山东省泰安市岱岳区2025-2026学年下学期七年级数学期中考试卷（含解析）

这是一份山东省泰安市岱岳区2025-2026学年下学期七年级数学期中考试卷（含解析），共100页。试卷主要包含了填空题，大体意思是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列语言叙述是命题的是（ ）
A. 画一条端点为的射线
B. 你喜欢秦安吗？
C. 赶紧写作业！
D. 《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军
【答案】D
【解析】
【分析】命题是对某一事件作出明确判断的语句，只有对事件作出肯定或否定判断的语句才是命题，疑问句，祈使句，指令性语句都不属于命题.
【详解】解：∵选项A是作图指令，未对事件作出判断，∴不是命题；
∵选项B是疑问句，未对事件作出判断，∴不是命题；
∵选项C是祈使句，未对事件作出判断，∴不是命题；
∵选项D对《飞驰人生3》的票房情况作出了明确判断，是完整的判断语句，∴是命题.
2. 已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，
∴该点的坐标同时满足两个函数的方程，
∴关于、的方程组，即的解为．
3. 小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A. 南偏东方向B. 北偏西方向C. 南偏东方向D. 北偏西方向
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键．
作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案．
【详解】解：如图，作，
则，
，
，
，
，
科技馆位于小亮家的南偏东方向，
故答案为：A．
4. 如果成立，那么的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值和平方的非负性得到，求出，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
解得
∴．
5. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可．
【详解】解：由图可知，总面积为，
其中光伏吸收区的面积为，
小球最终停留在光伏吸收区的概率是，
故选：C．
6. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（ ）
A. 0.70B. 0.80C. 0.83D. 0.86
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率．理解相关知识是解答关键．
通过观察不同抽取数量下的优等品率，发现随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在0.83附近，因此可用此频率估计概率．
【详解】解：由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大（如0.70到0.86），但随着抽取数量增大至500和1000时，优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右．根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83．
故选：C．
7. 在《九章算术》卷八方程篇中，记录了这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有只雀，只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，只雀、只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记斤为两，设只雀两，只燕两，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得；根据只雀、只燕重量共一斤，可得．从而可得相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得：，
故选：A．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组．
8. 如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知，则，由折叠可知，根据已知条件，则可知，再根据，则题目可解．
【详解】解：∵，
∴，
∵沿折叠，A、D两点分别与、对应，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9. 实验中学组织七年级400名学生到山东省科技博物馆研学，计划租用40座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】利用二元一次方程求解正整数解，根据题意两种车都要租用，得到符合要求的正整数解的个数，就是租车方案的数量.
【详解】解：设租用40座客车辆，租用60座客车辆，其中均为正整数，
由题意，得40x+60y=400 ，
整理得x=20−3y2，
是正整数，
∴20−3y 为正偶数，
是偶数，偶数减偶数为偶数，因此是偶数，即为偶数，
∴的取值为
对应的取值为7,4,1 ，均为正整数，符合两种车都租的要求，
因此共有3种租车方案.
10. ，两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到地的距离都是骑车时间的一次函数，其图像如图所示．已知1 h后乙距离地80 km，2 h后甲距离地30 km，则经过多长时间两人将相遇？（ ）
A. 3 hB. C. D. 4 h
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法分别求出一次函数解析式，联立函数解析式即可求出相遇的时间．
【详解】设表示甲的直线的关系式为：，则，
解得：，故；
设表示乙的直线关系式为：，将，代入，得
，
解得：，
∴；
当，则，
解得：．
故选B
此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
二、填空题（共5个题，每小题4分，共20分）
11. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：___
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】举出满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，由可得或，因此只需选取的任意一个数即可．
【详解】解：当时， ，
但 ，不满足，符合反例要求．
12. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则________，________．
【答案】 ①. 45°##45度
②. 112°##45度
【解析】
【分析】由平行线的性质即可得出，．
【详解】由题意知AB//PQ//CD
∴
∴
故答案为：45°，112°
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
13. 如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④，其中能判断的是______（填写序号）．
【答案】
②③##③②
【解析】
【分析】找到与对应的内错角，同位角和同旁内角，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，判断选项即可
【详解】解：①与是和被所截的内错角，故当，则，而非，错误；
②与是和被所截的内错角，故当，则，正确；
③与是和被所截的同位角，故当，则，正确；
④与是和被所截的同旁内角，故当，则，而非，错误．
14. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是____________cm．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为
由题意得
解得，
则个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当时，其高度为：．
故答案为：．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．
15. 我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件：
3个3个地数，正好数完（没有剩余）；
5个5个地数，最后剩1盏；
7个7个地数，正好数完；
8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏）
请问：这些彩灯最少有_____盏?
【答案】21
【解析】
【分析】彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．通过寻找3和7的公倍数，并结合其他条件求解．
【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．
∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数．
∴设数量为，k为正整数．
当时，，
余1，满足题意，
余5，即缺3，满足题意，
∴这些彩灯最少有21盏．
三、解答题（共90分）
16. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1），
方程组整理，得，
①＋②，得4y＝28，
解得y＝7，
把y＝7代入①，得3x﹣7＝8，
解得x＝5，
所以方程组的解为；
（2），
方程组整理，得．
②×4﹣①，得23x＝46，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得12＋y＝15，
解得y＝3，
所以方程组的解为．
本题主要考查二元一次方程组的运算，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握加减消元法求解二元一次方程是解题的关键．
17. 不透明的袋子里放有若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外再没有其它区别，将袋子里的球搅匀后，从中任意取出一个球，取出红球的概率是0.25．
（1）求取出白球的概率；
（2）如果袋子里的白球有24只，求袋子里的红球有多少只．
【答案】（1）0.75
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）先得出袋子里球的总数，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：；
答：取出白球的概率为0.75．
【小问2详解】
解：由（1）可得：（只），
（只）；
答：袋子里的红球有8只．
18. 如图，，表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时；光线经镜面反射后的反射光线为，此时．试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】；理由见解析．
【解析】
【分析】根据题意，得到，再根据“内错角相等，两直线平行”即可求解．
【详解】解：由图形可得，，，
∵
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
此题考查了平行线的判定以及性质，熟练掌握平行线的判定方法以及基本性质是解题的关键．
19. 如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形．
（1）若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________．
（2）每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
【答案】（1）
（2）长为，宽为
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系．
（）直接列出代数式即可；
（）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可．
【小问1详解】
解：设小长方形的长为，宽为，由题意得，
大长方形的宽为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设小长方形的长为，宽为，由题意得
，
解得，
所以每块小长方形墙砖的长为，宽为．
20. 如图，延长到E，分别过点A，E作于D，于G，设交于F，如果，那么平分吗？请说明理由．
【答案】平分，理由见解析
【解析】
【分析】由垂线的定义得到，则可证明，，进而可证明，据此可证明结论．
【详解】解：平分，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
21. 某校将举办主题为“2024爱沈阳”研学活动.七年一班决定在甲、乙两位同学中选择一人参加，并采用如下游戏确定参加人员．如图，一个均匀的转盘被平均分成20等份，分别标有1至20这20个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.甲、乙两位同学参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（3）猜“是大于10的数”或“小于10的数” ．
如果由乙同学转动转盘，甲同学猜数，那么为了尽可能获胜，试说明甲同学应选择哪一种猜数方法？怎样猜？
【答案】甲同学应选择猜数方法（2）；猜“不是3的倍数”
【解析】
【分析】本题考查简单随机事件的概率，以及随机事件可能性大小，利用简单随机事件的概率公式，分别得出上述猜数方法的概率，并进行比较判断，即可解题．
【详解】解：由题知，猜“是奇数”概率为：，猜“是偶数”概率为：，
即甲乙获胜概率相同；
由题知，猜“是3的倍数”概率为：，猜“不是3的倍数”概率为：，
，则甲获胜的可能性大；
由题知，猜“是大于10的数”概率为：，猜“小于10的数”概率为：，
，则甲获胜的可能性小；
甲同学应选择猜数方法（2），且猜“不是3的倍数”．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的结合，求一次函数的解析式，求直线围成的三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：将和代入得，
，
解得，
∴此一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：联立解析式得，
，
解得
∴点C的坐标是，
∵，
∴，
∴的面积．
23. 用二元一次方程组求解：某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元．两种商品原销售价之和为490元．则两种商品进价分别为多少元？
【答案】甲乙两种商品进价分别为150元、200元．
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设甲种商品进价为a元，乙种商品进价为b元， ，
解得，，
答：甲乙两种商品进价分别为150元、200元．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
24. 如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关定理与性质是解题的关键．
（1）根据题意，可证，再由内错角相等，两直线平行即可；
（2）由，则，又平分，所以，进而得到，则．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
25. 【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题：
【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解．
【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组．
（1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可；
（2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可．
【详解】解：（1）设，
则方程组变为：，
∵的解是，
解得，
解得；
（2）整理方程组得，
令，
∵关于的二元一次方程组的解是，
∴，
解得．随机抽取的乒乓球数
10
20
50
100
200
500
1 000
优等品
7
16
43
81
164
414
831
优等品率
0.700
0.800
0.860
0.810
0.820
0.828
0.831