湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 若复数，则（ ）
2. 设，则“”是“”的（ ）
3. 有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）
4. 若，则（ ）
5. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线右支交于两点，直线分别交轴于两点，若的周长为24，则的最大值为（ ）
7. 直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ）
8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题
9. 直三棱柱中，，点分别为的中点，则（ ）
10. 已知函数在处有极大值，则（ ）
11. 已知函数且，则（ ）
三、填空题
12. 记为等差数列的前项和，若，，则__________．
13. 2025的正因数的个数为__________个.（用数字作答）
14. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________．
四、解答题
15. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
16. 如图，在三棱台中，平面，为中点，.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计.
(1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？
(2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为.
（i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值.
（ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望.
参考公式与数据：，其中.
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N.
（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值；
（ii）求的最大值.
19. 已知函数，.
(1)求函数的最值；
(2)讨论函数在上极值点的个数；
(3)设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．3i
C．
D．3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．解释变量与响应变量的线性相关性变弱
B．数据的方差变大
C．决定系数变小
D．残差平方和变小
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．12
B．16
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．平面
C．平面
D．
A．
B．
C．若时，的值域为，则的取值范围为
D．曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点
A．函数在上单调递减
B．函数的最小正周期为
C．函数的图像关于对称
D．函数的值域为
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828