山东省泰安市泰山区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份山东省泰安市泰山区2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置）
1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】A、该方程组中含有3个未知数，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意．
C、未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
D、分母中含有未知数，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，注意准确理解二元一次方程组的定义是解此题的关键．
2. 下列条件不能判定AB//CD的是（ ）
A. ∠3=∠4B. ∠1=∠5C. ∠1+∠2=180°D. ∠3=∠5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【详解】A．∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
B．∵∠1=∠5，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C．∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=∠2，
∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
D．根据∠3=∠5，不能推出AB∥CD，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解答此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
3. 下列语句中，是真命题是（ ）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 对顶角是相等的角
C. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
D. 同角的余角互余
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，余角，对顶角的相关概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质，余角，对顶角的相关概念进行判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角是相等的角，原命题是真命题，符合题意；
C、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题，不符合题意，理由如下：
分两种情况讨论：
当，的两边相互平行，如图所示
，
，
，
，
；
当，的两边相互平行，如图所示
，
，
，
，
，
综上所述：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补；
D、同角的余角相等，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
4. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 抛出的篮球会下落
B. 随意画一个三角形，其内角和是
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D. 随机从十个数中选取2个不同的数，它们的和小于18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】解：A. 抛出的篮球会下落，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 随意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故该选项符合题意；
D. 随机从十个数中选取2个不同的数，它们的和小于18，是必然事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，直线与直线相交于点，关于，的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出a的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴，
∴关于x，y的方程组的解是为，
故选：D．
6. 把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴．
故选：B
7. 如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在n，m上，且∠C ＝ 90°，若∠1＝ 40° ，则∠2的度数为
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
【答案】A
【解析】
【详解】已知m∥n，∠1=40º，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BCm=140°，根据周角的定义可得∠2=360º-∠ACB-∠BCm =360°-90°-140°=130°故选A.
点睛：本题考查了平行线的性质，周角的定义，熟记性质是解题的关键．
8. 如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=（ ）
A. 140°B. 130°C. 120°D. 110°
【答案】B
【解析】
【详解】如图，过点C作EC∥AB，
由题意可得AB∥EF∥EC，
所以∠B=∠BCE，∠ECD=90°，
即∠BCD=40°+90°=130°．
故答案选B．
9. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有x间，则；
乙：设客人有y人，则；
丙：设客房有x间，客人有y人，则．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组．
【详解】解：设客房有x间，则，故甲正确，符合题意；
设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意；
设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意；
综上：正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
10. 如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A. ①②④B. ①③C. ①②D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④．
【详解】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知，
作，
，

，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
11. 若是方程的一个解，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：．
12. 在一个不透明的盒子中装有5个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球有_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据概率公式列出分式方程是解题的关键．
设有个黄球．再根据题意列分式方程期间即可．
【详解】解：设有个黄球．
由题意可得：，解得：．
经检验，是分式方程的解．
所以黄球有15个黄球．
故答案为15．
13. 将这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理数，概率公式．先找出无理数为，，共2个，根据概率公式计算即可．
【详解】解：这6个数中的无理数是，，共2个，所以随机抽取的卡片上的数是无理数的概率为．
故答案为：
14. 如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转_____度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角，求出旋转前的度数，再根据时，，求出旋转的角度即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，
，
∴将直线绕点逆时针旋转度，可以得到；
故答案为：17．
15. 如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图：

，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
16. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质，求出的度数判断①；根据，得到，进而求出的度数，判断②；根据平行线的性质，判断③，角的和差关系判断④即可．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴；故③正确；
∵；故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
17. 一个不透明袋子中装有红、黄、黑三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比黑球的4倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是0.3．
（1）求袋中红球个数；
（2）求从袋子中摸出一个球是黑球的概率；
（3）取走20球（其中没有红球），求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【答案】（1）30（个）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查利用概率求数量，求概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键：
（1）利用总数乘以概率进行计算即可；
（2）先求出黄球和黑球的数量，再利用概率公式进行计算即可；
（3）利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：袋子中红球个数为：（个）
【小问2详解】
设黑球个，则黄球有个，由题意得：
，
解得；
∴摸出一个球是黑球概率为：；
【小问3详解】
从剩余球中摸出一个球的概率为：．
18. 已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据已知证明，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，最后根据平行线的判定得出结论即可．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等）
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
又（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
19. 解方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程组的加减消元法是解题的关键．
（1）先①②求出的值，再把的值代入①即可求出的值，进而得到方程组的解；
（2）先把原方程组化简得到③式和④式，然后③－④求出的值，再把的值代入④即可求出的值，进而得到方程组的解；
【小问1详解】
解：（1）①②，得：，解得：，
把代入①，得：，解得：，
原方程组的解为；
【小问2详解】
方程组整理，得，
③－④得：，解得：，
将代入④得：，解得：，
原方程组的解为．
20. 如图，已如一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）的面积为________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算．
【小问1详解】
设一次函数表达式为
把，代入得，
解得．
所以一次函数解析式为；
【小问2详解】
把代入，
得，
所以点坐标为，
所以的面积
．
21. 某商店计划购买一批水果出售，据了解1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元．
（1）求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？
（2）某商店需要购买苹果12箱，梨10箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算？
【答案】（1）每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元
（2）该商店选择优惠一购买更划算
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元，根据“1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元”列方程组求解；
（2）分别计算两种方案的费用从而作出比较．
【小问1详解】
解：设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元，
根据题意得：，解得，
答：每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元；
【小问2详解】
解：选择优惠一所需费用为：（元）；
选择优惠二所需费用为：（元）；
，
∴该商店选择优惠一购买更划算．
22. 口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球．
（1）先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件．
如果事件是必然事件，请直接写出的值；
如果事件是随机事件，请直接写出的值．
（2）先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值．
【答案】（1）； 的值为或或；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键．
根据必然事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球一定是红球，袋子里一定全部是红球，没有黑球，所以黑球要全部被拿走，所以的值是；
根据随机事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，所以袋子里一定既有红球又有黑球，所以的值为或或；
取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，其中红球的个数是，根据摸出一个球是红球的可能性大小是，可得：，解方程求出即可．
【小问1详解】
解：事件是必然事件，
从袋子里随机摸出一个球一定是红球，
袋子里一定全部红球，没有黑球，
黑球要全部被拿走，
；
解：事件是随机事件，
从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，
袋子里一定既有红球又有黑球，
袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一个黑球，
的值为或或；
【小问2详解】
解：袋子里一共有个球，
取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，
其中红球的个数是，
摸出红球的可能性大小是，
根据题意得：，
．
23. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．

（1）试说明：DG∥BC；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠3=71°．
【解析】
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD//EF，从而得出∠2=∠BCD，再根据∠1=∠2即可得出∠1=∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG//BC；
（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC//DG即可得出∠3=∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DG//BC；
（2） 解：在Rt△BEF中，
∵∠B=54°，
∴∠2=180°-90°-54°=36°，
又∵
∴∠BCD=∠2=36°．
∵ ，
∴∠BCA=∠BCD + ∠ACD = 36°+ 35°= 71° ．
又∵BC//DG，
∴∠3=∠BCA = 71°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1=∠BCD；（2）找出∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．
24. （1）如图，，求的度数；
（2）如图，ABCD，当点P在线段BD上移动时，设，写出与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在射线DM上运动，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）76°；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）过P点作PE∥AB，由AB∥CD可得PE∥CD，利用平行线的性质可得∠APC=∠A+∠C，进而求解；
（2）过P点作PF∥AB，由AB∥CD可得PF∥CD，利用平行线的性质可得∠APC=α+β，即可求解；
（3）过P点作PN∥AB，由AB∥CD可得PN∥CD，利用平行线的性质可得∠APC=α-β，即可求解．
【详解】(1)如图，过点P作PE//AB，
因为AB//CD
所以PE//AB//CD
所以
(2)
理由：
如图，过点P 作PE//AB，
因为AB//CD
所以PE//AB//CD
(3)
理由：过P点作PN∥AB，
∴∠APN=∠BAP，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠NPC=∠PCD，
∵∠APC=∠APN-∠NPC，
∴∠APC=∠BAP-∠PCD；
∵∠BAP=α，∠DCP=β，
∴∠APC=α-β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作恰当的辅助线是解题的关键．