天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量中期监测高一数学试卷（含解析）高考模拟

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分.
第Ⅰ卷（40分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 化简 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量加减法的运算法则逐步化简
【详解】计算：由向量加法的三角形法则，
处理：向量减法转化为加法，即
计算：再次应用三角形法则，
综上，化简结果为
故选：D.
2. 已知向量与，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量平行的坐标运算即可.
【详解】因为，所以，即.
3. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得，故
4. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是，，，，，，则角C为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助正弦定理计算可得，即可得角.
【详解】由正弦定理可得，即有，
由，故，则，故或.
5. 已知是单位向量，和夹角为45°，在上的投影向量为，则为（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积定义以及投影向量计算可得结果.
【详解】易知，又和夹角为，所以e→·a→=e→a→cs45°=22a→；
又因为在上的投影向量为e→·a→e→2·e→=22a→e→=32e→，
所以22a→=32，可得.
6. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】由，可得，
所以.
故选：D.
7. 关于平面向量，，，有下列五种说法：
①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，则.
其中结论正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】，①对，
若，，则或者，②错，
③若，，则，故或；③错误，
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故与不一定相等，④错误，
若，则由，无法得到,⑤错误.
8. 已知是关于x的方程的一个根，则实数（ ）
A. B. 26C. D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据是关于x的方程，将代入方程，再利用复数相等求解.
【详解】因为是关于x的方程，
所以，
即，
所以，解得.
9. 已知三个内角满足，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理可将角化为边，再利用余弦定理计算可得，即可得为钝角三角形.
【详解】由正弦定理可得，设，
则，，，，
故为钝角，即的形状为钝角三角形.
10. 2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【详解】中，，，则，
由正弦定理得，
中，，，则，
由正弦定理得，
中，，由余弦定理得，
解得．
第Ⅱ卷（80分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
11. 已知的三个内角的对边分别是，若，则角的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由题意可得，
又因为，
所以
12. 已知向量，，则与的夹角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【详解】由向量，，
则；
且,
所以.
13. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点.则向量对应的复数为______.
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，，
故，故向量对应的复数为.
14. 已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______．
【答案】##
【解析】
【详解】由正弦定理得，
∵，∴，可得，即，
又，∴．
15. 已知，向量，，点是线段上一点.若点是线段的中点，则点坐标为______；若点是靠近点的一个三等分点，则点坐标为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由中点坐标公式求第一空；由求第二空.
【详解】由题意可得,
当点是线段的中点时，
由中点坐标公式可得，
即；
因为,
又因为点是靠近点的一个三等分点，
所以,
设，
则，
所以，解得，
所以.
16. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”， 且， E为线段上一点， ．若则的值为_____________；若M是线段上一动点，求 的最小值为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，表示出，根据，得到E的位置，然后根据计算即可；设，分别表示，然后计算即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，
由题可知：，有，设，
所以，又，
所以，
又，则，
所以；
设，即
所以，
，
所以，
当时，.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
17. 已知复数.
（1）若是实数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若，求的值.
【答案】（1）.
（2）.
（3）或.
【解析】
【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求.
（2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围.
（3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解.
【小问1详解】
，
因为是实数，所以，解得.
【小问2详解】
因为，所以
解得，即的取值范围为.
【小问3详解】
因为，所以，
化简得，
解得或.
18. 在中，角、、的对边分别为、、，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理计算可得（2）根据余弦定理化简求解.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
因为，
所以，
因为，为锐角，
所以．
【小问2详解】
因为，，，
所以由余弦定理可得．
19. 已知平面向量，的夹角为，且，.
（1）求并计算的值；
（2）求；
（3）若，，，且，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积公式 计算 ，利用向量数量积的分配律展开，再代入已知模长和已求得的数量积进行计算；
（2）先计算，利用完全平方公式展开后，代入已知模长和数量积，最后对结果开平方；
（3）根据向量垂直的性质可得.
【小问1详解】
本题考查平面向量的基本运算，利用向量数量积公式、模长公式、垂直性质求解即可：
依题意，
展开待求式：；
【小问2详解】
因此；
【小问3详解】
由题意得：，
因为，所以，代入得：，
解得.
20. 在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解，
（3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解.
【小问1详解】
若，则,
由正弦定理可得，故，
因此,
.
【小问2详解】
由（1）可得，又,故，
因此，故，
因此周长为
【小问3详解】
由于，故，
由正弦定理可得，
故，
因为，所以，
所以，
故,
由于三角形为锐角三角形，故,解得，
因此，故，则，
因此.