【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题18 最值问题（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题18 最值问题

1. （2022浙江金华）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；

∵AB为底面直径，

∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，

∵两点之间线段最短，

故选： C．

【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．

2.（2022四川遂宁） 如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（    ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】A

【解析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．

如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，

设，

，

，

，

，

，

，

当时，S有最大值，最大值为6．

【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．

3. （2022浙江杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．

当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，

如图所示，

∵AD⊥BC，

∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，

在Rt△BOD中，

sinθ= ，cosθ=，

∴BD=sinθ，OD=cosθ，

∴BC=2BD=2sinθ，

AD=AO+OD=1+cosθ，

∴S△ABC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．

故选：D．

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．

4. （2022四川凉山）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．

【答案】6

【解析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．

∵a－b2＝4

∴

将代入a2－3b2＋a－14中

得：

∵

∴

当a=4时，取得最小值为6

∴的最小值为6

∵

∴的最小值6

故答案为：6．

【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．

5. （2022四川自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．

【详解】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD=BC=2

∴CH∥EF，

∵CH=EF=1，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EH=CF，

∴G'H=EG'+EH=EG+CF，

∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，

∴AG=AG'=1

∴DG′=AD+A G'=2+1=3，DH=4-1=3，

∴，

即的最小值为．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．

6. （2022广西贺州）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．

【答案】

【解析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．

如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，

∴△DEH为等腰直角三角形，

∵DG平分∠ADC，

∴DG垂直平分EH，

∴PE=PH，

∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，

∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，

∵E，F分别是AD，AB的中点，

∴AE=DE=DH=3，AF=4，

∴EF=5，

∵FK⊥CD，

∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，

∴四边形ADKF为矩形，

∴DK=AF=4，FK=AD=6，

∴HK=1，

∴，

∴FH+EF=，即的周长最小为．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．

7. （2022江苏连云港）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；

（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．

【小问1详解】

证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

又∵点在的延长线上，

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵，

∴四边形为菱形．

【小问2详解】

解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，

∴，

当、、共线时，

，

过点作，垂足为，

∵，

∴的最小值即为平行线间的距离的长，

∵是边长为2的等边三角形，

∴在中，，，，

∴，

∴的最小值为．

【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．

8.已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值﹣1，有最小值﹣2         B．有最大值0，有最小值﹣1 

C．有最大值7，有最小值﹣1             D．有最大值7，有最小值﹣2

【答案】C

【解析】∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，

∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，

当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．

9. 二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　   　．

【答案】7

【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，

即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．

10．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为　  　．

【答案】

【解析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵PC关于OA对称，

∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

∴△COD是等腰直角三角形．

则CD=OC=×3=6．

本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

11.已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？

【答案】见解析。

【解析】本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．

作DE⊥AB于E，则　x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有

所以2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，

这时，梯形的底角恰为60°和120°．

12 .如图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

【答案】即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

【解析】分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则

把①代入②有

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

13.已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点。

（1）求，的值；

（2）直线l与轴交于点。

 ①如图1，若l∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线

的对称点为，求四边形面积的最大值；

  ②如图2，若直线l与线段相交于点，当△PCQ∽△ CAP时，求直线l的表达式。

【答案】见解析。

【解析】（1）由题可知

     解得

（2）①由题可知，

  ∴

  由（1）可知，

∴：

设，则

∴

∴ 

∴当时，四边形的面积最大，最大值为

②由（1）可知

由∽可得

∴   ∴

由，可得

∴

作于点，设，则

∴，

∴

即    解得

∴   ∴l：