河南省开封市金明中学八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省开封市金明中学八年级下学期期中考试数学试题（解析版），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B选项：是最简二次根式，故B选项正确；
C选项：，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D选项：，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选B．
【点睛】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
2. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则逐一计算即可；
【详解】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；
B、，原选项不符合题意；
C、，符合题意；
D、2与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
3. 已知直角三角形两边的长分别为5、12，则第三边的长为（ ）
A. 13B. 60
C. 17D. 13或
【答案】D
【解析】
【详解】当12和5均为直角边时，第三边=,
当12为斜边，5为直角边，则第三边=,
故第三边的长为13或.
故选D.
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4. 如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【详解】根据勾股定理．可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案.
解：由勾股定理得：AC===，
乘方得：（）2=2.
故选A.
5. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A. B. C. D. 距离不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的中线，，
∴，
∴M，C两点间的距离为，
故选：B．
6. 如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长．
【详解】解：∵，，
∴四边形平行四边形，
∴，
过点A作于点E，作于点F，
∴，
∴，,
∴平行四边是菱形，
∴重合部分四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定．
7. 如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（ ）
A. B. 平分
C. 平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得．
【详解】解：由题意得：点分别是的中点，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则需要，
又∵，，
∴要使，则需要，
故选：D．
8. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有（ ）
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确．
详解】解：，，
四边形是平行四边形，选项①正确；
若，
平行四边形为矩形，选项②正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项③正确；
若，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，故菱形不一定为正方形；选项④错误，
则其中正确的是①②③．
故选：C．
9. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于一半的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可知，是的垂直平分线，得出，结合和三角形的内角和定理推出，则有，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
．
故选：C．
10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（ ）

A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，则，由旋转的性质可得，，由菱形的性质可得，，由两直线平行同位角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由线段之间的和差关系可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得点的坐标；由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称，因而点与点关于原点对称，于是可得点的坐标；综上，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

，
由旋转的性质可得：
，，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
点的坐标为，
由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称，
点与点关于原点对称，
点的坐标为，
旋转后点的对应点（或）的坐标为或，
故选：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转，旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，中心对称图形的识别，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，求关于原点对称的点的坐标，两直线平行同位角相等，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握坐标与图形变换——旋转、中心对称图形的识别及勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数中自变量的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】由题意知，，，解得，，进而可得自变量的取值范围．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，
故答案：且．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
12. 矩形一条对角线长为10厘米，一边长为6厘米，则它的面积为__________．
【答案】48平方厘米
【解析】
【分析】根据勾股定理求出矩形的另一边长，即可求出矩形的面积．
【详解】解：∵矩形的一条对角线长为10厘米，一边长为6厘米，
∴矩形的另一边长为=8厘米，
∴矩形的面积为：6×8=48平方厘米；
故答案为：48平方厘米．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理的运用；运用勾股定理求出矩形的另一边长是解决问题的关键．
13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．若于点H，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，且，则可由勾股定理求出的长，进而得到，再根据菱形面积计算公式求解即可．
【详解】解：在菱形中，
∴，，且，
在中，，则由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴
解得:，
故答案为：．
14. 如图，在中，，D、E分别是、的中点，F是上一点，，连接、，若，则______
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．根据三角形中位线定理，得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】解：D、E分别是、的中点，
，
，
，
，
，
、E分别是的中点，
，
故答案为：．
15. 如图，菱形中，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是___ ．

【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质，找出B点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，再由勾股定理可求出．
【详解】解：连接，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，连接．则，
∴，
即就是的最小值，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴（等腰三角形三线合一的性质），
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是菱形的性质．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使成为最小值．
三、解答题
16. 计算下列各题
（1）
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再合并即可；
（2）利用二次根式运算、零指数幂、负整数指数幂的法则计算，再合并即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE=AD，BF=BC，则DE=BF，DE∥BF，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．
【答案】BE＝AF，BE⊥AF，证明见解析
【解析】
【分析】根据正方形性质可得，AB=AD=CD，又有，因此可以得到，因此可以证明得到，从而证明得到BE＝AF，∠AEB=∠DFA，根据三角形内角和定理可以得到∠EAO+∠DFA=90°，等量代换即可得到∠EAO+∠AEB=90°，因此证明得到∠AOE =90°，从而证明得到结论．
【详解】解：猜想BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAD=90°
∵，
∴AD-DE=CD-CF，即
在和中，
∴(SAS)
∴BE＝AF，∠AEB=∠DFA，
∵∠D=90°
∴∠EAO+∠DFA=90°
∴∠EAO+∠AEB=90°
∴∠AOE=90°
∴BE⊥AF
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用知识分析推导结论是本题的关键．
19. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，．
（1）求供水点到喷泉需要铺设的管道长．
（2）求证：．
【答案】（1）供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
（2）见详解．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式．
（1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
在中，，
，
，
在中，，
，
供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
【小问2详解】
证明：，，，
，
是直角三角形，．
20. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】
【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
(2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答.
【详解】(1)证明：∵DE∥AC,CE∥BD
∴DE∥OC,CE∥OD
∴四边形ODEC是平行四边形
∵四边形ODEC是矩形
∴OD=OC
∴四边形ODEC是菱形
∴OE⊥DC
(2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形
∴OD=OC=DE=2
∵∠AOD=120°
∴∠DOC=60°
∴△ODC是等边三角形
∴DC=OD=OC=2
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2CO=4
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2
∴S矩形ABCD=2×2=4．
【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质.
21. 材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
（1）材料中的方法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M，
（2）试说明；
（3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）C；（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．
（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想；
（2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
（3）利用等面积法证得勾股定理．
【详解】解：（1）根据题意可得它体现数学思想是数形结合思想，
故答案为： C；
（2）由题意可得：，
∴，
∵直线m，直线m，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，
∴
又
∴ ，
∴，
∴．
22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
【答案】经过，；经过或，
【解析】
【分析】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定．①设经过，，此时四边形成为平行四边形，得，即可得关于t的方程，解方程即可；②设经过，，分两种情况，当四边形为等腰梯形时，；当四边形为平行四边形时，根据①可得结论．
【详解】解：①设经过，，
此时四边形成为平行四边形，
∴，
∴，
解得，
∴经过，且；
②设经过，，
如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线，，垂足分别为E，F，
当时，四边形为梯形（腰相等）或平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，，
当四边形为等腰梯形时，，
∴，
解得，
经过，；
当四边形为平行四边形时，经过，，
综上所述，经过，；经过或，．
23. 综合与实践．
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
（1）直接写出和的数量关系：__________；
（2）请求出的度数；
（3）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等：
（1）根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解；
（2）根据锐角三家函数可得，即可求解；
（3）由（2）得，从而得到是等边三角形，进而得到，再有折叠的性质，即可求证．
小问1详解】
解：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，
∵再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵由折叠的性质得：，
∵在中，，
∴，
∴，
，
由折叠的性质得：；
【小问3详解】
证明：由②得，
∵四边形是矩形，
∴，
，，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠得，
，
∴四边形是菱形．