提分小卷限时练（解答ABC三组，综合训练）（南京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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（考试时间：90分钟 试卷满分：96分）
解答题（本大题共10小题，满分76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．（7分）解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则．
先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ．
2．（7分）如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
根据同位角相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧交于点D，交于点F，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即．
【详解】解：如图，直线即为所求．
3．（8分）得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台．
【答案】无人机10台，无人配送车20台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解．
【详解】解：设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，
根据题意，得，
解得，
答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车20台．
4．（7分）已知实数a，b，c满足，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键．
（1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论；
（2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（8分）一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．
(1)从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ．
(2)从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色）
【答案】(1)
(2)表格见解析，
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件，同时注意“有放回”和“无放回”的区别．
（1）根据各种颜色球的个数，直接求出概率；
（2）无放回摸球，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一红一蓝的情况，进而求出概率．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）用列表法得出所有可能出现的情况如下：
共有12种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，
．
6．（7分）某学校开展“家国情·诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟），将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)这组数据的中位数所在的等级是_______，
(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．
【答案】(1)40
(2)D等级
(3)585人
【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图，中位数，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．
（1）根据频数样本容量所占百分数，合理选择计算即可；
（2）根据中位数的定义计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想计算即可．
【详解】（1）解：（人），
．
（2）解：，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级，
故答案为：等级．
（3）解：，
（人），
答：受表扬的学生人数585人．
7．（8分）已知：如图，为正方形的对角线．
(1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作的角平分线即可．
（2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（1）得∶平分，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴．
8．（8分）（1）知识回顾：
如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______
（2）知识应用：
如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______．
（3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳．
小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个）
小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离．
【答案】（1）；（2），；（3）；不可以，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键．
（1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可；
（2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可；
（3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断；
②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离；
【详解】（1）中，速度，
她行驶的距离为：，
中，平均速度为：，
她行驶的距离为：，
她行驶的总距离为：；
故答案为：17；
（2），
，
到达所用的时间为：，
故答案为：，；
（3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，
小明的游泳轨迹可能是，
故答案为：；
②不可以，
设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为，
小明的平均速度为：，
小明有用的竖直距离为：，
解得：或，
，
，
9．（8分）如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发．
(1)当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ；
(2)当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列一元一成方程、解直角三角形、一元一成方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形、运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键．
（1）先分别表示出渔船、快艇的路程，然后根据各自出发地的距离相等列出方程即可；
（2）先根据题意作出辅助线、构造直角三角形可得，，．在中解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得，然后根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为，
所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程．
（2）解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线．
由题意得，，．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
，，
，解得．
10．（9分）已知二次函数经过点（m是常数，且）．
(1)用m的代数式表示字母b，则______；
(2)当m=3时，求函数的顶点坐标；
(3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围；
(4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
（1）将点代入二次函数表达式即可求得答案；
（2）利用配方法或公式法即可求得顶点坐标；
（3）分三种情况：①时，②当时，③当时，分别运用二次函数的性质列不等式求解即可；
（4）设抛物线交y轴于M，交于N，则，，根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：将点代入二次函数，得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴，
∴函数的顶点坐标为；
（3）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
①时，，
解得：，
∴；
②当时，
由，得，
∴，
解得：，
∴；
由，得，
∴，
解得：，
∴；
∴当时，都成立；
③当时，当时函数取得最大值，
∴，
解得：，
∴都成立；
综上，m的取值范围为；
（4）解：∵，
∴，
如图，设抛物线交y轴于M，交于N，
则，，
∵点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，
∴或，
解得：或；
故答案为：或．
11．（11分）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．
(1)求点到直线的距离．
(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．
①当直线与优弧相切时，的值为______．
②当时，求阴影部分面积．
(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．
【答案】(1)；
(2)①或；②；
(3)
【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解．
（1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离．
（2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值；
②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积．
（3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得；
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得；
综上，当直线与优弧相切时，的值为或，
故答案为：或；
②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，取得最大值，
此时的最大值为，
故答案为：．
（考试时间：90分钟 试卷满分：96分）
解答题（本大题共10小题，满分76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．（7分）（1）解方程：．
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的求解，注意计算的准确性即可；
（1）方程两边都乘，将分式方程化为整式方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）原方程可化为：，
解得：；
检验：当时，；
∴是原方程的解；
（2），
解①得：；
解②得：；
∴原不等式的解集为，
2．（7分）如图，已知，，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
若使，则，即，根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【详解】解：，，
，
，
即利用尺规作即可．
如图，点即为所求．
3．（8分）某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克．
(1)该商品的进价是多少？
(2)已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？
【答案】(1)该商品的进价是元
(2)该商店需将商品的售价定为元或元
【分析】（1）设该商品的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）根据题意得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设该商品的进价是元，
根据题意得
即，
解得：，经检验是原方程的解，且符合题意．
答：该商品的进价是元．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：该商店需将商品的售价定为元或元
4．（7分）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】，时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．
先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：．
，
∵且，
∴且，
∴，
∴原式．
5．（8分）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
A．酚酞 B．氢氧化钠溶液（碱性） C．盐酸溶液（酸性） D．蒸馏水（中性）
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．
(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，
∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下．
共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种，
混合后的溶液变红色的概率为．
6．（7分）为迎接中考体育测试，某校九年级学生共进行了五次体育模拟测试、小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
．
根据上述信息，完成下列问题：
(1)甲同学五次测试成绩的众数为________分，中位数为________分；
(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩的平均数和方差分析，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
(3)如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为68分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”）
【答案】(1)69，69
(2)乙的体育成绩更好，理由见解析
(3)变小
【分析】本题考查平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式．
（1）根据众数和中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数和方差作比较可得结论；
（3）求出甲6次模拟测试成绩的方差，然后与前5次模拟测试成绩的方差作比较即可；
【详解】（1）解：甲同学的成绩为 65、69、67、69、70，其中69出现了2次，次数最多，
∴众数为69分．
将成绩从小到大排列为 65、67、69、69、70，中间的数是 69，
∴中位数为69分．
故答案为：69，69；
（2）甲的平均成绩：分
从乙的方差计算过程可知，乙的平均成绩 分．
两人平均数相同．
乙的方差 ．
乙的体育成绩更好．因为两人平均成绩相同，但乙的方差更小，
∴乙的成绩更稳定．
（3）第六次成绩为 68 分，与平均数相同．加入该成绩后，平均数仍然为68
，
原来5次的方差是 ，
∵，
∴方差确实变小了
故答案为：变小．
7．（8分）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键．
（1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可．
（2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，
由题意得，是等腰直角三角形
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：；
②如图：当时，
根据题意得，四边形，，是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
∴解得，或（舍）；
③如图：当时，最大半圆的半径为：；
综上，当时，；当时，；当时，．
8．（8分）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B．
(1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离；
(2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可得，即可求解；
（2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，即．
，
．
（2）解：过点C作，交于点G．
，
．
，
．
．
．
，
·
，
．
．
．
因此，路灯P离地面的高度为
9．（8分）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．

10．（9分）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得；
（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证；
（3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
将代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴这个一元二次方程没有实数根，
∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
二次函数化成顶点式为，
∴其对称轴为直线，顶点坐标为，
设点关于对称轴的对称点为点，则，
∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．
则分以下两种情况：
①如图，当点在点左侧时，，即，
此时在图形内，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
②如图，当点在点右侧时，，即，
此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
综上，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
11．（11分）综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______．
类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键．
（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值；
②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得．
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，．
（2），，证明如下：
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
（3）①当时，，
∴，，
∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形．
如图，过点作于点，则，

当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32．
②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，
由上已证：，即，
∴点在上，
由圆周角定理得：，
过点作于点，过点作于点，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴直径，
∴正方形的面积，
由（3）①已得：，
∴，
解得或，均符合题意，
所以的长度为或．
解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．（7分）计算或化简：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键
（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
2．（7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的运算和代入求值，涉及到了分式的加法和除法运算、二次根式分母有理化等知识，解题关键是掌握分式的混合运算的方法，能熟练进行通分与约分．先化简原式，再将的值代入化简后的式子即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
3．（8分），两块试验田去年共收获小麦今年采用新技术实现了增产，共收获小麦已知试验田今年比去年增产，试验田今年比去年增产去年，两块试验田分别收获小麦多少？
【答案】地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，得
解得
答：地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦3
4．（7分）尺规作图：如图，已知和圆外一点P．
用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图−复杂作图，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）；
方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）．
解：如图如图1，2所示．
5．（8分）用抽签的方法从甲，乙，丙3名同学中选1名同学出席音乐会．现准备3张相同的纸条，并在其中1张纸条上画记号，再把它们放在一个盒子中搅匀，然后让甲，乙，丙依次从中各抽取1张纸条（抽出的纸条不放回），抽到画有记号的纸条的同学出席这场音乐会．设甲，乙，丙出席音乐会的概率分别为，，．
(1)求；
(2)比较大小： ．（填“”“”“”号）
【答案】(1)
(2)=
【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到画有记号的纸条的结果有1种，利用概率公式求解即可；
（2）结合概率公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲抽到画有记号的纸条的结果有1种，
∴；
（2）解：根据题意：画树状图如下，
由树状图知，共有6种等可能结果，无论他们按怎么样的顺序抽签，抽到纸条上画有记号的概率都是，即．
故答案为：=．
6．（7分）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
(1)填写下表：
(2)由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由．
【答案】(1)24，22，24，24
(2)建议商场采购B品牌洗衣机，理由见解析
【分析】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
（1）根据平均数、中位数、众数以及方差公式对每一项进行计算，即可得出答案；
（2）由于平均销量相同，则根据方差的意义可判断B品牌洗衣机的销量稳定，再根据B种品牌洗衣机销量呈上升趋势可建议商场采购B品牌洗衣机．
【详解】（1）解：①∵24出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是24；
②A品牌的方差是：
③平均数是：
④把这些数从小到大排列为：17，22，23，24，26，26，30，中位数是24；
故答案为：24，22，24，24；
（2）∵A品牌和B品牌的平均数相同，
∴A、B两种品牌洗衣机的平均销量相同，
∵，
∴B品牌洗衣机的销量稳定，并且B种品牌洗衣机销量呈上升趋势，
∴建议商场采购B品牌洗衣机．
7．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题；
（3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题．
【详解】（1）解：∵正比例函数过点，
∴，
∴点，
∵反比例函数过点，
∴，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点是在线段的延长线上，
∴设，
∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
（3）解：方法一：由（2）得，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴ ，
解得，
∴；
方法二：由（2）得得，，
，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
解得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元一次方程的应用，等腰直角三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
8．（8分）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：）
(1)求的长度；
(2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？
【答案】(1)米
(2)骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理：
（1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点K作于H，
由题意得，，
∴
在中，米，
米，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
（2）解：在中，米，
米，
∴米，
∴路线②的时间为分钟；
∵米，
∴路线①的时间为分钟，
∵，
∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家．
9．（8分）实践与探究：
(1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、．
①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合
②在平移过程中，求的最小值；
(2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值．
【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；②
(2)的最小值为
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点是解题的关键．
根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；
作点关于的对称点，连接，，当，，共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且，，共线，在直角中，利用勾股定理即可求解；
同理可得是等边三角形，且，，共线，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是正方形，
，，
如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到，
，，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，
当，，共线时，有最小值，
此时的最小值为，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是平行四边形，
，
关于的对称点，
，，
是等腰直角三角形，且，，共线，
在直角中，由勾股定理得：，
的最小值；
（2）如图，菱形的边长为，
，
，
作点关于的对称点，连接，，
当，，共线时，有最小值，
此时的最小值为，
，，
四边形是平行四边形，
为菱形，，
，
，，，
关于的对称点，
，，，
是等边三角形，
，
，，共线，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在直角中，由勾股定理得：，
的最小值为．
10．（9分）已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，都有，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是：
（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可；
（3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小，
∵，，
∴；
（3）解：当时，，
∵，
∴在的右侧，
当、 都在对称轴直线的右侧时，如图，
∵，
∴，解得；
当、 在对称轴直线的两侧时，
即关于直线的对称点为
关于直线的对称点为
∵，
∴，
解得
当、 都在对称轴直线的左侧时，
∵，
∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
与相矛盾，
∴此种情况不存在，
综上，或．
11．（11分）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到．当点的对应点与点重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中()，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点在上，．过点作，垂足为，，．在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）存在，理由见解析
【分析】（1）用旋转的性质得到，推出，再结合三角形中位线的平行性质，得到，通过等角对等边证明；
（2）先由旋转的性质得到对应边相等、对应旋转角相等，证明，得到对应边的比例关系，再结合三角形中位线定理，证明是的中位线，得到，代入比例式变形即可得证；
（3）要满足，可构造以为直径的和以为直径的，利用直径所对的圆周角为直角，得到、，满足角度和为，再通过勾股定理、相似三角形的性质计算两圆圆心距，判定两圆有交点，同时验证交点在四边形内部，即可证明存在符合条件的点．
【详解】（1）解：∵绕点按逆时针方向旋转，得到，且点的对应点与点重合，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵绕点按逆时针方向旋转，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中位线，是的中线，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
取的中点，的中点，分别以、为圆心，、为半径作和，点为两圆的交点，
∵是的直径，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，由勾股定理得，
∵，
∴的半径，
∵，
∴的半径，
∴，
∵，是的半径，
∴是的切线，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∵，即圆心到的距离大于的半径，
∴在外，
过点作于点，，
在中，，
设，，由勾股定理得，解得，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
而，
，
∴，
∴与有交点，结合、均在外，可知两圆的交点在四边形内部，
故四边形内存在点，使得．
第1次第2次
红
白
蓝1
蓝2
红
白红
蓝1红
蓝2红
白
红白
蓝1白
蓝2白
蓝1
红蓝1
白蓝1
蓝2蓝1
蓝2
红蓝2
白蓝2
蓝1蓝2
等级
人数（频数）
5
10
80
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
成绩（分）
65
69
67
69
70
品牌 销量 月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
A品牌
16
31
29
24
24
24
20
B品牌
17
22
23
24
26
26
30
平均数
中位数
众数
方差
A品牌
24
24
①
②
B品牌
③
④
26
14