第21讲 菱形的性质与判定（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测7
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 18
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分23
考点一 菱形的性质
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
（1）边：对边平行，四边相等；（2）角：对角相等，邻角互补；
（3）对角线：对角线互相垂直平分；（4）整体：中心对称图形，轴对称图形；
（5）面积=底×高=对角线乘积的一半．
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
考点二 菱形的判定
菱形的判定方法：
1．（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证：
(1)；
(2)四边形是菱形．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，平分，求的长．
3．（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点．
(1)求证：直线是的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明；
(2)当与相切时，是菱形吗？说明理由．
命题点一 菱形的性质
►题型01利用菱形的性质求线段长
【典例】．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，求四边形是菱形时的长．
【变式】
1．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
2．（2025·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，、交于点，将沿直线翻折得到．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求点、之间的距离．
►题型02根据菱形的性质求面积
【典例】．（2025·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点E在边上且平分，连接并延长交于点F，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·二模）如图，在平行四边形中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的面积．
2．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若，求菱形面积．
►题型03利用菱形的性质证明
【典例】．（2025·江苏连云港·二模）如图，在菱形中，交于点D，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接交于点G，若，求的长．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长．
2．（2025·江苏南京·二模）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是、、、的中点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)菱形满足 时，四边形为正方形．
►题型04菱形与反比例函数综合
【典例】．（2025·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点落在反比例函数上，且，点落在反比例函数上，则 ．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ．
2．（2025·江苏徐州·二模）如图，四边形是菱形，点B在x轴的正半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ．
►题型05 菱形与圆的综合
【典例】．（2025·江苏苏州·一模）校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边、和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与和相切于点、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 ．（结果保留根号、保留）
【变式】
1．（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形中，对角线相交于点E，是外接圆．
(1)如图1，当与相切时，求的度数；
(2)若的度数发生变化且点B在外，与射线交于点F，与交于点G，如图2，当，，求菱形的面积．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，经过菱形的顶点，，与边，分别相交于点，．
(1)若与相切，求证：与相切；
(2)求证：．
►题型06 利用菱形的性质尺规作图
【典例】．（2025·江苏连云港·一模）如图，四边形是平行四边形．
(1)尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求菱形的面积．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）
(1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可）
(2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可）
(3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明）
2．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
命题点二 菱形的判定
►题型07 添加条件使四边形成为菱形
【典例】．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)请添加一个条件，使得四边形为菱形，则添加的条件是________．（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明）
【变式】
1．（2025·江苏盐城·二模）如图1，已知平行四边形，为锐角，，E为边上一点，沿折叠，点D恰好落在边F处．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)如图2，再沿折叠，点A落在G处，点B落在H处．
①若点G恰好为的重心（即三条中线的交点）．求的值；
②若添加_____度，且的值为_____两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形（直接写出结论）．
2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形中， E、F是对角线上两点， 连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形 （ ）
A．B．C．D．
►题型08证明四边形是菱形
【典例】．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点．
(1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数；
(2)四边形是菱形吗？请说明理由．
【变式】
1．（2025·江苏南京·三模）如图，在中，点，分别在，上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，当的长为___________时，四边形是菱形．
2．（2025·江苏扬州·三模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
突破一 菱形的折叠问题
【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应．
(1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在的延长线上，求的长；
(3)当与菱形的边垂直时，求的长．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·三模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、A5纸折叠后得到两个全等的纸等等（图1），纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形．
【探索发现】问题一，根据以上材料，如图2，一张规格为的矩形纸片，长，宽纸长将其沿长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，两种规格张片的长与宽的比相同，即，推算白银比为___________
【问题解决】问题二：如果线段上的一个点把这条线段分为两部分，两部分的长度之比为白银比，那么这个点就称为这条线段的白银分割点．
如何找到任意一条线段的白银分割点呢？
小然是这样做的：如图3，已知线段，以为直角边作等腰，再作出的对角的平分线，与的交点即为线段的白银分割点．请你说明小然这么做的理由．
【拓展探究】如图4，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形
（1）若菱形为白银菱形，___________．
（2）以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，若以图4的菱形为基础组成如图5的矩形且矩形的较短边长为8，则这个矩形的面积为___________
2．（2025·江苏徐州·模拟预测）在三角形纸片中，仅折叠该纸片两次，就能分别在上得到点，使四边形为菱形．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作出菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求菱形的面积．
突破二 菱形与抛物线的综合问题
【典例】．（2025·江苏苏州·二模）如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与x轴交于点A，B，顶点为点，与y轴交于点交．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若菱形的顶点G与点A重合，点I恰好落在抛物线上，求点I的坐标以及此时菱形的面积；
(3)如图②，已知抛物线的顶点为点D，其中，直线与抛物线对称轴右侧的曲线分别交于点P，Q，且P，Q两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点G，I重合．
①求m的值；
②线段的长为______．
【变式】
1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围；
(4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标．
2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
3．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．28
4．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江苏南通·二模）在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（ ）
A．①②都正确B．①②都不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确
7．（2025·江苏无锡·二模）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线相等
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．菱形对角线互相垂直平分
8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
9．（2025·江苏徐州·模拟预测）在三角形纸片中，仅折叠该纸片两次，就能分别在上得到点，使四边形为菱形．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作出菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求菱形的面积．
10．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，平分，求的长．
1．（2025·江苏扬州·三模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
2．（2025·江苏扬州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
3．（2025·江苏泰州·三模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接．
(1)如图1，过点作交于点，连接交于点．
①求证：；
②若，则_____．
③若正方形的边长为，在运动的过程中，是否是定值；若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(2)在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形．
4．（2025·江苏镇江·二模）（1）问题发现：如图1，在正方形中，在边上，在边上，与交于点，求证：．
（2）问题解决：如图2，在菱形中，在边上，在射线上，与交于点和是否仍然相等？如果是，请写出证明；如果不是，请说明理由．
（3）创新应用：如图3，在矩形中，在射线（与不重合）上运动，经过点，当点在射线上时，则的长为______．
5．（2025·江苏南通·二模）如图，E为菱形的对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与轴的正半轴交于点，边与反比例函数的图象交于点．已知，
(1)求点和点的坐标；
(2)若是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标．
7．（2025·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点E在边上且平分，连接并延长交于点F，连接．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)若，，求四边形的面积．
8．（2025·江苏盐城·一模）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明）
9．（2025·江苏宿迁·二模）实践与探究：
(1)如图（甲），正方形纸片的边长为2，沿对角线剪开，然后固定纸片．把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、．
①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；（与不重合）
②在平移过程中，求的最小值；
(2)如图（乙），菱形纸片的边长为2，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值．
10．（2025·江苏宿迁·三模）在菱形中，如图1，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，旋转角度与相等，过点作的平行线，交射线于点，
(1)求证：为等腰三角形
(2)如图2，若线段上存在点，满足，联结，
①则___________．
②请判断在点的运动过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由．
(3)在第（2）问的条件下，若，延长交于点，请直接写出的最小值．
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9B．C．D．
2．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ）
A．B．5C．4D．8
3．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
5．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角相等
6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ．
7．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
8．（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ．
9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
10．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
11．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点，
①求__________；
②求的半径；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
14．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点坐标；
(2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式；
(3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
命题点一 菱形的性质
题型01 利用菱形的性质求线段长
题型02 根据菱形的性质求面积
题型03利用菱形的性质证明
题型04 菱形与反比例函数综合
题型05 菱形与圆的综合
题型06利用菱形的性质尺规作图
命题点二 菱形的判定
题型07 添加条件使四边形成为菱形
题型08 证明四边形是菱形
突破一 菱形的折叠问题
突破二 菱形与抛物线的综合问题
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
菱形的性质
常州T6
连云港T16
无锡T17
盐城T26
南京T24
南通T15
无锡T9
南京T16
常州T26
泰州T6
无锡T27
连云港T20
探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
菱形的判定
南京T23
徐州T23
扬州T25
淮安T8
宿迁T21
扬州T24
盐城T25
连云港T20
南通T23
命题预测
2023 - 2025 年菱形的考查情况分析：
近三年中考对菱形考查，题型覆盖选择 、 填空 、 解答，分值 3-12 分，围绕菱形的性质和判定，考查重心从基本性质逐步转向性质与判定综合，题目更灵活，难度稍有提升。
2026年中考数学关于菱形的命题预测：
菱形作为中考数学的核心考点，近三年考查呈现 "稳定 + 创新" 特点：基础题侧重对角线性质与计算，综合题注重与反比例函数、圆形、图形变换结合。
复习建议：
1. 基础夯实阶段
建知识体系：明确菱形与平行四边形、矩形、正方形的关系，形成特殊
2.强化性质记忆：重点掌握对角线性质和面积公式；
3.基础题型训练：
4.能力提升阶段；
5.判定方法专项训练：
三种判定方法对比练习，掌握不同条件下的最优证明路径；
重点练习 "平行四边形 + 对角线垂直→菱形"和"对角线垂直且平分→菱形" 两种判定；
6.综合题型突破：
7.数学思想渗透：
转化思想：菱形问题→三角形问题 (连接对角线)
方程思想：设未知数，利用勾股定理建立方程 (2023 年南京卷类型)
模型思想：识别菱形中的常见模型 (如等边三角形、直角三角形、平行四边形)
8.易错点警示
菱形对角线互相垂直但不一定相等，注意与矩形区别
对角线互相垂直的四边形不一定是菱形(必须是平行四边形)
菱形面积公式 "对角线乘积的一半" 易与矩形面积公式混淆
含 60° 角菱形中，短对角线等于边长，长对角线等于√3 倍边长 (易记错比例)
判定方法
文字语言
图形语言
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方法1
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
方法2
四条边都相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
方法3
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵AC//BD,AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是菱形
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