四川省成都市实验外国语学校2026届高三上学期入学摸底测试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：A
2. 命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定得解.
【详解】由全称命题的否定可知，
命题 的否定是： ，
故选：A
3. 复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求解出 ，则复数的虚部可知.
【详解】因为 ，所以 的虚部为 ，
故选：A.
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4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得出解集，再根据集合之间的包含关系可得出结论.
【详解】解不等式 ，可得 或 ，因为 是 或 的真子集，所以
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A．
5. 不等式 的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ；
故选：D.
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 , ，则
【答案】D
【解析】
【分析】通过举反例排除 A,B 两项；利用作差法判断 C 项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到 D 项
结论.
【详解】对于 A，若 ，当 时，则 ，故 A 错误；
对于 B，若 ，满足 ，但 ，故 B 错误；
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对于 C，因 ， ，由 ，可得 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，因 ，则 ，故 D 正确．
故选：D．
7. 已知函数 ，则 （ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求 得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 利 用 正 弦 定 理 得 ， 再 利 用 余 弦 定 理 有 ， 由 正 弦 定 理 得 到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
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因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
二、多选题
9. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据对数的基本运算求解即可.
【详解】对 A， ，故 A 错误；
对 B， ，故 B 错误；
对 C， 正确；
对 D， 正确.
故选：CD
10. 下列说法中正确为（ ）
A. 已知函数 ，若 ，有 成立，则实数 a 的值为 4
B. 若关于 x 的不等式 恒成立，则 k 的取值范围为
C. 设集合 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D. 函数 与函数 是同一个函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的对称性，可求得 a 值，即可判断 A 的正误；分别讨论 和 两种情况，结合二
次型函数的性质，可判断 B 的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断 C 的正误；根
据同一函数的定义，可判断 D 的正误，即可得答案.
【详解】对于 A：由 成立，可得函数 的对称轴为 ，
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又二次函数 的对称轴为 ，
所以 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B：当 时，可得 成立，满足题意，
当 时，可得 ，解得 ，
综上 k 的取值范围为 ，故 B 错误；
对于 C：当 时， ，所以 ，充分性成立，
若 ，则 或 ，解得 或 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 C 正确；
对于 D：函数 定义域为 R，函数 的定义域为 ，
定义域不同，故不是同一函数，故 D 错误，
故选：AC
11. 已知数列 满足 ， 的前 n 项和为 ，则（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. ， ， 构成等差数列 D. 数列 前 100 项和为
【答案】AD
【解析】
【分析】令 ，计算可判断 A，当 ，可得 ，两式相减可得
，进而逐项计算可判断 BCD.
【详解】对于 A，当 时，可得 ，故 A 正确；
对于 B，
当 时， ，
两式相减可得 ，所以 ，
当 ， 适合上式，所以 ；
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由 不是常数，所以数列 不是等比数列，故 B 错误；
对于 C，由 可知， ，
所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ， ，
，
又 ，所以 ，
所以 ， ， 不构成等差数列，故 C 错误；
对于 D， ，
所以
，故 D 正确.
故选：AD.
三、填空题
12. 已知正实数 x，y 满足 ，则 最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】 正数 ， 满足： ，
，
当且仅当 ，即 ， 时 “ ”成立，
故答案为： .
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13. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理可得三边比值，利用勾股定理即可得解.
【详解】由 和正弦定理可知， ，
设 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
14. 已知函数 ，如图 A，B 是直线 与曲线 的两个交点，若 ，
则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，
从而得到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
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因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
四、解答题
15. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 x 的值；
（2）若向量 ， ，求 与 的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求 ，再由关系 结合向量垂直的坐标表示列方程可求 ，
（2）先求 ，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求 ，根据向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ， ，
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所以 ，
所以 ，
所以 x 的值为 ，
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 与 的夹角的余弦值为 .
16. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
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（3）由正弦定理求出 ，再由平方关系求出 ，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问 1 详解】
由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
【小问 2 详解】
由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
【小问 3 详解】
由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
17. 如图，在三棱台 中， 平面 ， 为
中点.，N 为 AB 的中点，
（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角 定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问 1 详解】
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则
// ，
又 平面 ， 平面 ，于 //平面 .
【小问 2 详解】
过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 .
由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面
，则 平面 .
由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是
平面 ，
由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 .
又 ， ，则 ，故 ，在
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中， ，则 ，
于是
【小问 3 详解】
[方法一：几何法]
过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为
.
由题干数据可得， ， ，根据勾股定理，
，
由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ，
平面 ，于是 平面 .
又 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故
平面 .
在 中， ，
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又 ，故点 到平面 的距离是 到平面 的距离的两倍，
即点 到平面 的距离是 .
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点 到平面 的距离为 .
，
.
由 ，即 .
18. 某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 （单位：元）与销量 （单位：百件）的对应数
据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
（1）求该纪念品定价的平均值 和销量的平均值 ；
（2）计算 与 的相关系数；
（3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合 与 的关系，并说明理由.
参考数据： .
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参考公式：相关系数 .
【答案】（1）13；11
（2）
（3）可以用线性回归模型拟合 与 之间的关系，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可；
（2）分别求出 和 ，再代入公式即可求解；
（3）根据相关系数的绝对值大于 0.75 且非常接近 1 判断即可.
【小问 1 详解】
由题可知 ， ；
【小问 2 详解】
计算得 ，
故 ；
【小问 3 详解】
由（2）可知， 与 的相关系数的绝对值近似为 0.992，大于 0.75 且非常接近 1，
说明 与 的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合 与 之间的关系.
19. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中
国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了
200 名网民，得到如下数据．
男性网民 女性网民 合计
喜欢网络文学 45 60 105
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不喜欢网络文
55 40 95 学
合计 100 100 200
（1）判断是否有 99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关；
（2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台
给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定
胜负．根据以往经验，甲组第 1 次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获
胜的概率为 ；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为 ，已知按此规则进行了多次
挑战赛，每次挑战有且仅有 1 个组获胜．
（i）在进行了 3 次挑战赛后，求乙组获胜次数 X 的分布列与数学期望；
（ii）若第 次挑战时甲组获胜的概率为 ，求 的通项公式，并求出使 的 的最小值．
附 ，其中 n=a+b+c+d．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）没有把握；
（2）（i）分布列见解析，数学期望为 ；（ii） ；6.
【解析】
【分析】（1）根据给定 数据求出 的观测值，再与临界值比对即可.
（2）（i）求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）求出 的递推公式，利
用构造法求出通项公式，再按奇偶分类讨论求出 的最小值.
小问 1 详解】
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根据列联表中的数据，得 ，
所以没有 的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关.
【小问 2 详解】
（i）X 的可能取值为 0，1，2，3，
； ；
； ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
（ii）依题意， ，
则 ，而 ，
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，
当 为奇数时， ，不合题意；
当 为偶数时， ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，又数列 单调递增，则 ，
所以 的最小值为 6.
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