2026届成都市盐道街外语学校高三第一次调研测试数学试卷含解析

这是一份2026届成都市盐道街外语学校高三第一次调研测试数学试卷含解析，共9页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若双曲线，已知集合，，且、都是全集，正方形的边长为，是正方形内部等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
4．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
10．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．B．C．D．
12．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.
14．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.
15．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.
16．曲线在点处的切线方程为__．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．
19．（12分）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
20．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
22．（10分）在平面四边形中，已知，.
（1）若，求的面积；
（2）若求的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
2、C
【解析】
∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，为减函数，∵f（lg32）=f（2-lg32）= f（）
且==lg34，lg34＜＜3，∴b＞a＞c，
故选C
3、A
【解析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.
【详解】
解：设双曲线的半个焦距为，由题意
又，则，，，所以离心率，
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
4、C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
6、C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
7、A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】
当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，
若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，
则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题
8、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9、C
【解析】
根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示，
，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
10、C
【解析】
分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.
【详解】
解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以
=，所以当时，的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
11、C
【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
12、A
【解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.
【详解】
，故，
所以曲线在处的切线方程为：.
令，则，故切线的纵截距为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.
【详解】
解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得
的图象.
根据图象与的图象关于轴对称，可得，
，，即时，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.
14、10
【解析】
画出可行域，根据目标函数截距可求.
【详解】
解：作出可行域如下：
由得，平移直线，
当经过点时，截距最小，最大
解得
的最大值为10
故答案为：10
【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.
15、1
【解析】
由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.
【详解】
因为，所以由正弦定理可得，所以;
所以，当，即时，三角形面积最大.
故答案为(1). 1 (2).
【点睛】
本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.
16、
【解析】
对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.
【详解】
因为，所以，从而切线的斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据
，当且仅当时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
18、（1）的值为或.（2）
【解析】
（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，
设点在抛物线准线上的射影为，
则三点共线时，
的最小值为，此时
若线段与抛物线有公共点，即时，
则三点共线时，的最小值为：
，此时
综上，实数的值为或.
因为，
所以轴且
设，则，代入抛物线的方程解得
于是，
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
19、（1）
（2）
【解析】
（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.
【详解】
解：（1）当时，
由，得.
故不等式的解集为.
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以.
因为，
所以，则，所以，
即，解得，即的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
20、（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】
（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
【点睛】
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.
（2）利用诱导公式求得，进而求得，利用两角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的长.
【详解】
（1）在中，
，
解得，
.
（2）
在中，，
.
.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.