【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第24讲 圆的基本性质（含答案）

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考 点 清 单
考点1 圆周角定理及其推论
【注意】1．一条弦对着两条弧，其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角互补；
2．一条弧对应一个圆心角，但却对着无数个圆周角．
考点2 弧、弦、圆心角的关系
考点3 垂径定理及其推论
考点4 圆内接四边形的性质
1．圆内接四边形的对角⑮ .如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的⑯ (和它相邻的内角的对角)．如图，∠DCE＝⑰ .
强 化 演 练
基础练
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为( )
A．27° B．108° C．116° D．128°
2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝( )
A．48° B．24° C．22° D．21°
4．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．1 D．2
5．如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C.若AO＝5，OC＝4，则弦AB的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于点E.若DE＝1, BC＝6，则AC＝( )
A．3 B．2eq \r(6) C．5 D．2eq \r(7)
8．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC.若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是( )
A．1 B．eq \f(24,25) C．eq \f(16,25) D．eq \f(9,25)
9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E.若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
A．9.6 B．4eq \r(5) C．5eq \r(3) D．10
10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是( )
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
11．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝ .
12．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 .
13．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 .
14．如图，AB是⊙O的直径，C是eq \(AB,\s\up10(︵))上一点，AP平分∠BAC交⊙O于点P，AB＝3，AC＝1，则点P到线段AB的距离为 .
15．如图，已知AB是⊙O的直径， C是半圆上一点(不与点A，B重合)．
(1)用尺规过点C作AB的垂线交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AC＝4, BC＝2，求(1)中所作的弦CD的长．
16．如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点， D为eq \(BC,\s\up10(︵))的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF.
(1)求证：△BFG≌△DCG;
(2)若AC＝10, BE＝8, 求BF的长．
强化练
17．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，eq \(BC,\s\up10(︵))＝3eq \(AC,\s\up10(︵))，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G.若H是AG的中点，则∠CBF的度数为( )
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为( )
A．2eq \r(3)－2 B．3－eq \r(3) C．4－eq \r(3) D．2
19．如图，拱桥可以近似地看作直径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，正下方的路面AB长度为150 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为( )
A．50 m B．40 m C．30 m D．25 m
提升练
20．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( )
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分
C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
参 考 答 案
考点清单
①一半 ②eq \f(1,2)∠AOB ③相等 ④直角 ⑤直径 ⑥相等 ⑦相等 ⑧相等 ⑨相等 ⑩相等 ⑪平分 ⑫平分 ⑬垂直 ⑭平分 ⑮互补 ⑯内对角 ⑰∠A
强化演练
1. B 2. B 3. D 4. B 5. B 6. A 7. D 8. B 9. A 10. D
11. 140° 12. 5 cm 13. eq \f(1,2) 14. eq \r(2)
15. 解：(1)如图，CD即为所作，且CD与AB交于点E.
(2)由勾股定理得AB＝eq \r(AC 2＋BC 2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，由三角形等面积法可得CE＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(4×2,2\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，∴CD＝2CE＝eq \f(8\r(5),5).
16. (1)证明：∵D是eq \(BC,\s\up10(︵))的中点，∴eq \(BD,\s\up10(︵))＝eq \(CD,\s\up10(︵)). ∵AB为⊙O的直径， DF⊥AB ，∴eq \(BD,\s\up10(︵))＝eq \(BF,\s\up10(︵))，∴eq \(BF,\s\up10(︵))＝eq \(CD,\s\up10(︵))，∴BF＝CD . 又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG (AAS)．
(2)解：如图，连接OD交BC于点M，∵D为eq \(BC,\s\up10(︵))的中点，∴OD⊥BC，∴BM＝CM. ∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位线，∴OM＝eq \f(1,2)AC＝5.∵eq \(BF,\s\up10(︵))＝eq \(CD,\s\up10(︵))，∴eq \(BC,\s\up10(︵))＝eq \(FD,\s\up10(︵))，∴BC＝DF.∵OD⊥BC，OB⊥DF，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE＋BE＝13 ，∴EF＝DE＝eq \r(OD2－OE2)＝12 ，∴BF＝eq \r(BE2＋EF2)＝4eq \r(13).
17. C 18. C 19. D 20. A
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的① ，即∠P＝②
推论
同弧或等弧所对的圆周角③ ，
即∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠E＝∠F
半圆(或直径)所对的圆周角是④ ，
90°的圆周角所对的弦是⑤
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑥ ，所对的弦也⑦
推论
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑧ ，所对的弦也⑨ ；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑩ ，所对的弧也相等
定理
垂直于弦的直径⑪ 弦，并且⑫ 弦所对的两条弧
推论
平分弦(不是直径)的直径⑬ 于弦，并且⑭ 弦所对的两条弧
常用
结论
(1)eq \(AC,\s\up10(︵))＝eq \(BC,\s\up10(︵))；
(2)eq \(AD,\s\up10(︵))＝eq \(BD,\s\up10(︵))；
(3)AM＝MB；
(4)AB⊥CD；
(5)CD是⊙O的直径
口诀：知二推三
常作辅助线：圆的半径为r，a是弦长，d是弦心距，AB⊥CD，构造直角三角形，常用勾股定理r2＝d2＋(eq \f(a,2))2