重难点02 概率的计算问题（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

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02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效18
重难点一 概率的计算问题
概率的计算方法
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2.几何概率：
3．列举法：列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
4.画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
5.利用频率估计概率
（1）定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
（2）适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
（3）方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
题型01利用概率公式计算概率
【典例】（2025·四川成都·模拟预测）积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在下列图形中抽取任意一种，是中心对称图形的概率是（ ）
①四边形；②正三角形；③正六边形；④正五边形；⑤菱形；⑥线段
A．B．C．D．
2．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
题型02几何概率
【典例】（2025·宁夏吴忠·二模）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
题型03 用列表法或树状图计算概率
【典例】（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【变式】
1．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
题型04 用频率估计概率
【典例】（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶
(1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个；
(2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
2．（2025·广东湛江·二模）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山（物理变化）、．蜡炬成灰（化学变化）、．物腐虫生（化学变化）、．木已成舟（物理变化）．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．
(1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是______；
(2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如表：根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于______（精确到0.01），所以该同学的说法______；（用“正确”或“错误”填空）
(3)小娜随机抽取一张卡片记录后，不放回，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东泰安·一模）泰安市境内有诸多风景名胜，泰山、东平湖、大汶口文化遗址、徂徕山、岱庙就是其中处景点，将这处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东滨州·二模）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．1
7．（2025·河南濮阳·一模）圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·河南濮阳·一模）2025年世界跳绳锦标赛中，中国内地队斩获12金10银1铜，14次刷新世界纪录，其中河南籍运动员杜婷婷独得4金，四次助力团队打破世界纪录．跳绳不仅是一项世界级运动赛事，也是河南中考的选考项目之一．根据河南某地中考方案，2025年中考体育素质类选考项目为4选1：A．立定跳远、B．掷实心球、C．1分钟跳绳、D．50米跑．
(1)小明从这4个项目中随机选择一种，恰好选中1分钟跳绳的概率是________；
(2)小明和小亮都比较擅长A．立定跳远、B．掷实心球和C．1分钟跳绳，请用画树状图法或列表法求小明和小亮在这3项里面选中相同项目的概率．
9．（2025·江苏连云港·二模）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．抽签形式：把四个项目名称分别写在4张质地均匀的不透明卡片正面，卡片背面向上摆放，每次抽签前先洗匀．
(1)小丽参加“单人组”．她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为______；
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．请用画树状图或列表的方法求该“双人组”恰好抽中“唐诗”和“宋词”的概率．
10．（2025·陕西渭南·一模）当秦腔邂逅马拉松，我们看到的不仅是一场文化盛宴，更是一种文化自信的鲜活表达．小星和小红各自报名参加西安马拉松赛事的志愿服务工作，他们均计划在“A．欢乐跑终点”“B．半程终点”“C．赛道补给站”“D．赛道观察岗”中随机选择一项参加．（小星和小红相互之间选择不受影响，且他们选择每项的可能性相同）
(1)小星选择“A．欢乐跑终点”的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小星和小红都未选择“D．赛道观察岗”的概率．
1．（2026·江西·模拟预测）哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
(1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为．
(2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
2．（2026·陕西西安·二模）国产AI大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．
A．机器人技术 B．计算机视觉
C．自然语言处理 D．专家系统
(1)甲同学随机选择一种AI，选到“A．机器人技术”的概率为________；
(2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率．
3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
4．（2026·陕西宝鸡·一模）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同）
(1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________；
(2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率．
5．（2026·湖南·模拟预测）吃汤圆是元宵节的传统习俗，象征着一家人团团圆圆．元宵佳节，妈妈在超市购买了黑芝麻馅、花生馅和豆沙馅三种口味的汤圆，共60个，其中花生馅汤圆的数量占，黑芝麻馅汤圆的数量是豆沙馅汤圆数量的3倍．
(1)请根据以上信息做出一种较为直观的统计图；
(2)妈妈在锅里煮了4个黑芝麻馅汤圆和3个花生馅汤圆（若汤圆的外观都相同），小明从中舀了两个，问：第一个吃到花生馅和第二个吃到花生馅发生的概率一样吗？
6．（2026·陕西·一模）近日，教育部举办了《第七届中华经典诵写讲大赛》，本届大赛分为“诵读中国”经典诵读、“诗教中国”诗词讲解、“笔墨中国”汉字书写和“印记中国”师生篆刻比赛四个类别．
(1)我校学生会从有意向参与比赛的学生中抽取若干名学生进行问卷调查，若报名参赛的同学每人只能参加一个类别，那么莹莹同学从中随机选择恰好选到“笔墨中国”汉字书写大赛的概率为______；
(2)经过激烈角逐，我校走走老师率领初中部选拔出的两位同学莹莹和格格闯入“诗教中国”诗词讲解比赛决赛，比赛规则是：组委会提供主题为“清明”“端午”“七夕”“重阳”“中秋”的五组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组题目，选手根据题目要求进行诗词讲解，评委根据讲解情况给选手打分．请用列表或画树状图的方法，求出莹莹和格格两名选手拿到的题目恰好在同一组的概率．
7．（2026·江苏南京·一模）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
(1)甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
(2)乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
8．（2026·福建泉州·模拟预测）紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米．景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观．周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放．
(1)甲停放在C位置的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率．
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摸球的次数
摸到白球的次数m
摸到白球的频率
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
试验次数
100
300
500
1000
2000
抽到卡片次数
30
70
126
251
500
抽到卡片频率
0.300
0.233
0.252
0.251
0.250