2026年广州市中考数学终极押题模拟卷二（含答案）

这是一份2026年广州市中考数学终极押题模拟卷二（含答案），共14页。
A．3.14B．πC．327D．4
2．（3分）下列各选项中的图形，绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．a−b=a−b（a≥b≥0）D．2a+5a=7a（a≥0）
4．（3分）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
5．（3分）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与y轴的交点坐标点是（0，﹣5）
B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5
D．y的值随着x值的增大而减小
7．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=mx的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m＜0C．m≥0D．m≤0
8．（3分）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．52B．5C．4D．8
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点 E、F分别在AB、AD边上，点P是对角线BD上的动点，PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．22
10．（3分）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（a＜0）上，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x1＞0且y1y2＞0时，则x2＜﹣2
B．当x1＞0且y1y2＜0时，则﹣2＜x2＜0
C．当x1＞x2＞﹣1时，则y1＞y2
D．当x1＜x2＜﹣1时，则y1＞y2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，直线AB和CD的夹角是 °．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，DE＝3，则BC的长为 ．
13．（3分）要使代数式x−7x−5有意义，则x应满足的条件是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，OC平分∠ACB，OD⊥BC于点D，BD＝CD，点F在CD上，连接OF，∠COF＝∠BCE＝45°，延长DO交AC于E，AE＝2DF，下列结论中：（1）∠DEC＝2∠DOF；（2）CE＝2CF；（3）tan∠A=43；（4）若DF＝2，则OC＝65．以上结论正确的序号 ．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若某动直线与抛物线的图象恒有公共点，则称该动直线为抛物线的“伴随直线”．若抛物线y＝mx2+6mx+n（m＞0）存在“伴随直线”y＝kx+3，则n的取值范围为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线AG，交CD的延长线于点G，连接AO并延长交CD于点E．若∠G＝15°，半径OA为2，AE＝AD时，则∠B＝ ，CE＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组2x−8＞−6x①1+2x3≥x−1②；并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD．
19．（6分）先化简，再求值：3x+9x÷(x−9x)，其中x=52．
20．（6分）某教育局举办中小学生经典诵读活动，激发了同学们的读书热情．为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
（1）补全条形统计图，扇形统计图中的a＝ ．
（2）本次被调查学生课外阅读的本数的平均数是 ，中位数是 ．
（3）若该校八年级有1600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
21．（8分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当EA+EB最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
22．（10分）某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数．
设甲种机器每分钟加工x个零件．
（Ⅰ）根据题意，用含x的式子填写下表：
（Ⅱ）列出方程，求出问题的解并写出答话．
23．（10分）如图1，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α（0°＜α＜180°），点D在BC边上．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠DCE的度数；
（3）如图3，当α＝90°，且BC＝4时，求四边形ADCE的面积．
24．（12分）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；
（2）在图3中画出以点C的水平方向建立x轴，过点C的竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
25．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC．
【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝ ；∠DAB＝ °；
【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F．
①试说明△ABC∽△ADE；
②求证：BF＝CF；
【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若AC=23，BC=CD=22，求DF的长．
2026年广州中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个选项中，是无理数的是（ ）
A．3.14B．πC．327D．4
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：3.14是分数，327=3，4=2是整数，它们都不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列各选项中的图形，绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】点、线、面、体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断即可．
【解答】解：将直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是圆锥，
故选：B．
【点评】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的前提．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．a−b=a−b（a≥b≥0）D．2a+5a=7a（a≥0）
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3•a5＝a8，则A不符合题意，
（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意，
a与b不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意，
2a+5a=7a（a≥0），则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断即可．
【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝1，x2＝5，
故本选项不符合题意；
B、∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故本选项不符合题意；
C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．（3分）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】统计图的选择．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据频数分布直方图、扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．
【解答】解：某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是折线统计图．
故选：C．
【点评】本题主要考查了统计图的选择，熟练掌握扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目是解决此题的关键．
6．（3分）将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与y轴的交点坐标点是（0，﹣5）
B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为12.5
D．y的值随着x值的增大而减小
【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的性质；一次函数的性质；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】根据平移规律求出新一次函数解析式，再根据一次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向下平移5个单位后，得到函数解析式为y＝2x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，与y轴的交点坐标点是（0，﹣5），
故A选项符合题意；
∵k＝2＞0，b＝﹣5＜0，
∴函数y＝2x﹣5经过第一、三、四象限，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故B、D选项不符合题意；
∵y＝0时，x=52，
∴与x轴的交点坐标点是（52，0），
∴与两坐标轴围成的三角形的面积为12×52×5=254，
故C选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=mx的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m＜0C．m≥0D．m≤0
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象位于第一、三象限的条件列出不等式求解即可．
【解答】解：根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象分布在第一、三象限，
∴m＞0．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象性质．熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．52B．5C．4D．8
【考点】中点四边形；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质、面积公式得到AC⊥BD，12AC•BD＝10，根据三角形中位线定理得到EF∥AC，EF=12AC，证明四边形EFGH为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10，
∴AC⊥BD，12AC•BD＝10，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=12AC，
同理可得：GH∥AC，GH=12AC，FG∥BD，FG=12BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
∴S四边形EFGH＝EF•FG=12AC•12BD=12×12AC•BD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝45°，点 E、F分别在AB、AD边上，点P是对角线BD上的动点，PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．22
【考点】轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】作点E关于BD的对称点G，作GF⊥AD于点F，GF交BD于点P，则此时PE+PF的值最小，最小值等于FG的长，作AH⊥BC于点H，则四边形AHGF是矩形，求出AH=ABsin∠ABC=22，则FG=AH=22，即可得到答案．
【解答】解：作点E关于BD的对称点G，作GF⊥AD于点F，GF交BD于点P，
则PE+PF＝PG+PF≥FG，当且仅当三点共线时取等，
而当FG⊥AD时有最小值，
作AH⊥BC于点H，则四边形AHGF是矩形，
∴GF＝AH，
∵AB＝4，∠ABC＝45°，
∴AH=ABsin∠ABC=4×22=22，
则FG=AH=22，
即PE+PF的最小值为22，
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称的性质、菱形的性质、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（a＜0）上，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x1＞0且y1y2＞0时，则x2＜﹣2
B．当x1＞0且y1y2＜0时，则﹣2＜x2＜0
C．当x1＞x2＞﹣1时，则y1＞y2
D．当x1＜x2＜﹣1时，则y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先分析抛物线y＝ax2+2ax（a＜0）的性质：对称轴为x=−2a2a=−1，a＜0故抛物线开口向下，抛物线与x轴交点，令y＝0，得x＝0或x＝﹣2，即图象过（0，0）、（﹣2，0）．
【解答】解：选项A：若x1＞0且y1y2＞0，x1＞0时y1＜0，则y2＜0，对应x2应在﹣2＜x2＜0，A错误，
选项B：若x1＞0且y1y2＜0，y1＜0则y2＞0，对应x2在﹣2＜x2＜0，B正确；
选项C：x1＞x2＞﹣1时，在对称轴右侧（开口向下），x越大y越小，故y1＜y2，C错误，
选项D：x1＜x2＜﹣1时，在对称轴左侧（开口向下），x越小y越小，故y1＜y2，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）及函数值的变化规律．熟练掌握二次函数的对称性、开口方向与函数单调性的关系，是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，直线AB和CD的夹角是 50 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】50．
【分析】根据两条直线夹角的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，直线AB和CD的夹角是50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，DE＝3，则BC的长为 9 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似．
【答案】9．
【分析】利用相似三角形的判定及性质即可求解．
【解答】解：∵AD＝5，BD＝10，
∴AB＝AD+BD＝15，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ABAD=BCDE，
∵DE＝3，
∴155=BC3，
解得：BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，掌握其性质是解题的关键．
13．（3分）要使代数式x−7x−5有意义，则x应满足的条件是 x＞5 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】x＞5
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x﹣5＞0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5＞0，
解得：x＞5．
故答案为：x＞5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，OC平分∠ACB，OD⊥BC于点D，BD＝CD，点F在CD上，连接OF，∠COF＝∠BCE＝45°，延长DO交AC于E，AE＝2DF，下列结论中：（1）∠DEC＝2∠DOF；（2）CE＝2CF；（3）tan∠A=43；（4）若DF＝2，则OC＝65．以上结论正确的序号 （1）（2） ．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2）．
【分析】根据角平分线性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及解直角三角形逐项分析判断即可．
【解答】解：（1）设∠OCD＝α，则∠DCE＝2α，
∴∠DEC＝90°﹣2α＝2（45°﹣α），
∵∠COF＝45°，
∴∠OFD＝45°+α，
∴∠DOF＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∴∠DEC＝2∠DOF，故（1）正确；
（2）∵AC＝BC，
∴AE+EC＝BD+CD，
∵AE＝2DF，BD＝CD，
∴2DF+EC＝2CD，
∴EC＝2CD﹣2DF＝2（CD﹣DF）＝2CF，即CE＝2CF，
故（2）正确；
（3）连接BE，由三线合一可得△BCE为等腰三角形，∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝90°，BE＝EC，
∴∠BEA＝90°，
∴tanA=BEAE=ECAE，
设EC＝a，则CD=22a，BC=2a，AC=2a，AE＝AC﹣EC＝（2−1）a，
∴tanA=a(2−1)a=2+1.故（3）错误；
（4）∵△BCE为等腰三角形，∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∵sin∠EBC=ECBC=sin45°=22，
∴BC=2EC，
∵AE＝2DF且DF＝2，
∴AE＝4，
∵AC＝BC，
∴AE+EC＝BC即4+EC=2EC，
∴EC＝4（2+1），
∴DC＝2（2+2），
∴CF＝DC﹣DF＝2（2+2）﹣2＝2（2+1）．故（4）错误．
正确的序号为（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．
【点评】本题考查了角平分线性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是关键．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若某动直线与抛物线的图象恒有公共点，则称该动直线为抛物线的“伴随直线”．若抛物线y＝mx2+6mx+n（m＞0）存在“伴随直线”y＝kx+3，则n的取值范围为 n≤3 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】n≤3．
【分析】依据题意，由抛物线的解析式为y＝mx2+6mx+n（m＞0），且“伴随直线”为y＝kx+3，可联立方程组y=mx2+6mx+ny=kx+3，从而mx2+6mx+n＝kx+3，即mx2+（6m﹣k）x+（n﹣3）＝0，故Δ＝（6m﹣k）2﹣4m（n﹣3）≥0，进而k2﹣12mk+36m2﹣4m（n﹣3）≥0，可得Δ′＝（﹣12m）2﹣4×1×[36m2﹣4m（n﹣3）]≤0，结合m＞0，最后计算即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线的解析式为y＝mx2+6mx+n（m＞0），且“伴随直线”为y＝kx+3，
∴联立方程组y=mx2+6mx+ny=kx+3．
∴mx2+6mx+n＝kx+3，即mx2+（6m﹣k）x+（n﹣3）＝0．
∴Δ＝（6m﹣k）2﹣4m（n﹣3）≥0．
∴k2﹣12mk+36m2﹣4m（n﹣3）≥0．
∴Δ′＝（﹣12m）2﹣4×1×[36m2﹣4m（n﹣3）]≤0．
∴16m（n﹣3）≤0．
∵m＞0，
∴n﹣3≤0．
∴n≤3．
故答案为：n≤3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线AG，交CD的延长线于点G，连接AO并延长交CD于点E．若∠G＝15°，半径OA为2，AE＝AD时，则∠B＝ 105° ，CE＝ 6−2 ．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】105°；6−2．
【分析】在△ADE中，根据AE＝AD，设∠ADE＝∠AED＝α，则∠DAE＝180°﹣2α，根据三角形外角性质得∠DAG＝α﹣15°，再根据切线性质得∠EAD＝90°，则180°﹣2α+α﹣15°，由此解出α＝75°得∠ADE＝∠AED＝75°，∠DAE＝30°，然后根据内接四边形性质得∠B+∠ADE＝180°，据此可得∠B＝105°；
连接OC，OD，过点E作EH⊥OC于点H，则OC＝OD＝OA＝2，进而得∠ODA＝∠ODA＝30°，∠OCD＝∠ODC＝45°，则△OCD是等腰直角三角形，再求出∠EOD＝60°得∠EOH＝30°，设HE＝a，则OE＝2a，OH=3a，证明△CEH是等腰直角三角形得HC＝HE＝a，CE=2a，然后根据OC＝HC+OH=a+3a=2得a=3−1，据此可得CE的长．
【解答】解：在△ADE中，AE＝AD，
∴设∠ADE＝∠AED＝α，
∴∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣2α，
∴∠ADE是△ADG的外角，∠G＝15°，
∴∠ADE＝∠G+∠DAG，
∵∠DAG＝∠ADE﹣∠G＝α﹣15°，
∵AG是⊙O过点A的切线，
∴EAD＝∠DAE+∠DAG＝90°，
∴180°﹣2α+α﹣15°，
解得：α＝75°，
∴∠ADE＝∠AED＝α＝75°，∠DAE＝180°﹣2α＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADE＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠ADE＝180°﹣75°＝105°；
连接OC，OD，过点E作EH⊥OC于点H，如图所示：
∴∠EHC＝∠EHO＝90°，
∴△OEH和△CEH都是直角三角形，
∵⊙O的半径OA为2，
∴OC＝OD＝OA＝2，
∴∠ODA＝∠ODA＝30°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠ADE﹣∠ODA＝75°﹣30°＝45°，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠COD＝90°，
在△ODE中，∠EOD＝180°﹣（∠ODC+∠AED）＝180°﹣（45°+75°）＝60°，
∴∠EOH＝∠COD﹣∠EOD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△OEH中，设HE＝a，则OE＝2a，
由勾股定理得：OH=OE2−HE2=(2a)2−a2=3a，
在Rt△CEH中，∠OCD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴HC＝HE＝a，
由勾股定理得：CE=HC2+HE2=a2+a2=2a，
∵OC＝HC+OH=a+3a=2，
∴a=3−1，
∴CE=2a=6−2．
故答案为：105°；6−2．
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组2x−8＞−6x①1+2x3≥x−1②；并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x≤4，数轴表示见解答．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：2x−8＞−6x①1+2x3≥x−1②，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤4，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证明∠A＝∠BCD，∠EFA＝∠BDC＝90°，根据AAS即可证明△AEF≌△CBD．
【解答】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°．
∵DC⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝∠BDC＝90°．
∵AE＝CB，
∴△AEF≌△CBD（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：3x+9x÷(x−9x)，其中x=52．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】3x−3，﹣6．
【分析】先计算括号，再计算乘除即可．
【解答】解：原式=3(x+3)x÷x2−9x
=3(x+3)x•x(x+3)(x−3)
=3x−3，
当x=52时，原式=352−3=−6．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
20．（6分）某教育局举办中小学生经典诵读活动，激发了同学们的读书热情．为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
（1）补全条形统计图，扇形统计图中的a＝ 20 ．
（2）本次被调查学生课外阅读的本数的平均数是 6.4 ，中位数是 6 ．
（3）若该校八年级有1600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
【考点】加权平均数；中位数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）20；
（2）6.4，6；
（3）704人．
【分析】（1）先根据8本占比求调查的总人数，再求a；
（2）根据平均数、中位数定义求中位数；
（3）根据样本比例求八年级学生课外阅读至少七本的人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），
50﹣18﹣14﹣8＝10（人）．
10÷50×100%＝20%．
∴a＝20，
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）平均数=5×10+6×18+7×14+8×850=6.4，
将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，故中位数为6+62=6．
课外阅读6本对应的圆心角为：360°×36%＝129.6°．
故答案为：6.4，6；
（3）1600×14+850=704（人）．
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的有704人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当EA+EB最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数思想；方程思想；模型思想；应用意识．
【答案】（1）y=−4x；
（2）E（0，175）；
（3）b＝1或9．
【分析】（1）由一次函数y＝x+5过A（﹣1，m），所以m＝﹣1+5＝4，则A（﹣1，4），由反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）过A（﹣1，4）所以k＝﹣1×4＝﹣4，即可求得反比例函数解析式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=−4x（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B两点，则x+5=−4x，求出B（﹣4，1），得到B关于又轴对称点B′（4，1），连接AB′交y轴与E点，求出直线AB′解析式，此时EA+EB最小；
（3）设一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0）后为y＝x+5﹣b，与y=−4x联立转化为一元二次方程x2+（5﹣b）x+4＝0，当Δ＝0时，只有一个交点，即可求b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点，
∴当x＝﹣1时，m＝﹣1+5＝4，
∴A（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
反比例函数解析式：y=−4x；
（2）根据题意可得：x+5=−4x，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4，
则y1＝4，y2＝1，
即B（﹣4，1），A（﹣1，4），
∴B（﹣4，1）关于又轴对称点B′（4，1），
连接AB′交y轴与E点，此时EA+EB最小，
设直线AB′为：y＝k′x+b′，
则−k'+b'=44k'+b'=1，
解得：k'=−35b'=175，
∴直线AB′为：y=−35x+175，
当x＝0时，y=−35×0+175=175，
即E（0，175）；
（3）设一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0）后为y＝x+5﹣b，
由于和y=−4x只有一个交点，
根据题意可得：x+5=−4x，
则x2+（5﹣b）x+4＝0，
∴Δ＝（5﹣b）2﹣4×1×4＝0，
解得：b＝1或b＝9．
故b＝1或9．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数交点的问题以及利用待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称求最小值的问题，函数图象的平移问题，理解题意是解决问题的关键．
22．（10分）某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数．
设甲种机器每分钟加工x个零件．
（Ⅰ）根据题意，用含x的式子填写下表：
（Ⅱ）列出方程，求出问题的解并写出答话．
【考点】分式方程的应用；列代数式．
【专题】整式；分式；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（Ⅰ）（40﹣x），95x，10540−x；
（Ⅱ）甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件．
【分析】（Ⅰ）由甲、乙两种机器每分钟加工零件的总数及甲机器每分钟加工零件的数量，可得出乙种机器每分钟加工（40﹣x）个零件，再利用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可用含x的代数式表示出加工时间；
（Ⅱ）根据甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种机器每分钟加工零件的数量），再将其代入（40﹣x）中，即可求出乙种机器每分钟加工零件的数量．
【解答】解：（Ⅰ）∵甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器每分钟加工x个零件，
∴乙种机器每分钟加工（40﹣x）个零件，
∴甲种机器加工95个零件所需时间为95x分钟，乙种机器加工105个零件所需时间为10540−x分钟．
故答案为：（40﹣x），95x，10540−x；
（Ⅱ）根据题意得：95x=10540−x，
解得：x＝19，
经检验，x＝19是所列方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝40﹣19＝21（个）．
答：甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（Ⅰ）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（Ⅱ）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．（10分）如图1，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α（0°＜α＜180°），点D在BC边上．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠DCE的度数；
（3）如图3，当α＝90°，且BC＝4时，求四边形ADCE的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）120°；
（3）4．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）由（1）得△BAD≌△CAE（SAS），得到∠ABD＝∠ACE，根据等边三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝60°，求得∠ACE＝∠ABD＝60°，得到∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°；
（3）如图，过点A作 AF⊥BC于点F，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD＝∠ACB＝45°，求得∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理得到△BAD≌△CAE（SAS），求得S△ABD＝S△ACE，得到S四边形ADCE＝S△CDA+S△CAE＝S△CDE+S△ABD＝S△ABC，求得BF＝AF＝2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE 中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：由（1）得△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵α＝60°，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°；
（3）解：如图，过点A作 AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴S△ABD＝S△ACE，
∴S四边形ADCE＝S△CDA+S△CAE＝S△CDE+S△ABD＝S△ABC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF=FC=12BC=12×4=2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝45°，
∴BF＝AF＝2，
∴S△ABC=12BC⋅AF=12×4×2=4，
∴S四边形ADCE＝S△ABC＝4．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24．（12分）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；
（2）在图3中画出以点C的水平方向建立x轴，过点C的竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
【考点】二次函数的应用；线段的性质：两点之间线段最短；解直角三角形．
【专题】二次函数的应用；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）1.55米；
（2）y=−12125x2；
（3）3.5米．
【分析】（1）作MP⊥l，根据sin10°=MPMN≈0.174求出MN即可；
（2）先设抛物线ACB的关系式为y＝ax2（a＜0），根据题意可得点B（5，﹣2.4），再代入y＝ax2（a＜0）可得答案；
（3）先根据题意将x＝4代入二次函数关系式，求出OG＝1.536，再求出GH＝3.864，然后根据h＝GH﹣0.3得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，过点M作MP⊥l，
∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米，
∴MP＝0.27，∠MNP＝10°，
∵MP⊥l，sin10°≈0.174，
∴sin10°=MPMN≈0.174，
即0.27MN≈0.174，
解得MN=（米）；
答：涉水线离坡底的距离为1.55米；
（2）如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线ACB的关系式为y＝ax2（a＜0），
∵隧道的最高点到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米，
∴点B（5，﹣2.4）．
把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2（a＜0），得
﹣2.4＝25a，
解得a=−12125，
∴y=−12125x2；
（3）如图所示，
∵车辆行驶方向的右侧车道线与墙面距离是1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米，
∴10÷2﹣1＝4（米），
∴当x＝4时，y=−12125×42=−1.536，则OG＝1.536米，
∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864（米）．
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564（米）．
∵涉及安全问题，
∴限高架上标有警示语“车辆限高h米”，则h＝3.564≈3.5（米）．
【点评】本题考查二次函数的应用，线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
25．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC．
【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝ 22 ；∠DAB＝ 135 °；
【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F．
①试说明△ABC∽△ADE；
②求证：BF＝CF；
【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若AC=23，BC=CD=22，求DF的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①22；②135；
（2）①由旋转得AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB，
∴ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE；
②如图，在DF上截取DG＝EF，连接CG．
由旋转得∠ADC＝∠AEB＝90°，AE＝AD，DC＝BE．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠ADE+∠CDF＝90°，∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠CDF＝∠BEF，
∴△DCG≌△EBF（SAS），
∴∠DGC＝∠BFE，CG＝BF．
∵∠CGF＝180°﹣∠DGC，∠CFG＝180°﹣∠BFE，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG，
∴BF＝CF．
（3）6+2153．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB=AC=22利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAC，∠ABC的度数，进而求出∠BAC的度数即可得到答案；
（2）①根据旋转的性质可得到AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB，据此可证明结论；
②在DF上截取DG＝EF，连接CG．证明△DCG≌△EBF（SAS），得到∠DGC＝∠BFE，CG＝BF．证明∠CGF＝∠CFG，得到CF＝CG，则可证明BF＝CF；
（3）连接AF，过点A作AH⊥DF于点H．由勾股定理得AD=AC2−CD2=2，由相似三角形的性质可求出DE=263，由三线合一定理和勾股定理求出AH、AF的长，再求出HF的长即可得到答案．
【解答】（1）解：∵∠D＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC=AD2+CD2=22，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AB＝AC=22；
∵∠ACB＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°；
故答案为：22，135°；
（2）证明：①由旋转得AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB，
∴ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE；
②如图，在DF上截取DG＝EF，连接CG．
由旋转得∠ADC＝∠AEB＝90°，AE＝AD，DC＝BE．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠ADE+∠CDF＝90°，∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠CDF＝∠BEF，
∴△DCG≌△EBF（SAS），
∴∠DGC＝∠BFE，CG＝BF．
∵∠CGF＝180°﹣∠DGC，∠CFG＝180°﹣∠BFE，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG，
∴BF＝CF．
（3）解：如图所示，连接AF，过点A作AH⊥DF于点H．
∵DC=22，AC=23，
∴AD=AC2−CD2=2．
由（2）可知，△ABC∽△ADE，
∴DEBC=ADAC，即DE22=223，
∴DE=263，
∵AD＝AE，AH⊥DF，
∴DH=12DE=63，
∴AH=AD2−DH2=303，
由（2）可知，CF=BF=12BC=2，AC=AB=23，
∴AF⊥BC，
∴AF=AC2−CF2=10，
在Rt△AFH中，由勾股定理得FH=AF2−AH2=2153，
∴DF＝DH+HF=6+2153．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温℃
25
25
28
30
33
30
29
加工零件（个/分钟）
加工数量（个）
加工时间（分钟）
甲种机器
x
95

乙种机器

105

发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cs10°≈0.985，tan10°≈0.176．
隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
C
A
A
B
D
B
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温℃
25
25
28
30
33
30
29
加工零件（个/分钟）
加工数量（个）
加工时间（分钟）
甲种机器
x
95
95x
乙种机器
（40﹣x）
105
10540−x
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cs10°≈0.985，tan10°≈0.176．
隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．