人教版2026学年七年级数学上册压轴题专项训练专题02绝对值的四类综合题型(原卷版+解析)

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专题02 绝对值的四类综合题型类型一、绝对值的非负性例1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ．【变式1-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．【变式1-2】若x为有理数，则式子的最小值为 ．【变式1-3】已知，则的相反数为 ．类型二、利用数轴化简绝对值例2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．(1) ， ；(2)化简：．【变式2-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数．(1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置；(2)化简：．【变式2-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．  (1)____，_____，______；(填“”“”，“”)(2)化简．【变式2-3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：  (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0；(2)化简．类型三、分类讨论化简绝对值例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．【变式3-1】若，则 ．【变式3-2】已知、，那么＝ 【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：(1)若时，的值为___________；(2)若成立，则___________；(3)若，则___________；(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________．类型四、几何意义化简绝对值例4．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或．解决问题：(1) ．(2)若，则______；若，则______．(3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离．(1)__________；(2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________；(3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和．【变式4-2】 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．【变式4-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：（1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．一、单选题1．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ）A．0 B．1 C．2 D．2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ）A．2 B．7 C．8 D．53．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、填空题4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ．5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则 ．6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：（1）当时， ；（2）若，则的值为 ．三、解答题7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．  (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中：(2)化简：8．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题：(1)当 时，有最小值，此时最小值为 ；(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？9．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图：(1)______，______，______0；填（“”或“”）(2)如果互为相反数，则______；(3)计算：．10．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为．(1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____；(2)若，则_____；(3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：．11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．例：三个有理数a，b，c满足，求的值．解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即，，时，则：；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则：，综上述：的值为3或．请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：(1)已知a，b是有理数，当时，求值．(2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离．(2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离．(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________．(4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值．目录TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc30193" 典例详解 HYPERLINK \l "_Toc23266" 类型一、绝对值的非负性 HYPERLINK \l "_Toc8253" 类型二、利用数轴化简绝对值 HYPERLINK \l "_Toc15830" 类型三、分类讨论化简绝对值 HYPERLINK \l "_Toc32126" 类型四、几何意义化简绝对值 HYPERLINK \l "_Toc4318" 压轴专练1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。专题02 绝对值的四类综合题型类型一、绝对值的非负性例1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ．【答案】 3 4【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答．【详解】解：∵，∴，，∴，．故答案为：3；4．【变式1-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．【详解】解：，，，，，．故答案为：．【变式1-2】若x为有理数，则式子的最小值为 ．【答案】2024【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案．【详解】解：∵，∴时，取最小值，最小值为2024．故答案为：2024．【变式1-3】已知，则的相反数为 ．【答案】【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴，∴的相反数为，故答案为：．类型二、利用数轴化简绝对值例2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．(1) ， ；(2)化简：．【答案】(1)0，(2)【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及利用数轴判断式子符号、化简绝对值：（1）结合数轴以及，得与是相反数，即可作答．（2）由数轴得，，得出，接着化简，即可作答．【详解】（1）解：依题意，∵∴，∴，故答案为：0，；（2）解：∵∴∴【变式2-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数．(1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置；(2)化简：．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质．（1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置；（2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可．【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示，（2）解：由数轴可得，，，，∴，，，∴．【变式2-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．  (1)____，_____，______；(填“”“”，“”)(2)化简．【答案】(1)，，；(2)．【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负；（）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可；本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．【详解】（1）由数轴可得，，，，故答案为：，，；（2），．【变式2-3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：  (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0；(2)化简．【答案】(1)，，(2)【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的加法运算，差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数．（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a、b、c的关系，根据有理数加减运算，可得答案；（2）根据差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】（1）解：由数轴可知，且，，，，故答案为：，，；（2）由（1）可知：，，，．类型三、分类讨论化简绝对值例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．【答案】3，-3，1，−1．【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；(2)当a0时原式的值均为1．(4)当a