专题04 有理数的应用十大题型（举一反三专项训练）数学人教版2024七年级上册+答案

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专题04 有理数的应用十大题型（举一反三专项训练） 【人教版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc5003" 【题型1 行程问题】  PAGEREF _Toc5003 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc21343" 【题型2 计件问题】  PAGEREF _Toc21343 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc19364" 【题型3 工程问题】  PAGEREF _Toc19364 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc25287" 【题型4 销售问题】  PAGEREF _Toc25287 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc26621" 【题型5 走向问题】  PAGEREF _Toc26621 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc22826" 【题型6 比赛问题】  PAGEREF _Toc22826 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc8488" 【题型7 票房问题】  PAGEREF _Toc8488 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc23762" 【题型8 游客问题】  PAGEREF _Toc23762 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc31829" 【题型9 质量问题】  PAGEREF _Toc31829 \h 31  HYPERLINK \l "_Toc15862" 【题型10 分段收费】  PAGEREF _Toc15862 \h 35  【题型1 行程问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： 100÷100−60=100÷40=2.5﹙个时间单位﹚在这2.5个时间单位里，甲要走的步数是：100×2.5=250﹙步﹚甲要走250步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走50米，走了5分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】12.5分钟 【分析】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可． 【详解】解：50×5÷70−50 =250÷20 =12.5（分钟） 答：经过12.5分钟以后哥哥可以追上弟弟． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是3:2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地间的距离是45千米． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可求解，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：相遇时，甲行了全程的33+2=35，乙行了全程的25， 提速后，甲速∶乙速=3×1+20%∶2×1+30%=18∶13， 则A、B两地相距为：14÷35−25×1318=14÷1445=45千米， 答：甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地间的距离是45千米． 【变式1-2】（24-25七年级下·重庆·自主招生）小明、小红同时从A城沿相反方向出发，两人速度相同．上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【答案】火车每秒行35米，小明和小红出发时间是7：30. 【分析】本题考查的是混合运算的应用，先计算小红与火车的速度和为每秒1200÷30=40（米），火车与小明的速度差为每秒120÷40=30（米），可得火车的速度为每秒40+30÷2=35（米），可得小明，小红的速度为每秒5米，可得上午9：00时，小明，小红之间的距离为：35−5×60×30=54000（米），再进一步求解即可. 【详解】解：因为上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒； 所以小红与火车的速度和为每秒1200÷30=40（米）， 因为上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明， 所以火车与小明的速度差为每秒120÷40=30（米）， 因为小明、小红同时从A城沿相反方向出发，两人速度相同， 所以火车的速度为每秒40+30÷2=35（米）， 所以小明，小红的速度为每秒5米， 所以上午9：00时，小明，小红之间的距离为： 35−5×60×30=54000（米）， 所以54000÷5+5÷60=90（分钟）， 所以火车每秒行35米，小明和小红出发时间是7：30. 【变式1-3】（2025七年级上·重庆·专题练习）“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有3s亮黄灯的时间．某时刻，小车以18km/h的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在3s后变成绿灯，行人以1.2m/s的速度过马路．已知马路宽7.2m，停止线到斑马线的距离s=28m，小车的尺寸为：长度L=4.8m，宽度d=2.2m．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为2m的美团外卖摩托车以2m/s的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） 【答案】(1)行人通过人行横道的时间为6s (2)小车不会撞到行人； (3)小于10m/s或大于46.86m/s 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，解决本题的关键搞清甲、乙两车相撞的临界情况，抓住时间相等，根据路程关系求出临界速度。 （1）已知路程和时间，利用v=st求出行人通过人行横道的时间； （2）先计算出小车穿过人行道的时间，再计算出此时行人到中心线时间，再进行比较即可； （3）根据匀速直线运动的求出两种临界情况下小车的速度，第一种临界为摩托车车头碰到小车车尾；第二种临界为小车车头碰到摩托车车尾，根据路程关系，抓住时间相等，求出小车的临界速度． 【详解】（1）解：行人通过人行横道的时间：t人=s人v人=7.2m1.2m/s=6s； （2）解：18km/h=5m/s， 28+4.8÷5=6.56s， 6.56−3=3.56s， 3.56×1.2=4.272m>7.22m=3.6m， 所以，小车不会撞到行人； （3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，7.2−7.22−2.2÷2=0.7s， 28+4.8÷0.7≈46.86m/s 所以小车的速度大于46.86m/s不会撞上摩托车； ②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为7.22+2=5.6m, 摩托车行驶的时间为：5.6÷2=2.8s， 小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：28÷2.8=10m/s， 所以甲车的速度小于10m/s也不会撞上摩托车； 综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是v小车46.86m/s． 【题型2 计件问题】 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某电商公司原计划每月卖出1000件衣服，但由于服装行业存在淡季旺季，每月销售件数不定，为统计该公司前三季度每月实际销售情况，记录表格如下：（单位：件） （注：规定该月实际销售件数多于1000件记为正，反之记为负）． 回答下列问题： (1)前三季度共卖出多少件衣服？ (2)如果一件衣服利润为50元，那么第二季度比第一季度多赚几分之几？ 【答案】(1)9520件； (2)115． 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． （2）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可列：1000×9++500+200−250−300+280+700−20−350−240， ∴原式=1000×9+520=9520， ∴前三季度共卖出9520件衣服， （2）解：根据题意可得第一季度总利润为：50×1000×3+500+200−250=172500（元）， 第二季度总利润为：50×1000×3+700+280−300=184000（元）， ∴184000−172500÷172500=115， ∴第二季度比第一季度多赚了：115． 【变式2-1】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一件衬衣售价为100元．一条裤子的售价比这件衬衣的售价高50%． (1)若每件衬衣降价20%出售，每条裤子提价10%出售，那么调价前购买这件衬衣和这条裤子与调价后购买这件衬农和这条裤子相差多少钱？ (2)商场进货时衬衫和裤子各购进若干件，如果裤子条数不变，把衬衫件数增加 14，则衬衫和裤子的总数将达到147件：如果衬衫件数不变，把裤子条数减少 14，则衬衫和裤子的总数将达到115件，求商场购进衬衫和裤子各多少件？ 【答案】(1)调价前购买这件衬衣和这条裤子与调价后购买这件衬衣和这条裤子相差5元 (2)商场购进衬衫76件，裤子52件 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）先求出调价前裤子的价格，再算出调价后衬衣和裤子的价格，调价前的价格相加减调价后的价格的和即可； （2）先由147−115÷14求出衬衫和裤子的总数，再由147−128÷14求出衬衫的件数，进而可得裤子的件数． 【详解】（1）解：一条裤子的售价为：100×1+50%=150（元）， 每件衬衣降价20%的价格为：100×1−20%=80（元）， 每条裤子提价10%的价格为：150×1+10%=165（元）， 100+150−80+165=5（元）， 答：调价前购买这件衬衣和这条裤子与调价后购买这件衬衣和这条裤子相差5元； （2）解：衬衫+裤子： 147−115÷14 =32÷14 =128(件)， 衬衫： 147−128÷14 =19÷14 =76(件)， 裤子：128−76=52（件） 答：商场购进衬衫76件，裤子52件． 【变式2-2】（23-24七年级上·北京通州·期末）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： (1)这周共加工了 件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了 件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． 【答案】(1)2020 (2)110件 (3)20300元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用， （1）用本周的计划加工的总数量加上多加工的数量即可求解； （2）用最多的一天比计划多的数量减去最少的一天比计划少的数量即可求解； （3）用加工的数量乘以单价，再加上多加工的额外收入即可求解； 准确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）400×5+55−20−25+60−50=2020（件）， 故答案为：2020； （2）+60+−50=110（件）， 故答案为：110； （3）2020×10+2020−400×5×5=20300（元） ∴该车间这周的总收入为20300元． 【变式2-3】（24-25七年级上·黑龙江·期末）某服装城用80000元购进2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天内全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）． (1)每件衬衫的进价为_____元，第四天时，每件衬衫的售价为_____元； (2)求服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了176000元第二次购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元．若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求第二次销售衬衫一共盈利的钱数． 【答案】(1)40，54 (2)23900元 (3)38380元 【分析】本题主要考查了有理数的运算的实际应用，理解题意、正确列出算式是解题的关键． （1）根据“用80000元购进2000件衬衫”即可求出进价；由表格数据即可求出第四天时，每件衬衫的售价； （2）分别求出每一天每件衬衫的利润即可求解； （3）根据题意可求出进价为40+4=44元，购进件数为176000÷44=4000件，结合第七天的售价为40+14=54元即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：每件衬衫的进价为80000÷2000=40元， 第四天时，每件衬衫的售价为40+10+3+5+4=54元． 故答案为：40，54． （2）解：由表格数据可知： 第一天每件衬衫的利润为10元； 第二天每件衬衫的利润为10+3=13元； 第三天每件衬衫的利润为10+3+5=18元； 第四天每件衬衫的利润为10+3+5−4=14元； 第五天每件衬衫的利润为10+3+5−4−7=7元； 第六天每件衬衫的利润为10+3+5−4−7+2=9元； 第七天每件衬衫的利润为10+3+5−4−7+2+5=14元． ∴这个服装城这七天的总利润为 300×10+350×13+250×18+350×14+400×7+150×9+200×14 =23900（元）． 答：服装城这七天的总利润23900元． （3）解：由题意，得此次衬衫的进价为：40+4=44（元）． 购进件数为176000÷44=4000（件）． 由（3）得第七天的售价为40+14=54（元）． 故第二次一共盈利54−44×4000−150+54×0.8−44×150=38380（元）． 【题型3 工程问题】 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 【答案】(1)x−20 (2)这批新产品的件数为960 (3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）根据“甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天”列式 ； （2）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用x−20天， 故答案为：x−20； （2）解：设甲单独加工这批产品用x天， 由题意得，16x=24x−20， 解得：x=60， 16×60=960（件）， 答：这个公司要加工960件新产品； （3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为96016=60（天），需要费用为：60×10+80=5400（元）； ②由乙厂单独加工：需要耗时为 96024=40（天），需要费用为：40×120+10=5200（元）； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为 96016+24=24（天），需要费用为：24×80+120+10=5040（元）． 因为50400.9， 可知七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3万人， 故答案为：3，3； （3）解：由（2）可知，“十一”期间所有游客数量为： 1.8+2.5+3+2.7+1.8+2.1+0.9=14.8（万人）， 14.8×200=2960（万元）， 答：“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是2960万元． 【变式8-1】（24-25七年级上·贵州黔南·期末）2024年7月至10月，由三都县组织开展的“贵州村马”水族端节全国赛马邀请赛，吸引了全国各地的众多游客．据统计，9月30日到三都县的游客人数约为2万人．国庆节期间到三都县的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： (1)10月1日至7日这七天中，到三都县的游客人数最多的是10月 日． (2)若一万游客可带来经济收入约600万元，则10月4日这天游客带来的经济收入约多少万元？ 【答案】(1)2 (2)3000万元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解决本题的关键是能正确理解题意并通过正数和负数的意义得出每一天的游客人数． （1）根据表格中的数据分别求出10月1日至7日这七天中，每天的游客人数即可得出答案； （2）根据10月4日这天的游客人数，再乘以600万元即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：10月1日至10月7日每天的游客人数分别为： 2+7=9万人； 9+1=10万人； 10−4=6万； 6−1=5万人； 5+2=7万人； 7−2=5万人； 5−3=2万人； ∴10月1日至7日这七天中，到三都县的游客人数最多的是10月2日； （2）解：根据解析（1）可知：10月4日这天的游客人数为5万人， ∴10月4日这天游客带来的经济收入约为：5×600=3000（万元）． 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人 (2)该风景区在这七天假期的旅游总收入约为8.48×107元． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，科学记数法，正负数的实际应用： （1）用表格中人数变化最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）先求出这七天的旅游总人数，再求出旅游总收入即可得到答案． 【详解】（1）解：0.6−−0.4=0.6+0.4=1万人， 答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人； （2）解：200×10000×6×7+0.6−0.4−0.3+0.3+0.1+0.1 =2000000×42+0.4 =84800000 =8.48×107元， 答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为8.48×107元． 【变式8-3】（24-25七年级上·河南·阶段练习）2024年国庆节期间，林州市的石板岩小镇，因其依山傍水、露水河穿镇而过，石头建筑颇具地方特色而游人如织．石板岩小镇9月30日接待的游客人数为0.5万人，接下来的七天中，每天接待的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． (1)这七天假期里，游客人数最多的是10月________日，达到了________万人．游客人数超过3.1万人的有________天： (2)这七天假期里，石板岩小镇平均每天大约接待多少万游客？（结果精确到百分位） 【答案】(1)3；3.6；4 (2)2.79万 【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，有理数四则混合运算的应用，求一个数的近似数： （1）分别计算每天的游客数量即可得到答案； （3）把（2）中每天的游客量相加，求平均数即可求解． 【详解】（1）解：0.5+2.8=3.3（万） 3.3+0.1=3.4（万）， 3.4+0.2=3.6（万）， 3.6−0.3=3.3（万）， 3.3−0.3=3（万） 3−0.8=2.2（万）， 2.2−1.5=0.7（万）． 由以上可知，这七天假期里，游客人数最多的是10月3日，达到了3.6万人．游客人数超过3.1万人的有4天： 故答案为：3；3.6；4 （2）(3.3+3.4+3.6+3.3+3+2.2+0.7)÷7≈2.79（万）． 答：石板岩小镇这七天平均每天大约接待2.79万游客． 【题型9 质量问题】 【例9】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：800±5g”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________g和________g之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 请你结合（1）和上表中的数据，以800g为标准，超出标准记为正，不足800g的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋1−5分别标记为：+3g，−2g，+0g，−6g，+5g，1． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“800±5g”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量800g的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“±”在“800±5g”中的含义，即表示在800g基础上可上下浮动5g，分别通过800−5计算下限，800+5计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以800g为标准，用每袋面粉实际质量减去800g得到差值，差值为正记为“+” 、为负记为“−” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的795g−805g合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）800−5=795(克) 800+5=805(克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在795g和805g之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：803−800=3g，1号袋面粉的质量是+3g，1号袋面粉合格． 2号袋：800−798=2g，2号袋面粉的质量是−2g，2号袋面粉合格． 3号袋：800−800=0g，3号袋面粉的质量是+0g，3号袋面粉合格． 4号袋：800−794=6g，4号袋面粉的质量是−6g，4号袋面粉不合格． 5号袋：805−800=5g，5号袋面粉的质量是+5g，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 【变式9-1】（24-25六年级上·山东威海·期末）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 表二 (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【答案】(1)−0.7，+0.8，−0.6，+1 (2)合格；理由见解析 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，理解“正”与“负”的相对性，能用正负数表示一对具有相反相成意义的量是解题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为70克，据此求解即可； （2）求出6次记录的和，判断其是否在−1与+1之间（包括±1）即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，标准质量为70克， ∴69.3−70=−0.7， 70.8−70=+0.8， 69.4−70=−0.6， 71−70=+1， 故填表如下： （2）解：−0.7++0.2+0.8+−0.4+−0.6++1=+0.3， ∵−110.8>10.5>9.7>9.6>9.4>9； 则这8箱子桃子中质量最多的是第8箱，质量最少的是第6箱； 故答案为：8；6 （2）解：−0.3=0.3，−0.6=0.6，−1=1，−0.4=0.4； 根据题意可知第2箱桃子的质量最接近标准质量； 故答案为：2 （3）解：8×10+0.5−0.3+1−0.6+0.8−1−0.4+1.2=81.2kg； 答：这8箱桃子一共81.2千克 【题型10 分段收费】 【例10】（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)25.5分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间+乘车的时间+等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：[0.5÷5+(6−0.5)÷20]×60+3=25.5（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为25.5分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：6÷30×60+2=14（分钟），到家的时间为：5:35+14=5:49， 所需要的费用为：10+2×(6−3)+0.5×6−330×60=19（元)，19>14， ∴小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：2+430×60=10（分钟） 乘坐出租车费用：10+2×4−3+4−330×60×0.5=13（元） 乘骑便民自行车时间：215×60=8（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟39+3.5×20=109（元）， ∴ 搬家距离超过 25 公里， 则可列方程： 39+3.5×20+2.5x−25=114 ， 解得： x=27 ， 经检验， x=27 是原方程的解，且符合题意． 答： 小波的搬家距离为 27 公里． 【变式10-3】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某购物网站上一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： (1)“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元）． ①若购买120件时，所花费用为______元； ②“双十一”期间，王老师购买这种小礼品花了335元，求王老师购买了这种小礼品多少件？ (2)若“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独购买这种小礼品共400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，她们一共花费1336元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？ 【答案】(1)①370，②110件 (2)王老师购买320件，李老师购买小礼品80件 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确根据题意列出方程并解答是解决本题的关键． （1）根据销售量与单价进行计算即可； （2）先确定王老师购物总价，即可得到购买小礼物数量不足120件，然后计算解题； （3）设李老师购买x件，则王老师购买(400−x)件，分三种情形分别构建方程解决问题即可． 【详解】（1）①解：120×3.5=420（元）， 使用津贴后为420−50=370（元）， 故答案为：370； ②由题知王老师花费了335元，由于满300减50元，则王老师的购物总价为385元， ∵385