点，
∴点的坐标为，
故选A．
【典例02】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O，
∴，
∴关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标是；
故答案为：．
中考预测题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：A．
2．扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为 ．
故答案为：．
好题速递
1．（2025·江苏南京·二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是
故选：D．
2．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，的角平分线
②图2，过点P垂直于直线l的垂线
③图3，点M与点N的对称中心
A．①B．①②C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（ ）
A．一次轴对称和一次平移B．两次轴对称
C．一次旋转D．一次轴对称
【答案】D
【分析】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解．
【详解】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意
B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意
C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意
D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意；
故选：D．
4．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________．
【答案】
【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解．
【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，
上半部分的体积为：，
下半部分的体积为：，
故杯中水的体积为：，
故答案为：．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由光的反射定律可知，，由平角的定义可求出的度数，则由平行线的性质可求出的度数，最后根据平角的定义可得答案．
【详解】解；由光的反射定律可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江苏泰州·三模）如图，在中，，，．直线l为经过点B的一条动直线（不与重合），点A关于直线l的对称点为，当点落在的一边上时，线段的长为______．

【答案】5或或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．作于点，根据，结合勾股定理求得，，分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作于点，

∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
当点落在边上时，如图，作于点，

∵点A与点关于直线l对称，
∴，，
四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
点落在边上时，如图，作于点，

∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵点A与点关于直线l对称，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
点落在边上时，如图，

∵点A与点关于直线l对称，
∴，
∴；
综上，线段的长为5或或．
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）在中，已知，，，以所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，将绕点按逆时针方向旋转得到（图1）

(1)直接写出C、F两点的坐标．
(2)沿轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（图2），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式．
(3)若与同时从点出发，分别沿轴、轴的负半轴以1米秒的速度平行移动，设移动后秒（如图3），与重叠部分的面积为，当点移动到的内部时，求与之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，重叠部分面积的最大值是
【分析】（1）根据勾股定理和坐标知识可求出，的坐标；
（2）因为，以及重叠部分的面积可用四边形和三角形的面积来表示出来，从而可求出解析式；
（3）分两种情况：当时和当时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作轴，过作轴，

∵在中，已知，，，
∴，
，
，
则，，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴同理可得，，
∴；
（2）解：如图，设与交于点，与轴交于点，

由题意得，，，
，，
，
，
，
，
点移动到的内部，
，
解得：，
与之间的关系式为；
（3）解：2秒后，移动到的内部，
当时，如图，，，

由（1）知，则
轴，
，
，
，
，
当时，有最大值；
当时，如图，延长与交于点，
，即，
，
，
，
当时，有最大值；
综上所述，与之间的关系式为，重叠部分面积的最大值是．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，二次函数的性质和最值的求法，平行四边形的性质等知识点，掌握相关知识是解决问题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴难题的学生．
8．（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短．
（1）连接交直线l于点P，点P即为所求；
（2）作直线m，使得河宽，连接交直线n于点C，作直线m于点D，连接，线段即为所求；
（3）作直线m，使得河宽，直线p，使得河宽，连接交直线n于点C，交直线q于点E，作直线m于点D，作直线p于点F，连接，，线段，即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求；
（2）解：如图②中，线段即为所求；
（3）解：如图③中，线段，即为所求．
中考闯关
1．小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（ ）
A．①②③B．②①③C．②③①D．③①②
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体从不同方向看物体的形状，掌握从不同方向看物体的形状的方法是正确解答的关键．
根据在不同方向上所看到的图形，在小路的相应位置标注即可．
【详解】解：在小路的相应位置标注所看到的图形的位置如图所示：
所以自东向西的顺序为①②③．
故选：A．
2．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线，地平面与相切，某时刻，当地纬度，太阳直射纬度时，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质、平行线的性质及角度的和差计算，熟练掌握切线的性质并结合平行线性质推导角度关系是解题的关键．
先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导太阳高度角的度数．
【详解】解：如图，设切点为，连接，
∵ 地平面与相切于，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
故选：C．
3．研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数的图像（如图所示），已知其和轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是（ ）
猜想一 函数和y轴交于点；
猜想二 函数可由向右平移个单位得到；
A．猜想一错误B．猜想二错误C．猜想均错误D．猜想均正确
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．把代入，得出，可判定猜想一正确，根据函数图像的平移规律可判断猜想二正确，即可得答案．
【详解】解：∵当时，，
∴函数和y轴交于点，故猜想一正确；
根据函数“左加右减”的平移规律可知，向右平移个单位得到函数，
∴函数可由向右平移个单位得到，故猜想二正确，
∴猜想均正确．
故选：D．
4．如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为______ ．

【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，作出以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，再根据点的坐标求出的长即可解答．
【详解】解：如图，以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点，
此时满足，的值最小，
∵点的坐标是，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，准确找到点的位置是解题的关键．
5．在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E，，且，则_____．
【答案】/
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，翻折变换，由四边形都是菱形，推出A，C关于对称，由，推出点E在线段上，证明四边形是菱形，推出，推出，设，，利用勾股定理求出可得结论．
【详解】解：如图，
∵四边形都是菱形，
∴A，C关于对称，
∵，
∴点E在线段上，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
6．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为_________．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余切，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据题意画出图形，过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据余切的定义可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线．
(1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式；
(2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标；
(3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，是解题的关键．
本题考查一次函数的综合、对称的性质．
（1）求出线段的中点，代入直线，解方程即得；
（2）可知直线的解析式为，根据直线，得直线l的解析式为，当时，求出y值即得；
（3）可知直线的解析式为，分点Q在点A和在点B时的对称点为，求出的坐标，得中点坐标，代入解析式求出m的临界值即得．
【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
∵直线过点P，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为．

（2）解：∵动点恒在直线上，
∴直线的解析式为
∵直线，
∴，
∴直线l的解析式为．
令，
则，
∴点P的坐标为．
（3）m的取值范围为．
解法提示：
根据题意可得，直线的解析式为，
则直线与x轴所夹锐角为．如解图，
当点Q运动到点A时，
记点Q的对称点为，直线所在位置为直线．
由可知，A与的水平距离为4，
∴垂直距离也为4，
∴点的坐标为，
∴直线经过的中点．
将代入，
得，
解得；
当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线．
由可知，B与的水平距离为4，
∴垂直距离也为4，
点的坐标为，
∴直线经过的中点．
将代入，得，
解得．
综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意，
故满足条件的m的取值范围是．
8．某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
(1)现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点；
(2)根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性．
(3)该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，三角形的中线平分面积，平行四边形的判定及性质，熟练掌握以上知识点，画出适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义画出图形，作直线即可；
（2）证明四边形是平行四边形，得到，进而通过即可完成证明；
（3）方法一：作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；利用三角形中线平分面积和两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，完成证明（方法不唯一，写出一种即可）．
【详解】（1）解：如图所示，，即为所求;
（2）如图所示，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，且点在上，
，
，
，
则四边形即为所求；
（3）（方法不唯一，写出一种即可）
方法一：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
，
则即为所求做的分割线；
方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
，
则即为所求做的分割线．
01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征）
02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）
03高频考点·妙法指津（6大命题点+15道中考预测题）
考点一 几何图形初步
命题点 1 几何体展开图
命题点 2 平面图形旋转后所得的立体图形
命题点 3 正方体相对面的字
中考预测题3道
考点二 相交线与平行线
命题点 1 数学依据
命题点 2 根据平行线的性质求角度
中考预测题2道
考点三 图形的平移
命题点 1 生活中的平移现象
命题点 2 利用平移的性质求解
中考预测题2道
考点四 图形的轴对称
命题点 1 轴对称图形
命题点 2 折叠问题
中考预测题2道
考点五 图形的旋转
命题点 1 根据旋转的性质求坐标
命题点 2 根据旋转的性质求角度
命题点 3 根据旋转的性质求面积
命题点 4 旋转中的规律
中考预测题4道
考点六 中心对称
命题点 1 中心对称图形
命题点 2 根据中心对称的性质求坐标
中考预测题2道
04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题）
考点
考向
命题特征
几何图形初步
1.几何体展开图
2.平面图形旋转后所得的立体图形
3.正方体相对面的字
1.主要以选择题或填空题形式出现；
2.识别常见几何体的表面展开图，判断给定展开图能否折成指定几何体）；
3.平面图形绕某条直线旋转一周后形成的立体图形判断；
4.根据正方体表面展开图，确定相对面上的汉字、数字或符号
相交线与平行线
1.数学依据
2.根据平行线的性质求角度
1.常以选择题与填空题的形式出现；
2.结合具体几何情境，判断推理过程中所依据的公理或定理；
3.利用平行线的性质进行角度计算，常结合对顶角、邻补角、角平分线等知识综合考查
图形的平移
1.生活中的平移现象
2.利用平移的性质求解
1.常以选择题与填空题的形式出现；
2.识别生活中属于平移的实例，排除旋转、对称等其他图形变换；
3.运用平移的性质解决问题，如计算平移后图形的坐标、图形重叠部分面积、最短路径等
图形的轴对称
1.轴对称图形
2.折叠问题
1.常以选择题与填空题的形式出现；
2.识别常见的轴对称图形，判断图形是否为轴对称图形及确定对称轴的数量和位置；
3.利用轴对称的性质解决折叠后的角度、线段长度计算问题
图形的旋转
1.根据旋转的性质求坐标
2.根据旋转的性质求角度
3.根据旋转的性质求面积
4.旋转中的规律
1.常以选择题与填空题的形式出现；
2.在平面直角坐标系中，已知原图形关键点的坐标、旋转中心、旋转方向和旋转角，求旋转后对应点的坐标；
3.利用旋转的性质计算旋转角或图形中相关角的度数；
4.利用旋转的性质将分散的图形旋转后拼接成规则图形，进而计算阴影部分面积或图形面积；
5.探索图形在连续旋转过程中的变化规律，如点的坐标循环规律、图形的周期性变化等
中心对称
1.中心对称图形
2.根据中心对称的性质求坐标
1.常以选择题与填空题的形式出现；
2.识别常见的中心对称图形，判断图形是否为中心对称图形；
3.利用中心对称的性质求对称点的坐标
《解题指南》
画图辅助法：复杂题目需画出规范图形，用不同颜色标注已知条件
定义回归法：遇到新概念问题，从定义出发（如判断是否为线段，需满足"两点间直线段"）
分类讨论法：涉及点的位置、图形方位等问题要考虑多种情况（如点在线段上或延长线上）
单位检查法：角度计算后检查是否有度分秒换算错误，线段长度注意单位统一
《解题指南》
1. 强化模型识别：熟练掌握“三线八角”、“M型”、“Z型”等基本图形
2. 规范书写步骤：证明题需注明依据（如“对顶角相等”“两直线平行，内错角相等”）
3. 专题训练：每天完成3-5道综合题，重点突破辅助线添加和角度转化
4. 错题整理：建立错题本，分类记录“概念混淆”“辅助线错误”“步骤遗漏”等问题
《解题指南》
把握核心性质：始终牢记平移的"三不变"（形状、大小、方向）和"两对应"（对应点连线、对应线段）特征
善用坐标工具：在坐标系中解决平移问题时，熟练应用坐标变换公式
动态问题静态化：对于运动平移问题，通过参数表示位置，转化为函数问题
辅助线构造：遇到复杂图形时，可通过平移构造平行四边形或全等三角形
多题归一训练：总结常见平移模型，如"平移产生重叠面积"、"平移形成路径"等典型题型的解题套路
《解题指南》
对称轴是“直线”而非“线段”或“射线”，需用直线符号表示（如直线l）。
区分“轴对称图形”与“成轴对称”：前者是一个图形自身对称，后者是两个图形间的对称关系。
作图时需保留作图痕迹（如垂线、延长线、对称点标注）。
利用轴对称求最值时，需验证“三点共线”条件是否满足。
《解题指南》
1.强化性质应用：熟练掌握旋转的三大性质，遇题先标记对应点、旋转中心和旋转角。
2.多练构造技巧：针对等腰、等边、正方形等图形，总结旋转角度和辅助线添加规律。
3.动态问题多画图：通过静态分析动态过程，找出不变量和临界位置。
4.错题归因：区分是概念混淆（如旋转方向）还是计算错误，针对性改进。
《解题指南》
中心对称要记牢，旋转半周能重合；
对称中心分线段，对应关系要找好；
坐标变换符号反，中点公式常用到；
遇中点，常倍长，构造全等思路妙。