天津市西青区2024-2025学年高二上学期期末学业质量检测数学试题（解析版）

这是一份天津市西青区2024-2025学年高二上学期期末学业质量检测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知空间向量且，则， 已知等差数列中，，且，则， 设等比数列的前项和为，若，则， 数学家华罗庚曾说等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】，且，则，解得.
故选：C.
2. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：直线过点和斜率为，
所以得：直线的方程为：，化简得：，
故B项正确.
故选：B.
3. 已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，则，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径.
对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径.
可得两圆的圆心距.
因为，而圆心距，所以.
故两圆的位置关系是外切.
故选：D.
5. 已知等差数列中，，且，则（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】A
【解析】记等差数列的公差为，
因为，，所以，因此，
所以，
故选：A.
6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线，则焦点，准线，
由题意可得，且，
则点到准线的距离，解得，
所以焦点.
故选：D.
7. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】∵等比数列中，成等比数列，
，
又，
∴，解得.
故选：A.
8. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】连接BD，E为PD的中点，

．
故选：B．
9. 已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，
所以，则，
离心率为.
故选：D.
10. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】因为，
表示曲线上的点到两定点，的距离之和为，
即，
根据椭圆定义，曲线表示以和为焦点，以为长轴长的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，所以，其方程为；
记圆：的圆心为，其半径为，
根据圆的性质可得，，
因为点在椭圆上，所以，
又在显然单调递减，
所以，
则，所以，即两点间的最大距离为.
故选：B.
第II卷
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
11. 已知直线，若，则实数______.
【答案】或1
【解析】，则根据直线垂直的充要条件列式得到，
解得或.
12. 经过、的方向向量为，则__________.
【答案】
【解析】因为经过、的方向向量为，则直线的斜率为，
则.
13. 已知双曲线上一点到左焦点的距离为3，则点到右焦点的距离为__________.
【答案】9
【解析】由可知，由双曲线定义可知，
∵，∴.
14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____.
【答案】
【解析】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即；
所以两圆公共弦所在直线的方程为；
易知圆的圆心为，半径为；
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
15. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则__________.
【答案】518
【解析】数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
又，
∴.
所以.
16. 下列四个命题中.
①若数列的前项和为满足，则是等比数列且通项公式为；
②拋物线上两点、且（为原点），
则；
③椭圆左、右焦点分别是、，左、右顶点分别、，点是椭圆上异于、的任意一点，则直线与直线的斜率之积为；
④与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线.
其中正确命题序号为__________.（写出所有的正确答案）
【答案】①③
【解析】对于①，当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列为等比数列，且其首项和公比均为，则，①对；
对于②，拋物线上两点、且（为原点），
则，
由题意可知，，故，②错；
对于③，设点，其中，则，可得，
易知点、，
所以，，③对；
对于④，圆的圆心为原点，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，这两圆外离，
设与圆、圆都外切的圆为圆，设圆的半径为，
则，，所以，，
所以，与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线的一支，④错.
故答案为：①③.
三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知圆的方程为：.
（1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程.
解：（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2，
直线与圆相交于，两点，且，
圆心到直线的距离，
，，解得或.
（2）由已知得，点在圆外，
切线的斜率不存在时，直线，与圆相切；
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为；
综上所述，切线方程为或.
18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：连接，交于点，
由分别为和的中点，得，
而平面平面，
所以平面.
（2）解：由直线平面，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系.
则
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成角的正弦值，
则.
（3）解：，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离
19. 已知等比数列的公比大于；等差数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设等比数列的公比为，由已知得，
①
解得：或，因为公比大于1，所以，
代入②得：.
设等差数列公差为，则，解得：，
，
所以的通项公式为；的通项公式为.
（2）由（1）知
记①
则
①-②得，
所以.
20. 已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点.
解：（1）由题意得圆方程为：圆心为，
即，∴.
又椭圆上的点到点的距离的最小值为，∴，解得：，
，则.
椭圆方程为.
（2），
设，
则直线的方程为.
令，得点的横坐标.所以点
同理，点.
由得.
则.
所以
，
又，所以.
解得，此时，
所以直线经过定点.