专题01 数与式、方程（组）与不等式（组）（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习

这是一份专题01 数与式、方程（组）与不等式（组）（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习，共30页。学案主要包含了整式的混合运算，化简求值问题，乘法公式与几何面积的综合运算，规律探究问题，因式分解，分式有/无意义，值为0的条件，分式的混合运算等内容，欢迎下载使用。
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc221119053" 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
\l "_Tc221119054" 考点二 方程（组）与不等式（组）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
考点一 数与式

题型一 实数的混合运算
1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：，
，
，
．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）计算．
【答案】6
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式．
3．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：．
【答案】10
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
题型二 大小比较问题
4．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出．
【详解】解：∵
，
∵，
∴，，，
∴，
∴．
5．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）比较与的大小；
（2）比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查完全平方公式的应用；
（1）作差后配方比较大小即可；
（2）作差后配方比较大小即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴．
6．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D；
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．

∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
（3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，

∴，
，
．
又∵是A关于的对称点，
∴．
又根据两点之间线段最短，，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最小值为．
故答案为：．
题型三 用科学记数法表示大于1或小于1的数
7．（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为_______．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将166200写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
8．（2025·江苏宿迁·中考真题）宿迁市年第一季度总量突破一千亿大关，约为亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选：．
9．（2025·江苏连云港·中考真题）2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：
故选：C．
题型四 整式的混合运算
10．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
11．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可．
【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意；
B、，原选项错误，故本选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意；
D、，原选项错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
12．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
题型五 化简求值问题
13．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
14．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
15．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题考查代数式化简求值.用整式乘法和乘法公式将代数式展开，然后合并同类项，得出化简结果，最后将代入求值即可.
【详解】解：
，
当时，原式．
题型六 乘法公式与几何面积的综合运算
16．【探究】
若x满足，求的值．
设，则，
；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，则的值为 ；
【拓展】
（2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．
① ， ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；（2）；②12
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
（1）设，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与；
②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）设，
则，
；
（2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、
，
，，
故答案为：．
②∵长方形的面积是 8 ，
，
阴影部分面积，
设，
则，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积是 12 ．
17．（2025·江苏扬州·二模）综合运用所学知识，解决以下问题：
(1)如图，是半圆O的直径，C为半圆弧上一个动点，，垂足为D，若．
①通过思考发现结论：______________；（直接用a，b简洁表示）
②利用①得到的结论，请结合图形说明：；
(2)小明从中获得启发，解决了一个问题：
已知：如图，矩形．
求作：正方形，使得正方形的面积与矩形的面积相等．（保留作图痕迹，简要写出作图步骤）
(3)如图，小林想利用一段长为的围墙围成面积为的矩形养鸡场，矩形的一边在上，且不超过，栅栏都与栅栏垂直，上有两扇宽的小门，则所需栅栏的最小长度______________m，此时______________m．
【答案】(1)①，②见解析；
(2)作图见解析；
(3)，
【分析】（1）①如图，连接AC、BC，利用AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点D，求证△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形对应边成比例即可求得；②连接OC，根据，即可求得结论；
（2）根据射影定理和（1）中的结论即可作出图形；
（3）设AB=xm，根据“围成面积为的矩形养鸡场”列出方程，整理可得：，然后根据，即可求得最小长度L以及此时AB的长度．
【详解】（1）解：①如图，连接AC、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即：，
∴，
故答案是：ab；
②如图，连接OC，
由（1）得：，
∴，
∵．
∴AB=a+b，
∴，
∵C为半圆弧上一个动点，，
∴，
即：，
∴；
（2）解：如图，
作法：①延长AB至点H，使BH=BC；
②以AH为直径，以AH的中点O为圆心，作半圆O；
③延长BC交半圆O于点E；
④以点B为圆心，以BE长为半径画弧交AB延长线于点G，以点G为圆心，以GB长为半径画弧交BE的垂线EF于点F；
则正方形就是所要求作的图形；
（3）解：设AB=xm，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴
∴，
∴所需栅栏的最小长度，
此时，，
解得：x=4，x=-4（舍去），
∴AB=4m．
故答案是：22，4．
【点睛】本题主要考查了复杂作图、直径所对的圆周角是90°、相似三角形的判定与性质等，灵活应用前面所得到的结论求解是解题的关键.
18．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则________．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，平方的非负性，根据题意正确列式是解题关键．根据题意，先用含有a、b的代数式分别表示 、，再根据，得到，然后利用平方的非负性求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
题型七 规律探究问题
19．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示）
【答案】/
【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个黑色棋子，
第二个图形有个黑色棋子，
第三个图形有个黑色棋子，
…，
第n个图形有个黑色棋子，
故答案为：．
20．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
∴第⑤组勾股数为；
故答案为：．
21．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
（1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________；
（2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
［解决问题］
（3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．
（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个
【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键．
（1）观察数据即可解答；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为；
（3）上述公式列方程即可解答；
（4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可．
【详解】解：（1）根据观察可得，
故答案为：；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，
又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，
又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
（3）由题意可得，，
，
根据（1）中公式可得，
可得，
解得，
则这个正多面体的面数为；
（4）由题意可得，，
代入可得，
，
，
，
为正整数，且，，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，无论取任何值，，故不成立，
综上，满足正多面体定义的几何体一共有个．
题型八 因式分解
22．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：.
故选：C
23．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________．
【答案】
【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
24．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）①________；②________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．
反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________；
②若、均为整数，且、满足，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②
【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键．
（1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解；
（2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；
（3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①∵
∴；
②∵
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①根据题意得：
∴，
故答案为：；
②，
∴，
∴，
∵、均为整数，
∴为奇数，不能为3的倍数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴．
题型九 分式有/无意义，值为0的条件
25．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 .
【详解】∵ 分式 有意义需分母 ，
∴ ，
故选： A．
26．（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
根据分式的分母不为0即可求解．
【详解】解：要使分式有意义，
则，
解得，
故选：A．
27．（2025·江苏常州·二模）若代数式的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键；由题意易得且，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：且，
∴；
故选A．
题型十 分式的混合运算
28．（2025·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，立方根的含义，分式的混合运算；
（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，立方根，再合并即可；
（2）先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
29．（2025·江苏南通·中考真题）（1）解不等式组；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分别求解不等式组中两个不等式，再取它们的公共部分得到解集；
（2）先对括号内式子通分相加，再对分子因式分解，然后通过约分计算出结果 ．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及分式的混合运算，熟练掌握解不等式的步骤、分式运算的通分、因式分解和约分是解题的关键．
【详解】解：（1）
解不等式得：
解不等式得：
故原不等式组的解集为；
（2）原式
30．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
题型十一 二次根式的混合运算
31．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
32．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是________．
【答案】/
【分析】先将分子中的二次根式化简，再把分子拆分为两项分别与分母进行除法运算，最后计算结果．本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：
33．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
知识1 实数的混合运算
实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.
【易混易错】
1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律．
2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
知识2 整式的混合运算
整式的加减
运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
幂的运算
幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.
1、同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）
2、幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）
3、积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）
4、同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）
5、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.
整式的乘除
1、单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
2、单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.
3、多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.
【易错易混】
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4、单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
5、多项式除以单项式
运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
乘法公式
1、平方差公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：
2、完全平方公式
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.
整式的混合运算
定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.
运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
知识3 因式分解
1. 因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 因式分解的一般步骤：
知识4 分式的运算
1.分式及其性质
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
3.分式的混合运算
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
知识5 二次根式的运算
1.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
易错易混
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
1．（2025·江苏南通·模拟预测）将7.6万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：7.6万，
故选：D．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
3．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者，
∴．
对化简：
，即，，
∴，也就是．
对变形可得．
把代入上式，得．
故选：C
4．（2025·江苏徐州·三模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了乘法公式、二次根式的乘法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则和公式计算即可得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键．
由已知可得，将其代入得到，而，得到，再转化为二次函数求最值处理．
【详解】解：∵当时，该多项式的值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，当时，，
∴，
故选：A．
6．（2023·江苏南京·一模）如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，分式的减法等知识，数形结合是解题的关键．由图可知：，，即可得， 在结合不等式的性质，逐项判断即可作答．
【详解】由图可知：，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，故A、B项错误，
∵，
∴，即，故C项正确，
∵，
又∵，，，
∴，
∴，
∴，故D项错误，
故选： C．
7．（2025·江苏常州·一模）若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得到且a，b同号，结合得到，整理后，解方程即可．
本题考查了非负性，解方程，求代数式的值，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：由得到且a，b同号，
∵
∴
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
故或，
当时，；
当时，；
故选：A．
8．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．与a的值有关
【答案】C
【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的应用．
模仿材料中的方法，将 写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵
，
∴ 的算术平方根是 ．
故答案为：．
10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到，再运用平方差公式即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
故，
∴，
故，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是______．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
12．（2025·江苏镇江·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则_____．
【答案】69
【分析】本题考查了数字类的规律问题和整式的加减，解二元一次方程组，本题正确设未知数是关键．设这一列数中有个，个2，根据已知列方程组得，解方程组可得和的值，最后代入可得答案．
【详解】解：设这一列数中有个，个2，
，，
，，
，
解得：，
．
故答案为：69．
13．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为___________．
【答案】729
【分析】本题考查了图形类规律探究，先根据给出的图②和图③找出出现“1”的规律，然后根据规律即可得解．
【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，
前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个），
同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个），
前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个），
前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍，即前64行中“1”的个数为（个），
故答案为：729．
14．（2025·江苏南通·二模）已知实数，满足，则__________．
【答案】75
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，完全平方公式的变形求值，根据题意可求出，再由计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁．
男职工延迟法定退休年龄对照表（部分）
王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是______．
【答案】年月
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁，
即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，
∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，
∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，
∵李斌比王强小个月，
∴李斌的出生年月是年月，
故答案为：年月．
16．（2025·江苏无锡·模拟预测）（）计算：
（）若，求代数式的值．
【答案】（）；（）
【分析】（）利用二次根式的性质、负整数指数幂、特殊锐角三角函数值和绝对值性质分别化简，再进行加减运算即可；
（）将原式化简后代入数值计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
【详解】（）解：原式
；
（）解：∵，
∴，
原式
．
17．（2025·江苏扬州·一模）（1）计算：．
（2）先化简：，然后在、、三个数中选一个合适的数作为的值代入求值
【答案】（1）；（2），．
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）解：
，
分式要有意义，
且，
且，
，
当时，原式．
18．（2025·江苏南通·三模）（1）解不等式组
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组、求不等式组的整数解、分式化简求值：
（1）先分别求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可确定不等式组的解集．
（2）先对通分，再对因式分解，进行化简求值．
【详解】（1）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是：．
（2）解：
．
原式．
19．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”．
如：，，则0和1都是“树人数”．
(1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由．
(2)下列说法正确的序号有______．
任何一个奇数都是“树人数”；
任何一个偶数都是“树人数”；
任何一个被4整除的数是“树人数”；
任何一个被4除余2的数是“树人数”．
(3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”．
【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点
（1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”；
（2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件；
（3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式．
【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”，
理由：假设存在整数a，b，使得，则：，
因数分解可能为或，
或，解得：或非整数，矛盾，
不是“树人数”，
，
是“树人数”；
（2）①设奇数，令，，则：，故①正确，
②由（1）中2不是“树人数”得出②错误，
③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确，
④设被4除余2的数是，若存在a，b使得，
∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误，
故答案为：①③；
（3）证明：，b是“树人数”．
设，是整数
或
，n，p，q是整数．
，，，都是整数．
能写成两个整数的平方差的形式．
是“树人数”．
20．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题：
素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间．
素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例：
第一分道米；
第二分道米；
第三分道米；
第四分道米，
……
问题解决：
(1)小明同学计算的第5分道______米；（化简后的式子含）
(2)小明同学在为学校运动会规划比赛场地时，需要画出400米跑道的平面示意图，若小明选取的比例尺是，那么直道长84.39米的图上距离是______（取整数）；
(3)小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸______米（取3.14，结果取整数）；
(4)暑假第一天，小明与小亮晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，小明以4米／秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步．小亮沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，请计算出两人在第二次相遇前相距50米的时间．（第一分道实跑线长度取400米）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)秒或秒或秒或秒
【分析】本题主要考查列代数式的实际应用．
（1）根据前面得出的规律，第分道的长度为米，把代入计算即可；
（2）根据题意，设图上距离是厘米，得出，计算求解即可；
（3）分别计算出第2道和第1道的长度，再做差计算出第2道比第1道长的距离即可；
（4）在第二次相遇前相距50米有四种情况，分别就四种情况进行讨论计算即可．
【详解】（1）解：根据前面得出的规律，
第分道的长度为米．
当时，
故答案为：．
（2）解：∵比例尺是，
设图上距离为厘米，∵，
则，解得，
故答案为：．
（3）解：第一分道长度为米，
第二分道长度为米，
第二分道比第一分道多出的距离为：
米，
故答案为：．
（4）解：由题意得，小亮的平均速度为米/秒，
他们从开始到第一次相距米，用时为秒，
所以小明的路程为米，小亮的路程为米，
所以 ，解得，
设他们从开始到第二次相距米，用时为秒
，解得，
设他们从开始到第一次相遇用时为秒，
从开始到第一次相遇，他们一共所跑路程为米，
所以，
解得，
第三次相距米时所用时间为秒，
第四次相距米时，同理时间为秒，
综上:第二次相遇前相距米的时间为秒，秒，秒，秒．
考点二 方程（组）与不等式（组）
题型一 已知方程（组）的解，求参数
1．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为6．
故答案为：6．
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题关键．
根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案．
【详解】解：将代入得，，
解得，
故选：A．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ___________________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
关于的一元一次方程是妙解方程，
，
，
的值为．
故答案为：．
题型二 解方程（组）、不等式（组）
4．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得，．
原不等式组的解集为：．
5．（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法．
（1）把方程化为，再进一步解方程即可．
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：（1），
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）利用配方法求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1），
移项，得，
配方，得，即，
开平方，得，
解得，
即，
（2）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
因此该不等式组的解集为：．
题型三 一元二次方程根的判别式
7．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
9．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：1．
题型四 一元二次方程根与系数的关系
10．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
11．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
12．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数．
(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
【答案】(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于0即可；
（2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，原方程为，
∵、是此方程的两个根，
∴，
∴
∴
．
题型五 一元二次方程新定义问题
13．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可．
【详解】解：※，
，即，
关于x的方程k※有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
故答案为：且．
14．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则______．
【答案】1或3
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的方程是邻根方程，
∴或，
解得，或3，
故答案为：1或3．
15．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值；
(3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值．
【答案】(1)
(2)420
(3)1；3；6；10
【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）直接运用平方根的知识估算即可解答；
（2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值；
（3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的值为．
（2）解：设，k、m为正整数，
∴，
∴，
∵41只有因数1和41，
∴，解得：，
∵，
∴．
（3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解，
∴恒成立，即，
∴，
∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，
∴或为整数，
设(k为非负整数)，则，解得：，
∵a为正整数，
∴k为正奇数，且，
设（为正整数），则，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，，不符合题意；
，
当时，，此时，，都不是整数；
∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10．
题型六 分式方程的参数问题
16．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是____．
【答案】且
【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．
先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
解得：，
分式方程的增根为：
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，且．
故答案为：且．
17．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键．
分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【详解】解：，
去分母得：，
解得： ，
∵关于x的方程的解大于1，
∴得到 ，且，
解得：且．
故答案为：且．
18．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
∵解为负数，
∴，
∴，
当时，，
∴且，
故答案为：且．
题型七 不等式（组）与整数解问题
19．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____．
【答案】5
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可．
【详解】解：分式方程的两边都乘以得：，
解得，
，
，
，
方程的解为正数，
，
且；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
．
且
整数的和为；
故答案为：5．
20．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可．
【详解】解:
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有5个，
，
解得：，
故选：C．
21．（2024·江苏宿迁·三模）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和不等式组的最小整数解是2确定b的范围成为解题的关键，
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据最小整数解是2确定b的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴关于x的不等式的解集为；，
∵方程组的组最小整数解是2，
∴，即．
故选D．
题型八 根据实际问题列方程
22．（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可．
【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得：
；
故选B．
23．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
24．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得，
由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得，
因此可列方程组，
故选D．
题型九 利用方程、不等式解决实际问题
25．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？
【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元，
根据题意得：，
解得：．
答：每杯饮料元，每杯饮料8元．
26．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元
(2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
27．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
知识1 解一元一次方程
知识2 解二元一次方程（组）
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
【易错易混】
1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数.
2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
知识3 解分式方程
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
知识4 解一元二次方程
一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
当b＞0时，则x1=ba=，x2= -ba，此时方程有两个不相等的实数根；
当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当b＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
知识5 解一元一次不等式组
解一元一次不等式的一般步骤为：
【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
解一元一次不等式组的一般步骤
第一步：求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
1．（2025·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．求的汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了．等量关系为：原来时间现在时间2．
【详解】解：设汽车原来的平均速度是，
根据题意得：
解得：
经检验：是原方程的解，
所以，汽车原来的平均速度是．
故选：B．
2．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，设雀重x两，燕重y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】解：设雀重x两，燕重y两，
由题意得，．
故选：D．
3．（2025·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，平方的非负性的应用及解二元一次方程组，熟练掌握不等式性质是解题的关键．由题意得，可求，则，可求，进而可得．
【详解】解：由题意得，
解得：，
∴，
解得:，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题．
【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点，
，
整理得，
当时，不等式恒成立，
整理得，
当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾，
当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ，
，即，有，
即，解得，
综上，
，，
即，解得，
故选：B．
5．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为______．
【答案】/
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解．
由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，，
∴，，
∴
，
∴的值为．
故答案为：．
6．（2025·江苏扬州·三模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是__．
【答案】
【分析】本题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握分类讨论思想是解题的关键．
分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得到关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：当，即时，方程为，
解得，
∴方程有实数根，符合题意．
当，即时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
∴．
综上所述，m的取值范围为．
7．（2025·江苏宿迁·二模）已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为_______．
【答案】/
【分析】本题主要考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，算术平方根应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的基本性质．先根据得出，根据，得出，根据不等式的基本性质得出，即可得出，两边开平方得出，最后代入，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c均为正数，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
8．（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______．
【答案】，且
【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤．
利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围．
【详解】解：
根据分式方程的解为负数可得，且，即，
解得，且，
故答案为：，且．
9．（2025·江苏无锡·一模）央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为，根据题意可得方程为______．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用大年初三接待游客人次数大年初一接待游客人次数年均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
10．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：______
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题．
【详解】解：，
解得，
互为“方程”的两个方程解之和为2，
方程的一个“方程”解为，
方程的一个“方程”为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是____．
【答案】
【分析】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，由题意得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：实数，且、满足，，
与为方程的两根，
，，
，
故答案为：．
12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ___________________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
关于的一元一次方程是妙解方程，
，
，
的值为．
故答案为：．
13．（2025·江苏南通·一模）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
数轴表示如下：
∴不等式组的解集为：．
14．（2025·江苏连云港·二模）解不等式组
【答案】
【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法，能求出两个不等式解集的公共解集．
分别解出两个不等式的解集，再找公共解集即可．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：；
∴不等式组解集为：．
15．（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组；
（1）解二元一次方程组的指导思想是消元即减少未知数的个数，根据不同的情况选择合适的消元方法，一般采用加减消元法；
（2）解一元一次不等式组时，先求出每个不等式的解集，然后找到解集的公共部分，即为不等式组的解集.
【详解】（1）解：，
，得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
故方程组的解为：.
（2）解：，
解不等式，去括号：
移项合并：
系数化为1：；
解不等式，去分母：
移项合并：
系数化为1：；
同小取小
故不等式组的解集为：．
16．（2025·江苏无锡·模拟预测）（1）先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值．
（2）解不等式组：
【答案】（1），当时，原式；（2）
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）先根据分式的运算法则化简分式，再选择一个让原式的所有分母都不为0的值代入求值即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求解．
【详解】（1）解：原式
，
∵，
∴和0，
∴当时，
原式；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是．
17．（2025·江苏泰州·三模）项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
【答案】任务一：，；任务二：该收纳盒的高为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
故答案为：，；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该收纳盒的高为．
18．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件．
【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根．
本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程．
【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件．
19．（2025·江苏连云港·模拟预测）年月日，神舟二十号载人飞船成功发射，月日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各个共元，购进种航空模型个和种航空模型个共需元．
(1)求、两种航空模型进价分别多少元；
(2)某商店计划购买、两种航空模型共个，若、两种航空模型的售价分别是元和元，要使获得的利润不低于元，请问至少购买种航空模型多少个？
【答案】(1)种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元
(2)至少购买种航空模型个
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键．
（1）设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题；
（2）设购买种航空模型个，则购买种航空模型个，根据“获得的利润不低于元，”建立不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元；
（2）解：设购买种航空模型个，则购买种航空模型个，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少购买种航空模型个．
20．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
(1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
【答案】(1)
(2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键．
（1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可；
（2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，；
当时，设，
把代入中得：，解得，
∴；
综上所述，；
（2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台，
由题意得，，
解得；
当时，则，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为；
当时，则
，
∵，对称轴为，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∵，
∴当，时，w有最小值，
答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）．
真题动向
题型一：实数的混合运算
题型二：大小比较问题
题型三：用科学记数法表示大于1或小于1的数
题型四：整式的混合运算
题型五：化简求值问题
题型六：乘法公式与几何面积的综合运算
题型七：规律探究问题
题型八：因式分解
题型九：分式有/无意义，值为0的条件
题型十：分式的混合运算
题型十一：二次根式的混合运算
必备知识
知识1 实数的混合运算
知识2 整式的混合运算
知识3 因式分解
知识4 分式的运算
知识5 二次根式的运算
命题预测
真题动向
题型一：已知方程（组）的解，求参数
题型二：解方程与不等式
题型三：一元二次方程根的判别式
题型四：一元二次方程根与系数的关系
题型五：一元二次方程新定义问题
题型六：分式方程的参数问题
题型七：不等式（组）与整数解问题
题型八：根据实际问题列方程
题型九：利用方程、不等式解决实际问题
必备知识
知识1 解一元一次方程
知识2 解二元一次方程（组）
知识3 解分式方程
知识4 解一元二次方程
知识5 解一元一次不等式组
命题预测
命题
透视
命题形式：直接考查实数、科学记数法、相反数、绝对值等的概念；从运算的角度来说，考查实数、整式、方程和不等式的计算问题；
命题内容：
1）数与式：重点考查实数的基本概念、科学记数法、幂的运算，整式与分式的化简求值、二次根式的混合运算。
2）方程与不等式：考查一元二次方程、不等式（组）的计算问题。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
2022年
2021年
实数的概念与运算
T1：实数的相关概念
T5：实数的大小比较
T9：二次根式混合运算
T1：实数的相关概念
T3：科学记数法
T7：实数大小比较
T9：二次根式混合运算
T15：利用二次根式的性质化简
T18：分式的混合运算
T1：科学记数法
T2：无理数大小估计
T7：利用二次根式的性质化简
T9：二次根式混合运算
T17：分式混合运算
T1：实数的相关概念
T3：估计算术平方根的取值范围
T1：科学记数法
T4：有理数减法的实际运用
T5：算术平方根立方根的综合应用
T19：分式的混合运算
整式的运算与化简求值
T3：分式有意义的条件
T20：分式的大小比较
T2：平方差公式分解因式
T8：分式有意义的条件
T10：因式分解
T2：幂的运算
T12：同底数幂乘法
T17：分式化简求值
T2：幂的运算
一元一次方程与二元一次方程组
T19：二元一次方程组的销售利润问题
T19：二元一次方程组的和差倍分问题
一元二次方程
T11：一元二次方程解的估算
T16：公式法解一元二次方程
T10：一元二次方程的解法
T10：一元二次方程根与系数的关系
分式方程
T10：分式方程解的含参问题
T11：解分式方程
T18：解分式方程
方程与不等式综合
T17：不等式组的解集
T6：一元一次不等式解决实际问题
T17求不等式组的解集：
T18：求不等式组的解集
T5：不等式的基本性质
T18：求不等式组的解集
T17：求一元一次不等式
命题预测
1. 考情预测
数与式：
基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。
中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。
工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。
方程与不等式：
核心考点：一元二次方程的判别式与根与系数的关系、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。
综合趋势：方程（组）+ 不等式 +一次函数、二次函数中的实际应用类问题成为近些年中考题的重点。
情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。
2. 备考建议
夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。
突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。
强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。
关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：
1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；
2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；
②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.
正多面体
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
1、因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2、要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3、因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零.
2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.
1、结果要化为最简二次根式或整式；
2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
出生时间
改革后法定
退休年龄
改革后退休
时间
出生时间
改革后法定
退休年龄
改革后退休
时间
年月
岁个月
年月
年月
岁个月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题.
解一元一次不等式组的一般步骤
第一步：求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）.
1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0;
3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0.
1、一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2、当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为x1+x2＝−p， x1•x2＝q.
3、以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4、运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
步骤
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边
合并同类项
把方程变为ax=b（a≠0 )的形式
系数化为1
将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=ba
步骤
具体做法
注意事项
去分母
在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式
1）不要漏乘不含分母的项；
2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘；
2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号..
移项
一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边
1）移项时不要漏项;
2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号.
合并同类项
把不等式变为ax＜b、
ax≤b、ax＞b、ax≥b
a≠0的形式
1）不要漏项；
2）系数的符号处理要得当.
3）字母及指数保持不变.
系数化为1
将不等式化为的形式
1)不等式两边都除以未知数系数;
2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.