四川省成都市盐道街中学2026届高三上学期一诊模拟考试数学试卷（Word版含解析）

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命题人：杨周梦 审题人：杨治英
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3. 已知 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列 满足 ， ，则数列 前 2025 项和为（ ）
A. 1013 B. -1011 C. 1014 D. -1012
5. 已知一组数据为 ，若 为这组数据的 分位数，则 的展开式中 的系数
为（ ）
A. B. 280 C. D. 560
6. 2025 年高考结束后，某校高三年级一宿舍的 6 位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设 6 位同学站成一排，
舍长与副舍长必须站中间，其他两位 1 班同学彼此不相邻，两位 2 班同学彼此不相邻，则不同的站法共有
（ ）
A. 16 种 B. 32 种 C. 48 种 D. 64 种
7. 已知点 为抛物线 焦点，直线 与该抛物线交于 A，B 两点，点 为
的中点，过点 向该抛物线的准线作垂线，垂足为 .若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 若点 为 的外心，且满足 ，则 的最大值为（ ）
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A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
有选错的得 0 分）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最大值为 2
B. 在 上单调递增
C. 在 上有 3 个零点
D. 把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称
10. 甲袋中有 3 个黑球，2 个白球，乙袋中有 5 个黑球，3 个白球．这些球大小、形状完全相同．先从甲袋
中随机取出一个球放入乙袋，记事件 为“取出的是黑球”，事件 为“取出的是白球”；再从乙袋中随
机不放回取出两个球，记事件 为“取出的两球都是黑球”，事件 为“取出的两球为一黑一白”，则（
）
A. B.
C. D.
11. 设函数 的定义域为 D，如果存在 ，使得 ，那么我们称 为该函数的一个不动
点；若 满足 ，则称 为 的次不动点，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在次不动点
B. 对于函数 ，既存 不动点，也存在次不动点
C. 函数 的不动点有 2 个
D. 函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点，则 的取值范围是
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三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知函数 ，则 在 处的切线方程为__________．
13. 已知 在直线 上，则 的最小值为_______．
14. 在斜边为 AC 的 中， 的平分线交 于点 ，且 ， 平面 于点
，点 ， ，当四面体 体积最大时，直线 与 所成角的正弦值为______．
四、解答题（木大题共 5 小题，共 77 分）
15. 为数列 的前 项和．已知 ， ．
（1）证明 是等比数列，并求数列 通项公式；
（2）数列 为等差数列，且 ，求数列 的前 项和 ．
16. 如图，在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， 底面
是 的中点， 是 的中点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 x/亩 1 2 3 4 5
管理时间 y/月 8 10 13 25 24
并调查了某村 300 位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管 不愿意参与管
理 理
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男性村
150 50 民
女性村
50 50 民
（1）求出样本相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关（当 时，即
可认为线性相关）；
（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取 3 人，记取到不愿意参与管
理的男性村民的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
参考公式： ；参考数据： ．
18. 已知 A，B 分别是双曲线 的左、右顶点，P 是 C 上异于 A，B 的一点，直线
， 的斜率分别为 ，且 ．
（1）求双曲线 C 方程；
（2）已知过点 的直线 ，交 C 的左，右两支于 D，E 两点（异于 A，B）．
（i）求 m 取值范围；
（ii）设直线 与直线 交于点 Q，求证：点 Q 在定直线上．
19. 已知函数 的导函数为 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在 上不单调，求 的取值范围；
（3）已知 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ，且满足
，求实数 的取值范围.
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