初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式课后复习题

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1.ΔABC的三边长分别为 a ， b ， c ， 且 (a+b)(a−b)=c2 ， 则（ ）
A . ΔABC是锐角三角形
B . c边的对角是直角
C . ΔABC是钝角三角形
D . a边的对角是直角
2.如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（ ）
A .a2⋅b2=a−b
B .a2−b2=a+ba−b
C .a−b2=a2−2ab+b2
D .a−b2=a2−b2
3.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
4.已知关于x的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A . 10 B . ±10 C . ﹣20 D . ±20
5.下列各式计算中，结果正确的是（ ）
A . （x﹣2）（2+x）=x2﹣2
B . （x+2）（3x﹣2）=3x2﹣4
C . （﹣x﹣y）（x+y）=x2﹣y2
D . （ab﹣c）（ab+c）=a2b2﹣c2
6.在单项式x 2 ， 4xy，y 2 ， 2xy，4x 2 ， 4y 2 ， ﹣4xy，﹣2xy中任选三个作和，可以组不同完全平方式的个数是（ ）
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
7.如果x 2﹣6x+k是完全平方式，则k的值为（ ）
A . ±9 B . ±36 C . 36 D . 9
8.某同学在计算 4(5+1)52+1时，把4写成 (5−1)后，发现可以连续运用平方差公式计算： 4(5+1)52+1=(5−1)(5+1)52+1=52−152+1=252−1=624 ． 请借鉴该同学的经验，计算：
1+121+1221+1241+1281+1216+1231=（ ）
A . 1 B . 2 C . 2−1232 D .2+1232
9.若 x+y=3，x−y=1 ， 则 x2−y2的值为（ ）
A . −2 B . 2 C . −3 D . 3
10.计算：(a－b)(a＋b)(a 2＋b 2)(a 4+b 4)的结果是（ ）
A . a8＋2a4b4＋b8 B . a8－2a4b4＋b8 C . a8＋b8 D . a8－b8
二、填空题
1.已知 m=3+1 ， n是m的小数部分，求 mn的值 ________ ．
2.如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 ________ ．（请用含a，b的等式表示）
3.在实数范围内分解因式：x 3﹣2x= ________
4.平方差公式：（a+b）（a﹣b）= ________ ．语言描述：两数的和与这两数差的积等于 ．
5.发现： 41=4 ， 42=16 ， 43=64 ， 44=256 ， 45=1024 ， 46=4096 ， 47=16384 ， 48=65536 ， 依据上述规律，通过计算判断 3×4+142+144+1…432+1+1的结果的个位数字是 ________ ．
6.一个三角形的一条边长为（2a+4）cm，这条边上的高为（2a﹣4）cm，则这个三角形的面积为 ________ cm 2 ．
7.(2x+3y+5)(2x+3y−5)= ________ ．
8.计算： (3−2)2019×(3+2)2020= ________ ．
9.已知A＝a＋b，B＝a－b，计算A 2－B 2＝ ________ ．
三、计算题
1.解答
（1）计算： 1−2+π−30−612−3+13−1；
（2）解方程组： 3x−y=8x+2y=5 ．
2.先化简代数式 a2−2a+1a2−4÷1−3a+2 ， 再从 2 ， −2 ， 1 ， −1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
3.计算或解方程．
（1）−−2+(π−3)0+(−13)−2+(−1)2022
（2）(1+2m)2−3+2m−3+2m
（3）4x2−20=0
（4） 49(x+1)2+75=300 ．
四、综合题
1.已知：△ABC的三边别是a，b，c．
（1） 当b 2+2ab=c 2+2ac时，试判断△ABC的形状；
（2） 判断式子a 2-b 2+c 2-2ac的值的符号．
2.探究规律，解决问题：
（1） 化简： (m−1)(m+1)= ________ ， (m−1)(m2+m+1)= ________ ．
（2） 化简： (m−1)(m3+m2+m+1) ，写出化简过程．
（3） 化简： (m−1)(mn+mn−1+mn−2+⋯+1)= ________ ．（n为正整数， mn+mn−1+mn−2+⋯+1 为 n+1 项多项式）
（4） 利用以上结果，计算 1+3+32+33+⋯+3100 的值．
3.若 a满足 (2021−a)2+(a−2022)2=5.
（1） ①设 2021−a=x ， a−2022=y ， 则 x+y= ▲ ， x2+y2= ▲ ， 而 (2021−a)(a−2022)= ▲ （用含 x ， y的代数式表示）；
②利用①中的信息，求出 (2021−a)(a−2022)的值；
（2） 如图，点 A ， K分别是正方形 EGHC的边 EG、 EC上的点，满足 CK=k ， AG=k+l(k为常数，且 k>0) ， 长方形 ABKE的面积是 2116 ， 分别以 AB、 EA为边作正方形 ABID和正方形 AFJE ， 求阴影部分的面积.
4.如图
（1） ① 如图1，已知正方形 ABCD的边长为 a ， 正方形 FGCH的边长为 b ， 长方形 ABGE和 EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 ________ （写成平方差的形式）；
②将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 ________ （写成多项式相乘的形式）；
（2） 比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ________ ．
（3） 利用所得公式计算：2(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
五、解答题
1.在进行二次根式的化简与运算时，如遇到 35 ， 23 ， 23+1这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
35=3×55×5=355①
23=2×33×3=63②
23+1=2×3−13+13−1=23−132−12=3−1③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知 x=13+2 ，y=13−2
（1） 求 x+y ， xy的值；
（2） 求 x2+y2−xy的值．
2.计算：2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y） 2 ．
3.【基于教材】
（1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ；
【知识迁移】
（2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若 a+b=54 ， ab=964 ， 求种植番茄的面积；
【拓展应用】
（3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形 ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形 EFGH和四边形 PGND的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片 AMHP的面积．
六、阅读理解
1.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 −1 ， 记为识 i2=−1 ， 这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：2+i+3−4i=5−3i
（1） 填空： i3=___________， i4=___________；
（2） 计算：① 3+i3−i ②3+i2
（3） 若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： x−y+5i=1−x−yi（x，y为实数），求x，y的值．
2.阅读下列解答过程：
已知： x≠0 ， 且满足 x2−3x=1 ， 求： x2+1x2的值．
解：∵ x2−3x=1 ， ∴ x2−3x−1=0 ，
∴ x−3−1x=0 ， 即 x−1x=3 ，
∴ x2+1x2=x−1x2+2=32+2=11 ．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a≠0 ， 且满足 2a+12a−1−a+33a−2=4 ，
求：
（1） a+1a的值；
（2） a2+1a2的值．