第02讲 概率（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份第02讲 概率（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测，共108页。PPT课件主要包含了大考点，大重难突破，2解列表如下，2解如图，解列表如下，解根据题意可得，列表如下，问题解决等内容，欢迎下载使用。
4大中考命题点 15题型探究
1．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ）A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ）A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；    B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
4．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（   ）A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ）
一、列表法1.适用： 两步试验，结果清晰、不易混乱2.做法：①横行写第一次试验所有结果②竖列写第二次试验所有结果③交叉处填写组合结果3.优点：整齐直观，不易漏项
二、树状图法1.适用：有先后顺序、步骤较多的试验2.结构：①第一层：第一次所有可能结果②第二层：在第一次基础上， 第二次所有可能结果3.优点：能清晰体现先后顺序
2．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______．
解：根据题意画图如下：
3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________．
4．（2025·宁夏·中考真题）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____．
5．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
6．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
7．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
【数据的收集与整理】数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；【做出合理估计】(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？【解决概率问题】(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
(1)本次抽样调查的样本容量是________；(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；【做出合理估计】(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
解：∵平移变换不改变图形的形状和大小，平移后图形与原图形全等，∴A选项是不可能事件．∵100件产品中仅有4件次品，从中抽取5件，最多抽到4件次品，至少有1件是正品，∴B选项是必然事件．∵当不等式两边同时乘以非零数时，结果仍为不等式，当乘以0时，结果为等式，事件的结果不唯一，∴C选项是随机事件．∵书的页码可能是奇数，也可能是偶数，∴D选项是随机事件．
【变式3（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（     ）A．购买一张彩票，中奖；B．射击运动员射击1次，命中靶心；C．等边三角形的三条边长相等；D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．
解：A．购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；B．射击运动员射击1次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；C．等边三角形的定义是三条边长相等，是确定性事件，符合题意；D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不符合题意．
【典例】（2025·贵州黔东南·二模）不透明口袋里装有大小、形状完全一样的8个红球和5个白球，则下列说法不正确的是（   ）A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件C．从中随机摸出5个球，可能都是红球D．从中随机摸出6个球，可能都是白球
解：A．从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大， 正确，此选项不符合题意；B．从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件， 正确，此选项不符合题意；C．从中随机摸出5个球，可能都是红球， 正确，此选项不符合题意；D．从中随机摸出6个球，不可能都是白球， 不正确，此选项符合题意．
【典例】（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___．
【变式1】（2025·西藏山南·一模）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是_____．
【变式3】（2026·浙江·一模）现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为__________．
【典例】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）陕西省境内有一株被称为“太上槐”的国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（   ） A．12个B．8个 C．6个 D．4个
【变式1】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（    ）A．170枚B．60枚 C．50枚 D．30枚
【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（  ）A．9个 B．15个 C．24个 D．21个
【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（  ）A．9个 B．15个 C．24个 D．21个
利用列表法或树状图求概率
【典例】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______．
【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为______．
【变式3】（2025·宁夏银川·模拟预测）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“光”、“景”、“博”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“景博”的概率是________．
【变式2】（2026·安徽·模拟预测）现有分别标有汉字“皖”“凤”“徽”“韵”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，则两次抽出的卡片上的汉字能组成“凤韵”（不计顺序）的概率是________．
【变式2】（2026·湖北·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是_____
(1)若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是______；(2)若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率．
【变式1】（2026·湖南长沙·一模）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
根据以上信息，解答下列问题：(4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率．
（4）解：画树状图列出所有可能的结果为：
解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变；频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.∴ 选项D正确.
【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ）A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
【变式2】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ）A．频率就是概率B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近C．试验得到的频率一定会等于概率D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。综上，正确答案为B。
【变式1】（24-25九年级上·北京海淀·月考）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表：
【典例】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　）
A．12个B．15个 C．18个D．20个
【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ）  A．朝上的点数是偶数的概率B．朝上的点数是2的概率C．朝上的点数大于5的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率
【变式2】（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表：
随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01）A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63
【典例】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 (1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______；(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．方式一：直接获得25元购物券；方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．下表是活动进行中的一组统计数据：
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
请根据上面的图表完成以下问题：
【变式2】（25-26九年级上·山东威海·期末）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“50元”、“100元”、“150元”、“200元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满1000元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费2200元，转了两次转盘．
(1)该顾客最少可得__________元购物券，最多可得__________元购物券；(2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于300元的概率．
（1）解：画树状图如下：则该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券；
【变式3】（25-26九年级上·福建·期末）小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式：A方式：按标价打八折．B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售．叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式．(1)求叔叔以五折的价格买到该物件的概率；(2)小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由．
【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
根据下面这个表格中的数据记录回答：
(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）；(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率；(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由．
(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）；
(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率；
(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由．
【典例】（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．
解：分别用A表示石头，B表示剪刀，C表示布．根据题意，列表如下：
【变式1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率．(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）
2）解：这个游戏公平，理由如下：A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，
【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球．(1)若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________；(2)若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由．
【典例】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．
【实践探究】分析数据如下：
(3)该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用适合的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率．
【变式1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表．【收集数据】九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100．【描述数据】九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表
（1）解：由收集的数据可知，85分的学生有2个，95分的学生有4个，补全条形图如图：
【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
（2）喜欢豆沙月饼的人数为：120-36-12-18-30=24（人），补图如下：