【数学】天津市西青区2025-2026学年高一第二学期期中学业质量监测试卷（学生版+解析版）

这是一份【数学】天津市西青区2025-2026学年高一第二学期期中学业质量监测试卷（学生版+解析版），共100页。试卷主要包含了 化简的结果等于， 已知向量与，若，则实数， 设复数， 如图，在中，，则， 关于平面向量，有下列五种说法， 已知三个内角满足，则的形状为等内容，欢迎下载使用。
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 化简的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】计算：由向量加法的三角形法则，，
处理：向量减法转化为加法，即，
计算：再次应用三角形法则，，
综上，化简结果为.
故选：D.
2. 已知向量与，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，即.
3. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，故.
4. 已知的三个内角的对边分别是，，，，则角C为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，即有，
由，故，则，故或.
5. 已知是单位向量，和夹角为45°，在上的投影向量为，则为（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】C
【解析】易知，又和夹角为，所以；
又因为在上的投影向量为，
所以，可得.
6. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，可得，
所以.
故选：D.
7. 关于平面向量，有下列五种说法：
①；②若，，则；③若，，则；
④对任意向量，有；⑤若，则.
其中结论正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】，①对，若，，则或者，②错，
③若，，则，故或；③错误，
表示与共线的向量，表示与共线的向量，
故与不一定相等，④错误，
若，则由，无法得到,⑤错误.
8. 已知是关于x的方程的一个根，则实数（ ）
A. B. 26C. D. 12
【答案】D
【解析】因为是关于x的方程，
所以，即，
所以，解得.
9. 已知三个内角满足，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，设，
则，，，，
故为钝角，即的形状为钝角三角形.
10. 2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】中，，，则，
由正弦定理得，
中，，，则，
由正弦定理得，
中，，
由余弦定理得，解得．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
11. 已知的三个内角的对边分别是，若，则角的大小为______.
【答案】
【解析】由题意可得，
又因为，所以.
12. 已知向量，，则与的夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】由向量，，则；
且,所以.
13. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点.则向量对应的复数为______.
【答案】
【解析】由题意得，，
故，故向量对应的复数为.
14. 已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______．
【答案】
【解析】由正弦定理得，
∵，∴，可得，即，
又，∴．
15. 已知，向量，，点是线段上一点.若点是线段的中点，则点坐标为______；若点是靠近点的一个三等分点，则点坐标为______.
【答案】；
【解析】由题意可得,当点是线段的中点时，
由中点坐标公式可得，即；
因为,又因为点是靠近点的一个三等分点，所以,
设，则，
所以，解得，
所以.
16. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，E为线段上一点，．若，则的值为_____________；若M是线段上一动点，求的最小值为____________．
【答案】；
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，
由题可知：，有，设，
所以，
又，所以，
又，则，所以；
设，即
所以，
，
所以，
当时，.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
17. 已知复数.
（1）若是实数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若，求的值.
解：（1），
因为是实数，所以，解得.
（2）因为，所以
解得，即的取值范围为.
（3）因为，所以，
化简得，解得或.
18. 在中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边长．
解：（1）因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，为锐角，所以．
（2）因为，，，
所以由余弦定理可得．
19. 已知平面向量，的夹角为，且，.
（1）求并计算的值；
（2）求；
（3）若，，，且，求实数k的值.
解：（1）依题意，
展开待求式：
；
（2），
因此；
（3）由题意得：，
因为，所以，
代入得：，解得.
20. 在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围.
解：（1）若，则,
由正弦定理可得，故，
因此,
.
（2）由（1）可得，又,故，
因此，故，
因此周长为
（3）由于，故，
由正弦定理可得，，
故，
因为，所以，
所以，
故,
由于三角形为锐角三角形，故,解得，
因此，故，
则，
因此.